華南師范大學數(shù)學科學學院

現(xiàn)代認知心理學認為，學習是學習者以信息的輸入、編碼為基礎，根據(jù)已有經驗及認知結構，主動建構內部的心理表征，進而獲得心理意義的過程.數(shù)學學習是對學生知識、技能、概念、法則在心理上組織起恰當?shù)挠行дJ識結構，使之成為個人內部的知識網絡的一部分.數(shù)學學習水平的層級劃分對數(shù)學教學有著不容忽視的意義.

1 設計的背景

函數(shù)是貫穿高中數(shù)學課程的主線，而復合函數(shù)作為函數(shù)知識的重要組成部分，是歷年高考的熱門考點.同時，復合函數(shù)與導數(shù)、不定積分等有密切的聯(lián)系，是數(shù)學學習的基礎.理解復合函數(shù)的概念及性質，對數(shù)學學習有著舉足輕重的作用，有助于學生進一步完善數(shù)學知識結構.

從數(shù)學必修一開始，不少習題就與復合函數(shù)有密切的聯(lián)系.然而，人教版高中教材中關于復合函數(shù)的概念直到選修2-2 才正式給出，并且是一種描述性的定義，還不能算是嚴格定義.許多教師在教學時只是簡單介紹這一定義及其常用性質，不少學生對復合函數(shù)的理解只是知其表面形式，經不起推敲，對其單調性的判斷方法“同增異減”更是云里霧里，停留在機械記憶的階段.

雖然受高中生認知水平的局限，我們不可能要求學生嚴謹?shù)乩斫鈴秃虾瘮?shù)的本質，但如果教學中能采取適當?shù)姆椒?，將會有助于復合函?shù)這一難點的學習.

2 設計的理念

根據(jù)皮亞杰的建構主義學習理論，本設計以學生為主體，利用信息技術，融入數(shù)學實驗活動，為學生理解復合函數(shù)知識搭建“腳手架”.

3 設計的創(chuàng)新之處

3.1 選題具有價值

復合函數(shù)的教學至關重要，然而現(xiàn)階段，針對復合函數(shù)知識理解的實證研究非常少.因此，以復合函數(shù)為選題，創(chuàng)新教學設計，具有教學價值.

3.2 教學手段新穎

充分使用現(xiàn)代信息技術，利用各種豐富的感性材料，引領學生主動參與、發(fā)現(xiàn)、探究、解決問題，從而深化學生對復合函數(shù)知識的理解，開發(fā)學生的創(chuàng)新潛能.

4 教案

4.1 教學背景

【教學對象】中等水平及以上學校的高一學生

【課時安排】40分鐘

【學情分析】

(1)認知基礎：學生已學習過函數(shù)的相關概念及其性質，能理解映射的含義，具備用定義法判斷函數(shù)單調性的能力.

(2)認知障礙：外函數(shù)與內函數(shù)的分辨，復合函數(shù)幾何意義的理解.

【教學目標】

(1)知識與技能

(2)過程與方法

通過參與發(fā)現(xiàn)、探究、分析、歸納等數(shù)學活動，理解復合函數(shù)，體會“同增異減”的內涵.

(3)情感態(tài)度價值觀

在主動參與數(shù)學活動的過程中，提高自信心，增強數(shù)學學習的興趣.

【教學重點】復合函數(shù)的概念、“同增異減”的內涵；

【教學難點】中間變量、外函數(shù)及內函數(shù)三者的辨別、復合函數(shù)的幾何意義；

【教學方法】引導探究法

【教學工具】幾何畫板、MATLAB、PPT

4.2 教學過程設計

4.2.1 創(chuàng)設情境，引入新知

(1)我們已經學習了函數(shù)的概念：設A,B是兩個非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應，稱f:A →B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記為

函數(shù)是兩個集合之間的對應關系.常見的函數(shù)如y=3x+2,y=2x，都可以輕易地找到這種對應關系，畫出函數(shù)圖象.但有時候，我們遇到的函數(shù)的形式比較復雜，比如y=(log3x)2+2 log3x+1，函數(shù)圖象不容易畫出來，那么，如何確定這種函數(shù)的性質呢?

設計意圖提出問題，激發(fā)學生產生彌補“心理缺口”的學習動力.

(2)引導學生觀察發(fā)現(xiàn)，x都是以log3x的形式出現(xiàn)，如果設u=log3x(x ＞0)，則y=u2+2u+1，變成我們比較熟悉的二次函數(shù)的形式.這樣，通過在x,y之間搭一座橋u，我們化復雜為簡單.

(3)提出疑問：這座橋的建立是否合理? 建了這座橋之后又可以帶來一些怎樣的便利? 有什么新發(fā)現(xiàn)?

圖1 中間變量搭橋圖(PPT展示)

4.2.2 設計實驗，探索新知

實驗一

【實驗目的】直觀感受映射的含義，理解復合函數(shù)的中間變量的含義，學會區(qū)分外函數(shù)以及內函數(shù).

【實驗設備】幾何畫板

【實驗方法】制作幾何畫板動畫，通過幾何畫板的對應和跟蹤功能，展現(xiàn)映射含義以及復合函數(shù)的中間變量的動態(tài)變化過程，引入復合函數(shù)、外函數(shù)、內函數(shù)的概念.

【實驗過程】

(1)教師演示

圖2 映射的含義

設計意圖通過描點繪圖，讓學生直觀感受映射的含義.

(2)教師演示

圖3 中間變量的變化過程

設計意圖把中間變量分離出來，通過圖象讓學生直觀感知中間變量的變化過程，形成中間變量的概念表象.

(3)教師演示

圖4 外函數(shù)、內函數(shù)的圖象

設計意圖畫出外函數(shù)、內函數(shù)的圖象，為學生理解外函數(shù)、內函數(shù)的概念提供直觀材料.

(4)概念形成

一般地，對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=g(x)，如果通過中間變量u,y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復合函數(shù)，記做y=f[g(x)].這里f稱為外函數(shù)，g稱為內函數(shù)，變量u稱為中間變量.

(5)學生操作

把上面做好的幾何畫板文件發(fā)給學生，學生上機操作，并嘗試仿照上述步驟，畫出其他復合函數(shù)的圖象，分辨中間變量、外函數(shù)與內函數(shù).

實驗二

【實驗名稱】復合函數(shù)的幾何意義

【實驗目的】將復雜的數(shù)量關系轉化為圖象特征，從“形”上理解復合函數(shù).

【實驗設備】計算機MATLAB 軟件

【實驗方法】編寫MATLAB 程序

【實驗過程】

(1)理解y=f(x)在坐標系的圖形表現(xiàn)形式

在平面直角坐標xOy中，y=f(x)表示一條曲線C，而在空間直角坐標系O-xyz中，y=f(x)表示的是：以xOy中平面曲線y=f(x)為準線、母線平行于z軸的柱面S，如圖5所示.

圖5 y = f(x)在空間中的幾何意義

(2)理解復合函數(shù)的幾何意義

以(log3x)2+2 log3x+1為 例，令u=log3x，則y=u2+2u+1.在三維空間直角坐標系O - xyz中，外函數(shù)y=f(u)的圖象是以y=f(u)為準線，母線平行于x軸的柱面(圖6.1).內函數(shù)u=g(x)的圖象是以u=g(x)為準線，母線平行于y軸的柱面(圖6.2).復合函數(shù)y=f[g(x)]可以看成是方程組：消去變量u得到的方程.因此，復合函數(shù)的幾何意義可以看成是兩個柱面相交得到的交線(圖6.3)在xOy平面的投影(圖6.4).

圖6 y = f(x)在空間中的幾何意義

(3)交流討論，理解函數(shù)復合的條件

引導學生思考函數(shù)復合的條件，回答情境引入中提出的問題，并進一步思考如何確定復合函數(shù)的定義域與值域.

(4)小結

由上可知，復合函數(shù)y=f[g(x)]的幾何意義可以看成是兩個柱面y=f(u)及u=g(x)相交得到的交線在xOy平面的投影.因此，函數(shù)能夠復合的條件是y=f(u)的定義域D與函數(shù)u=g(x)的值域Z有交集，即D ∩Z /= ?.想一想，如果D與Z沒有交集，那么兩個柱面就沒有交線，自然談不上投影，此時復合無意義.

實驗三

【實驗名稱】利用“同增異減”判斷復合函數(shù)單調性

【實驗目的】理解利用“同增異減”判斷復合函數(shù)單調性的內涵，會利用“同增異減”求復合函數(shù)的單調區(qū)間.

【實驗設備】幾何畫板

【實驗準備】學生分組

【實驗過程】

(1)提出問題：復合函數(shù)的單調性與其內、外層函數(shù)的單調性有關系嗎?

(2)參考實驗一圖4的繪制方法，運用幾何畫板繪制復合函數(shù)、內函數(shù)、外函數(shù)圖象，觀察函數(shù)單調性，填寫表1.

表1 復合函數(shù)的單調性判斷

(3)討論與交流

組內、不同組間進行討論交流.

(4)歸納與猜想

由以上實驗，我們猜想：對復合函數(shù)，在某個區(qū)間上，如果內函數(shù)是增函數(shù)，外函數(shù)也是增函數(shù)，那么復合函數(shù)單調遞_____； 如果內函數(shù)是增函數(shù)，外函數(shù)是減函數(shù)，那么復合函數(shù)單調遞_____；如果內函數(shù)是減函數(shù)，外函數(shù)也是減函數(shù)，那么復合函數(shù)單調遞_____；如果內函數(shù)是減函數(shù)，外函數(shù)是增函數(shù)，那么復合函數(shù)單調遞_____；即“同增異減”.

(5)驗證與數(shù)學化

證明：僅證明若內、外函數(shù)均是增函數(shù)，則復合函數(shù)也是增函數(shù)，其他同理.設f[g(x)]的定義域為X.?x1＜x2∈X,u=g(x)是X上的增函數(shù)，所以u1=g(x1)＜g(x2) =u2,u1∈U,u2∈U.又y=f(u)在U上是增函數(shù)，所以f(u1)＜f(u2)，即f[g(x1)]＜f[g(x2)].根據(jù)函數(shù)增減性的定義，f[g(x)]在X上是增函數(shù).

(6)知識遷移，深化應用

對于由多個函數(shù)復合而成的函數(shù)，“同增異減”的規(guī)律還可以運用嗎？試用幾何畫板探究這個問題，填寫下表，總結規(guī)律.

表2 由多個函數(shù)復合而成的函數(shù)的單調性判斷

4.2.3 總結升華

本節(jié)課，我們借助幾何畫板及MATLAB 程序，對復合函數(shù)有了直觀的認識，了解了復合函數(shù)的幾何意義.通過小組合作，進行實驗探究、猜想、驗證，我們還總結出了復合函數(shù)的單調性的判斷方法“同增異減”.今后學習數(shù)學的過程中，也要繼續(xù)保持這種探索、挖掘的精神，不斷進步.

5 結語

信息技術的革新不斷影響著教學的發(fā)展.《普通高中數(shù)學課程標準》指出，“教師應重視信息技術運用，實現(xiàn)信息技術與數(shù)學課程的深度融合.”誠然，信息技術的適當利用，不僅能為學生解決問題提供直觀，還能啟發(fā)學生思維，突破教學難點，是時代所驅.教師在教學實踐中可積極探索信息技術與課程整合的有效途徑，提高課堂效率，實現(xiàn)教學結構的最優(yōu)化.