丁亞東 薛海平

一、問題的提出：影子教育的量與收益?

“影子教育”作為一個獨立的教育概念,最早由史蒂文森(D.L.Stevenson)和彼克(D.P.Becker)提出。①朱洵：《教育全球化中的影子教育與文化資本理論》,《清華大學教育研究》2013年第4期。②李娜：《影子教育在我國的發(fā)展趨勢》,《中國教育學刊》2015年第5期。它主要是指區(qū)別于正規(guī)教育之外且依附于正規(guī)教育而存在的一種教育系統(tǒng)或形式。③李娜：《影子教育在我國的發(fā)展趨勢》,《中國教育學刊》2015年第5期。目前影子教育被推上“減負”排行榜的最前沿,社會各界對影子教育治理的呼聲不斷。明確不同階層在影子教育投入上的收益,對于推進影子教育治理有著重要的現實意義。

現階段對于影子教育的研究主要集中在影響影子教育參與因素、影子教育對學生成績和教育不均等的影響以及影子教育對社會階層流動的影響等方面。在影響影子教育參與因素的研究上,主要集中在學生個人因素、家庭因素和學校因素三個方面；在學生個人因素方面主要以學生的學業(yè)成績、是否獨生子女、戶籍等變量為主；在家庭因素方面主要以家庭的經濟、文化和政治等背景因素為主；在學校因素方面主要以學校的辦學類型、學校的級別以及學校所在地等因素為主。本文選取個人因素中的學生個人能力和家庭因素中的家庭經濟背景兩項指標,作為下文博弈模型的分析變量,并以家庭經濟背景作為階層劃分的主要依據。已有研究中關于影子教育收益的主要衡量指標是學生學習成績,而影子教育對學生學習成績的影響還沒有形成統(tǒng)一的認識①李佳麗、胡詠梅：《誰從影子教育中獲益?——兼論影子教育對教育結果均等化的影響》,《教育與經濟》2017年第2期。：有學者研究得出影子教育對學生學習成績有顯著正影響,②Tansel,A.,and F.Bircan."Private Supplementary Tutoring in Turkey Recent Evidence on Its Various Aspects,"ERC Working Papers,vol.9,no.1,2008,pp.162-171.③Byun,S.,Y.Shadow Education and Academic Success in Republic of Korea.Korean Education in Changing Economic and Demographic Contexts,Singapore：Springer,2014,p.39-58.有學者研究得出影子教育對學生學習成績沒有影響,④Smyth,E."The more,the better?Intensity of involvement in private tuition and examination performance,"Educational Research ＆ Evaluation,vol.14,no.5,2008,pp.465-476.⑤Ryu D.,and C.Kang.“Do Private Tutoring Expenditures Raise Academic Performance?Evidence from Middle School Students in South Korea,”Asian Economic Journal,vol.27,no.1,2013,pp.59-83.也有學者研究得出影子教育對學生學習成績有顯著負影響。⑥Guill K.,and W.Bos.“Effectiveness of Private Tutoring in Mathematics with Regard to Subjective and Objective Indicators of Academic Achievement：Evidence from a German Secondary School Sample,”Journal for Educational Research Online,vol.6,no.1,2014,pp.34.⑦Lee J.T,Kim Y.B.,and C.H.,Yoon.“The Effects of Pre-class Tutoring on Student Achievement：Challenges and Implications for Public Education in Korea,”KEDIJournal ofEducational Policy,vol.1,no.1,2004,pp.25-42.本文認為影子教育的收益取決于學生參與影子教育的程度和影子教育的競爭程度,影子教育的參與程度主要受家庭經濟背景的影響,影子教育的競爭程度主要受學生個人能力的影響。因此,本文從這兩個變量出發(fā),使用博弈論去探討不同階層的家庭參與影子教育的收益,為家庭是否選擇參與影子教育、如何選擇影子教育提供借鑒。

根據已有研究,家庭經濟背景越好學生越有可能參與影子教育,⑧李佳麗、胡詠梅、范文鳳：《家庭背景、影子教育和學生學業(yè)成績——基于Wisconsin模型的經驗研究》,《教育經濟評論》2016年第1期。這在一定程度上可以反映出家庭所處的階層越高學生參與影子教育的可能性就越高,影子教育的參與程度就越大,即越有可能獲得更多的影子教育。目前,影子教育獲得的量與收益的關系還沒有形成定論,因此,盡管家庭所處的階層越高其獲得更多影子教育的可能性就越高,但并不能說明獲得的收益就越大。所以,在影子教育的收益中,到底哪個階層獲得的收益最高,需要根據家庭參與影子教育的程度和影子教育的競爭程度,即家庭經濟背景和學生個人能力來綜合考慮。

家庭經濟背景越好,其所處的階層就相對越高。而較好的經濟背景為家庭獲得更多的影子教育提供保障,雖然影子教育獲得的量與收益的關系尚未明確,但在現實中家庭普遍認為,影子教育獲得的量越多其收益就越大。因此,做出如下假設一。

假設一：家庭所處的階層越高,其參與影子教育的收益就越大。

由上文分析可知,家庭經濟背景和學生個人能力在家庭是否參與影子教育的博弈中扮演著重要的角色。但現有的研究對家庭經濟背景和學生個人能力哪個是家庭參與影子教育的主導因素,并沒有明確的結論。而兩者主導性的確定,對家庭參與影子教育博弈時是優(yōu)先根據家庭經濟情況還是學生個人能力考慮是否參與影子教育、參與到何種程度等有著重要的現實意義。影子教育博弈是一種重復博弈,家庭在重復博弈中需要不斷地進行投入,以保證在博弈中不被淘汰,因此“投入”成為家庭參與影子教育的動力源泉。因此,做出如下假設二。

假設二：家庭經濟背景是家庭參與影子教育博弈的主導性因素,學生個人能力是輔助性因素。

根據上述假設,本文在博弈理論的分析框架下,構建家庭參與影子教育的效用函數,并根據家庭經濟背景和學生個人能力兩大變量,估算家庭參與影子教育的收益,以此驗證假設一的猜想。使用博弈理論“重復博弈”思想,結合影子教育博弈的均衡解,分析家庭經濟背景和學生個人能力在影子教育博弈中的主輔作用,以此驗證假設二的猜想。

二、影子教育博弈理論模型的構建：誰獲得收益

在我國優(yōu)質教育資源不均衡的現實下,影子教育作為學校主流教育的輔助對優(yōu)質教育資源發(fā)揮著調配的作用。家庭為獲得更多的優(yōu)質教育資源,便更多地將目光投向影子教育,帶來家庭間影子教育的博弈。影子教育博弈主要發(fā)生在多個家庭間,屬于博弈中的群體博弈。這里的群體博弈主要是指將不同經濟背景的家庭作為局中人參與影子教育的一種博弈類型。本部分對家庭間影子教育的群體博弈進行博弈策略選擇和博弈結果分析,以反映家庭在影子教育機會獲得上的博弈結果差異,并根據家庭所處階層得出不同階層在影子教育博弈上的收益,從而找出收益最高和最低的階層。

家庭參與影子教育主要以獲取收益為主要目的,因此,效用函數的確定對家庭影子教育博弈模型的構建至關重要。而家庭參與影子教育所獲得的效用不僅包括學生學習成績和學習能力的提升,同時也包括參與影子教育而付出的時間、機會等成本。參與者、行動策略和效用為博弈論的三大要素。因此,影子教育博弈理論模型的構建,需要先對影子教育的參與者、行動策略和效用函數(即收益)三大要素進行確定。家庭參與影子教育博弈的三要素具體如下：

1.參與者：影子教育博弈中的參與者為不同經濟背景的家庭。在這里我們根據家庭經濟背景的不同,將每個確定經濟背景的家庭看成一位參與者。記所有參與者的集合為N={1,2,3,4,…,n}。

2.行動策略：影子教育博弈中的每個參與者的博弈策略選擇集合為X=[0,1]。其中“0”表示參與者不參與影子教育,“1”表示參與者全力參與影子教育。參與者i的策略選擇值xi∈X。這一指標的衡量以參與者家庭經濟背景好差、學生個人能力高低等作為后期模型驗證的數據來源。

3.效用函數：當影子教育博弈參與者策略選擇的組合為(x1,x2,…,xn)時,參與者i的效用值為fi(x1,x2,…,xn)。

在影子教育的博弈中,家庭獲得的效用主要包括兩個部分：家庭參與影子教育獲得的獨立效用；其他家庭參與影子教育獲得的效用對其效用帶來的影響。具體效用函數如下：

其中fi表示家庭參與影子教育博弈所獲得的效用值；ui(xi)表示不存在競爭情況下,參與者i參與影子教育的獨立效用；ci表示其他參與者參與影子教育對參與者i效用收益的影響。家庭參與影子教育而獲得的獨立效用包括正反兩個方面：一方面,影子教育可以在一定程度上提高參與者的學習成績、改善其學習方法、增強其學習能力等,進而提高學生升入重點校和重點班的概率而獲得的收益；另一方面,參與者參與影子教育會占用其課外時間帶來機會成本、增加家庭的經濟負擔等。因此,根據效用函數投入和產出的關系以及教育生產函數的視角分析,正反作用對影子教育參與者獨立效用的影響不是相加的關系,而是乘積關系,即：

其中ai是影子教育參與者i不參與影子教育時非學習效用的總和(學習效用是指在日常生活和學習中人們經常受到周圍人的影響,容易產生從眾心理。①《學習效用》,互動百科,2018-03-22：.https：//zhidao.baidu.com/question/107448742.html.因此,在周圍的人都參與學習的情況下,自己也會逐漸投入到學習中)。本文的學習效用是指家庭因受到周圍參與影子教育這一環(huán)境的影響而參與影子教育獲得的效用,非學習效用是指家庭不參與影子教育而依靠學生自身能力等獲得的獨立效用,其主要取決于學生的個人能力,但也受到家庭文化背景、家庭經濟背景等因素的影響；bi是影子教育對參與者i非學習效用的消極影響系數。系數ai和bi均為非負實數,從而效用函數滿足邊際效用遞減規(guī)律,即邊際效用與個人消費欲望的強弱呈正相關,但與消費的數量呈負相關,個人欲望存在一定的極限,并伴隨著滿足的增加而逐漸降低,此時所獲得的邊際效用也逐漸降低。因此,家庭參與影子教育所獲得的效用與家庭參與影子教育欲望的強烈和程度有著密切的關系。

由上文邊際效用函數的分析可知,影子教育博弈對參與者i的影響取決于影子教育競爭的激烈程度以及參與者參與影子教育的程度。影子教育競爭的激烈程度,與家庭參與影子教育的欲望有著密切的關系,家庭參與影子教育的欲望越強烈,影子教育競爭的程度就越激烈。家庭參與影子教育的欲望又取決于學生個人能力,學生個人能力越強家庭參與影子教育的欲望就越強烈,究其原因：對于較差經濟背景家庭而言,學生個人能力強家庭便會通過影子教育的參與保持學生的個人能力,以防止被他人超越,是一種防御型參與；對于經濟背景較好的家庭而言,學生個人能力強家庭亦會積極通過影子教育來保持自身的優(yōu)勢,是一種主動型參與。已有研究認為家庭對子女教育期望的強弱是影響其參與影子教育的內在因素,①葛洋娟、徐玲、張淑娟：《中小學生家庭背景性資本對其參加課外補習的影響研究——以內蒙古赤峰市為例》,《基礎教育》2016年第2期。且根據薛海平、胡詠梅等使用中國人民大學教育追蹤調查數據(CEPS2014)、PISA2012數據以及本文關于家庭經濟背景與影子教育參與率的關系分析等表明,家庭的經濟背景越高學生參與影子教育的比例就越高,②薛海平：《家庭資本與教育獲得：影子教育的視角》,《教育科學研究》2017年第2期。③胡詠梅、范文鳳、丁維莉：《影子教育是否擴大教育結果的不均等——基于PISA2012上海數據的經驗研究》,《北京大學教育評論》2015第3期。因此,影子教育競爭的激烈程度一定程度上可以通過學生個人能力的強弱來表示；家庭參與影子教育的程度,取決于家庭對影子教育的投入,可以使用家庭的經濟背景來表示。因此,其他家庭對參與者影子教育獲得效用的影響模型,如下所示：

該模型與博弈論中古諾寡頭博弈模型具有相似類型形式,但該模型中交叉項的系數為非負數eji。其中eji表示參與者j參與影子教育對參與者i造成的不利影響,比如成績良好的學生參與影子教育對成績優(yōu)秀的學生造成一定不利影響的系數要大于其對成績合格學生帶來不利影響的系數。所以影響系數均為正值,即我們假設其他參與者參加影子教育只會對參與者i產生不利影響,同時注意當參與者i不參與影子教育時(xi=0),競爭對其造成的不利影響最大,而當參與者i完全參與影子教育時(xi=1),不存在競爭的不利影響。

綜上分析,參與者i參與影子教育的效用函數,如下所示：

由家庭參與影子教育的效用函數模型可知,當影子教育博弈的競爭強度越高、影子教育的參與度越大時,參與者i的效用就越低。由于學生個人能力和家庭經濟背景可以在一定程度上衡量影子教育的競爭強度和參與程度,因此,當學生個人能力強、家庭經濟背景好時,家庭參與影子教育的收益相對較低；當學生個人能力低、家庭經濟背景差時,家庭參與影子教育的收益相對較高,但這類家庭因為經濟條件的限制,在影子教育的重復博弈中被迫退出影子教育,因而最終獲得影子教育的量較少；當學生個人能力高、家庭經濟背景差和學生個人能力低、家庭經濟背景好這兩類家庭在ci的取值上較為相似,但后者在實際影子教育參與上具有更大的持續(xù)力,因此,前者將會在后續(xù)的影子教育博弈中先行退出。因此,學生個人能力弱、家庭經濟背景差的低產階層參與影子教育所獲得的收益最高,而學生個人能力強、家庭經濟背景好的高產階層參與影子教育的收益最低。這一分析結果與李佳麗等使用中國基礎教育質量監(jiān)測協同創(chuàng)新中心提供的中部某省會城市小學2013年和2014年數據得出的結論相一致。④李佳麗、胡詠梅：《誰從影子教育中獲益?——兼論影子教育對教育結果均等化的影響》,《教育與經濟》2017年第2期。

三、家庭參與影子教育博弈的理論模型分析：收益可否均衡

采用響應函數分析法分析家庭參與影子教育博弈的均衡點,當其他參與者行動策略xj(j≠i)給定時,參與者i的最優(yōu)行動策略為如下約束優(yōu)化問題的解：

其中第二個約束為制定的合理性約束,比如若參與者i表示家庭經濟背景較好的家庭,則參與者j表示家庭經濟背景較差的家庭,那么可以將約束ai≥aj引入A中。由此可知,家庭參與影子教育博弈的效用存在均衡解,而根據均衡解的代入可以得出不同經濟背景和個人能力的家庭在影子教育博弈中的最優(yōu)策略選擇,從而估算出四種類型家庭(家庭經濟背景好、學生個人能力高；家庭經濟背景好、學生個人能力低；家庭經濟背景差、學生個人能力高；家庭經濟背景差、學生個人能力低)參與影子教育博弈的最佳策略選擇,進而進一步提高家庭參與影子教育的收益。

由上文模型的分析結果可知,在影子教育的博弈中家庭經濟背景和學生個人能力為模型構建的主要變量,學生個人能力越高家庭參與影子教育的欲望就越強烈,而影子教育的博弈競爭就越激烈；家庭經濟背景越好,影子教育的參與程度就越深。因此,對于學生個人能力強、家庭經濟背景又好的家庭在影子教育的博弈中占據主導的位置,而影子教育的博弈是一場“持久戰(zhàn)”,在重復的博弈中需要以經濟不斷投入為基礎,因此家庭經濟背景對影子教育博弈結果的影響,要高于學生個人能力對影子教育博弈結果的影響。

在影子教育的收益上,雖然家庭經濟背景差、學生個人能力低的家庭在博弈中要先于其他類型的家庭而退出影子教育,但根據上文的效用函數分析,這類家庭參與影子教育所獲得收益要高于家庭經濟背景好、學生個人能力高的家庭。主要原因在于前者在有限的經濟能力下參與影子教育,盡管這類家庭在影子教育的投入上較少,但學生成績上升的空間較大,因此,投入和產出的比值就會大于其他類型的家庭。在影子教育的博弈中,家庭經濟背景差、學生個人能力低的這類家庭應在自身經濟能力承受的范圍內參與影子教育,以獲得影子教育的高收益,縮小與其他類型家庭的差距；對于經濟背景好的家庭,應適當參與影子教育博弈,調整以往“參與越多,收益越多”的觀念,只有這樣才能在影子教育的博弈中形成一個均衡且各方收益最大化的博弈情景。

四、主要結論與討論：如何均衡收益

低產階層家庭參與影子教育的收益最高,高產階層家庭參與影子教育的收益最低。在影子教育的重復博弈中,家庭參與影子教育所獲得的效用,取決影子教育競爭的激烈程度和影子教育的參與程度,即主要受到家庭經濟背景和學生個人能力的影響。根據上文效用函數可知,當影子教育的競爭程度和參與程度越高時家庭的效用收益就越低,反之則越高。因此,學生個人能力低、經濟背景差的家庭參與影子教育所獲的收益要高于學生個人能力高、經濟背景好的家庭。究其原因,低產階層家庭雖然在影子教育的博弈中獲得較少的“量”,但其收益比較高,而高產階層家庭雖然獲得的影子教育的“量”多,但其成本也相對較高,因此其收益比較低。所以,在影子教育的博弈中低產階層的收益最高,高產階層參與影子教育博弈的收益最低。

家庭經濟背景對家庭影子教育的博弈起主導性作用,學生個人能力對家庭影子教育的博弈起催化劑作用。由上文可知,影子教育的博弈是一種重復博弈,而家庭經濟背景是家庭影子教育重復博弈的驅動,對影子教育機會的獲得發(fā)揮著主導性作用。學生個人能力影響家庭參與影子教育欲望的強烈,學生個人能力強家庭參與影子教育的欲望就越強,學生個人能力弱家庭參與影子教育教育的欲望就弱。但在現實中也存在學生個人能力弱、家庭參與影子教育欲望強烈的現象,這一現象主要發(fā)生在家庭經濟背景好的中產階層和高產階層中,這類家庭有著較好的經濟基礎,有提升學生個人能力的經濟實力。因此,家庭經濟背景的好差對影子教育機會的獲得起主導性作用,這一作用折射出家庭經濟背景等因素通過影子教育影響著教育資源的分配,且?guī)韮?yōu)質教育向高產階層傾斜,從而不利于教育公平的實現和社會階層的流動。而家庭參與影子教育博弈的另一個重要因素——學生的個人能力,在整個影子教育的博弈中只起著催化劑的作用,它的高低只影響著家庭參與影子教育欲望的高低,而不能決定家庭是否參與影子教育或者在影子教育的重復博弈中取勝。

家庭影子教育博弈結果的不均衡,加劇了教育資源的分配不公。由上文可知,家庭經濟背景與影子教育機會獲得呈正相關,且經濟背景好的家庭占據著影子教育博弈的主導位置,在影子教育的重復的博弈中低產階層最先被淘汰,這很好地說明了影子教育對教育公平產生的影響。家庭在進行影子教育機會獲得的博弈時,處于家庭背景不利地位的學生獲得影子教育的機會要低于家庭背景較好的家庭。因此,家庭間影子教育的競爭,使更多的教育資源流向家庭經濟背景較好的一方,導致教育資源分配的不公。對此,政府應加快建設影子教育機構的評價體系,加強政策監(jiān)督和制度引導,進一步規(guī)范補習市場,對經濟背景差且學生能力低的家庭增加相應補助；學校應建立學習上的幫扶政策,確保該類學生獲得均衡的教育資源；教育機關應加快基礎教育供給側改革,提高供給端的教育質量、教師素養(yǎng)和教育經費的使用效率,保證學生的受教育機會均等化。

教育作為促進階層流動的工具,而今在家庭經濟背景等因素影響下卻扮演著社會不公平和階層復制的角色,①吳重涵、張俊、王梅霧：《是什么阻礙了家長對子女教育的參與——階層差異、學校選擇性抑制與家長參與》,《教育研究》2017年第1期。這一現象一定程度上加劇了階層的固化。而高產階層家庭又依靠自身經濟背景等優(yōu)勢,通過影子教育獲取更多的教育資源拉大教育不公平,加劇社會階層的固化,因此,低產階層處在教育機會獲得的雙不利位置。上文分析得出低產階層參與影子教育的收益最大,但因自身經濟能力有限,其獲得的影子教育的量較少。政府教育機關應通過發(fā)放補習劵等形式,讓更多的低產階層參與到影子教育中,以縮小因影子教育而帶來的階層間教育獲得的差距。同時,高產階層在影子教育的博弈中處在主導的位置,政府、學校等部門應加大在高產階層中的宣傳力度,讓高產階層意識到自身參與影子教育的實際收益情況,達到降低高產階層影子教育參與率的目的。只有雙管齊下,一方面增加低產階層影子教育的收益,一方面降低高產階層影子教育的參與率,才能使影子教育的博弈逐漸走向均衡,提升整個社會影子教育的收益,使影子教育更加符合教育發(fā)展規(guī)律,對社會經濟和教育發(fā)展發(fā)揮更大的積極作用。