廈門大學(xué)附屬科技中學(xué)

1 問題提出的背景

1859年，達(dá)爾文發(fā)表了進(jìn)化論.在此基礎(chǔ)上，德國(guó)生物學(xué)家?？藸? E·Haeckel，1843-1919) 提出了生物學(xué)定律——“個(gè)體發(fā)育史重蹈種族發(fā)展史”.此定律的提出不僅震驚了生物界，也引發(fā)了教育界的巨大變革，人們將其移植于教育得出：個(gè)體知識(shí)的發(fā)生過程遵循人類知識(shí)的發(fā)生過程，學(xué)習(xí)者應(yīng)追溯正在學(xué)習(xí)的主題在歷史中演變的主要步驟，這就是教育界的新生代理論——“歷史發(fā)生原理”.針對(duì)數(shù)學(xué)教育，這一原理可以理解為“個(gè)體數(shù)學(xué)理解的發(fā)展遵循數(shù)學(xué)思想的歷史發(fā)展順序，學(xué)生在認(rèn)知上會(huì)重蹈歷史的覆轍”，這對(duì)我們進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的指導(dǎo)意義.

1972年，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國(guó)際研究小組(International Study Group on the Relation between History and Pedagogy of Mathematics，簡(jiǎn)稱HPM)成立，它標(biāo)志著數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系作為一個(gè)學(xué)術(shù)領(lǐng)域的出現(xiàn)，數(shù)學(xué)家們已認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教育的重要意義，數(shù)學(xué)史已經(jīng)引起了國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的廣泛關(guān)注.

2017年，我國(guó)教育部制定的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，教師應(yīng)有意識(shí)地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的作用，感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識(shí)和人文素養(yǎng)，將數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)，還有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)，有利于開拓學(xué)生視野、提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).最新的高考考試說明也已明確將數(shù)學(xué)文化納入考試范疇，而數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，理應(yīng)受到高中數(shù)學(xué)教師的高度重視.

2 借助HPM的“對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算”教學(xué)深度分析和重構(gòu)過程

2.1 對(duì)數(shù)的發(fā)展史與人教A版必修1中對(duì)數(shù)的教材編制順序比較

(1) 對(duì)數(shù)的發(fā)展史大體上可分為簡(jiǎn)化運(yùn)算思想的形成、對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)表的發(fā)明、指數(shù)與對(duì)數(shù)關(guān)系的發(fā)現(xiàn)3個(gè)階段.對(duì)于“對(duì)數(shù)”的起源，可以追溯到公元前3 世紀(jì).當(dāng)時(shí)古希臘著名的數(shù)學(xué)家阿基米德已經(jīng)認(rèn)識(shí)到了等差數(shù)列與等比數(shù)列之間存在著某種對(duì)應(yīng)關(guān)系，并提出了指數(shù)律.

公元15 世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家許凱在其著作《算數(shù)三部》中給出了雙數(shù)列之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

1,2,4,8,16,32,··· ,131072,262144,524288,1048576和0,1,2,3,4,5,··· ,17,18,19,20.

到了公元16 世紀(jì)，等差數(shù)列和等比數(shù)列之間的對(duì)應(yīng)運(yùn)算關(guān)系——指數(shù)律，已經(jīng)廣為人知，許多數(shù)學(xué)家都想利用指數(shù)律來簡(jiǎn)化計(jì)算，但在實(shí)際計(jì)算時(shí)，指數(shù)律的作用卻微乎其微.比如要求131072×1048576，我們能在對(duì)應(yīng)的等差數(shù)列中找到17和20，利用指數(shù)律求出131072×1048576=237，可若要求123456×1234567，則在上述雙數(shù)列中，找不到對(duì)應(yīng)的指數(shù)，此時(shí)大數(shù)字的乘法運(yùn)算無法得到簡(jiǎn)化.大批數(shù)學(xué)家都在進(jìn)行相關(guān)的研究，但都遇到了各種瓶頸，使得相關(guān)研究停滯不前.

當(dāng)時(shí)，恰處天文學(xué)迅猛發(fā)展的時(shí)代背景，為了解決類似天體之間距離的計(jì)算問題，迫切需要大數(shù)字的簡(jiǎn)化計(jì)算方法，此時(shí)，蘇格蘭數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家納皮爾的“對(duì)數(shù)”應(yīng)運(yùn)而生.納皮爾花了整整20年的時(shí)間，才找到了適合的雙數(shù)列，遞減的等比數(shù)列：107,107(1-10-7),107(1-10-7)2,···，107(1-10-7)n,···與等差數(shù)列0,1,2,3,··· ,n,···相對(duì)應(yīng).納皮爾采用與1 非常接近的底數(shù)，使得數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的間隔非常小，所有小于107和大于108的整數(shù)都可以在同一個(gè)等比數(shù)列中找到，于是又可利用指數(shù)律簡(jiǎn)化乘除運(yùn)算了.之后，經(jīng)過納皮爾和其好友布里格斯的改良，對(duì)數(shù)逐漸變成今天我們見到的樣子.100 多年后，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉提出了“對(duì)數(shù)源于指數(shù)”，此后，指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系才被大家熟知.

(2)對(duì)數(shù)在教材人教A版必修1中的編制順序.

在科技大爆炸的今日，大數(shù)字的計(jì)算早已不是什么難事，對(duì)數(shù)對(duì)于簡(jiǎn)化計(jì)算的作用，已不再被人們需要.教材中，先安排指數(shù)與指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，再通過人口增長(zhǎng)模型y=13×1.01x，已知y的值，求x的方式引入“對(duì)數(shù)”.這種方式既結(jié)合了實(shí)際問題，體現(xiàn)了引入對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)的必要性，又簡(jiǎn)明扼要地揭示了對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，有利于學(xué)生知識(shí)體系的完善.但這種引入方式容易造成兩種后果，一種是學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)的作用認(rèn)識(shí)模糊，一種是容易出現(xiàn)loga(M+N)=loga M+loga N和loga(M ·N)=loga M ·loga N等運(yùn)算錯(cuò)誤.究其原因，無非是教材的編排，脫離了對(duì)數(shù)的發(fā)展史，這使得被恩格斯稱為“17 世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就”的對(duì)數(shù)失去了光芒，學(xué)生根本體會(huì)不到伽利略在說“給我空間、時(shí)間和對(duì)數(shù)，我就能創(chuàng)造一個(gè)宇宙”時(shí)，是一種怎樣的心境.

2.2 如何借助HPM 重構(gòu)“對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算”的教學(xué)

借助HPM，是不是意味著教學(xué)必須按照知識(shí)的發(fā)展順序來進(jìn)行呢?答案當(dāng)然是否定的！顯然，讓學(xué)生完全重復(fù)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，是很荒謬的.其一，教學(xué)條件不允許；其二，歷史上所有數(shù)學(xué)知識(shí)的形成都是前人不斷摸索的結(jié)果，他們走了很多彎路，犯過不少錯(cuò)誤，才能得到今日這么多數(shù)學(xué)瑰寶.

荷蘭著名的數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：“我們不應(yīng)該完全遵循發(fā)明者的歷史足跡，而應(yīng)是經(jīng)過改良、同時(shí)有更好引導(dǎo)的歷史過程.”借助HPM的高中數(shù)學(xué)教學(xué)是指將數(shù)學(xué)史有機(jī)地融入數(shù)學(xué)教學(xué)中，再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)被發(fā)現(xiàn)、證明及應(yīng)用的過程.教師逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、實(shí)踐操作、交流合作，體驗(yàn)解決問題的歷程，從而達(dá)到知識(shí)、技能和情感態(tài)度價(jià)值觀的三維教學(xué)目標(biāo).這種教學(xué)模式，不僅讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)再創(chuàng)造的過程，還培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

在具體操作中，教育者應(yīng)設(shè)置恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)設(shè)計(jì)，將學(xué)生置于數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生前的水平，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”！弗賴登塔爾還進(jìn)一步指出“指導(dǎo)再創(chuàng)造意味著在創(chuàng)造的自由性和指導(dǎo)的約束性之間，以及在學(xué)生取得自己的樂趣和滿足教師的要求之間達(dá)到一種微妙的平衡.”

基于以上觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行“指導(dǎo)再創(chuàng)造”時(shí)，應(yīng)該遵循以下原則：

(1)“再創(chuàng)造”應(yīng)在“與時(shí)俱進(jìn)，聯(lián)系實(shí)際”的前提下，改良、創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程.

(2)“再創(chuàng)造”應(yīng)該立足學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)、以生為本.

(3)“再創(chuàng)造”應(yīng)達(dá)到數(shù)學(xué)教學(xué)的四基四能要求，兼顧考試評(píng)價(jià).

2.3 借助HPM的“對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算”教學(xué)設(shè)計(jì)

(1)對(duì)數(shù)發(fā)展順序和教材順序，借助HPM的知識(shí)重構(gòu)，再創(chuàng)造后的教學(xué)設(shè)計(jì)如圖1所示.

圖1

(2)重構(gòu)后的重點(diǎn)教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)意圖.

重點(diǎn)環(huán)節(jié)一：這是上公開課的前兩天的新聞.此新聞剛剛發(fā)生，以此為案例，更能引起學(xué)生的共鳴和興趣，體現(xiàn)了教師在重構(gòu)對(duì)數(shù)教學(xué)時(shí)，注重時(shí)代背景，與時(shí)俱進(jìn).由“137 億光年”入手，引出“光年”的概念.為后面引入299792.468×31536000 =?，這樣大數(shù)字的乘法運(yùn)算起了承上啟下的作用.這個(gè)問題的提出是本節(jié)課的主線，后面的教學(xué)問題都是為了解決以此題為例的多位數(shù)的乘法運(yùn)算問題.

重點(diǎn)環(huán)節(jié)二：通過介紹對(duì)數(shù)的發(fā)明者納皮爾的經(jīng)歷，讓學(xué)生感受到在追求科學(xué)，追求真理的過程中，沒有捷徑可走，教育學(xué)生要吃苦耐勞，實(shí)事求是，爭(zhēng)當(dāng)祖國(guó)的棟梁！“講故事”的方式，既能吸引學(xué)生的注意力，讓學(xué)生深刻地體會(huì)以10為底的對(duì)數(shù)被稱為“常用對(duì)數(shù)”的歷史背景，又能讓他們明白知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，而不是教師一味地灌輸，在學(xué)習(xí)中，教師幫助學(xué)生立足于各自的最近發(fā)展區(qū)，學(xué)生的思維能力得到了很好的鍛煉.此環(huán)節(jié)很好地實(shí)現(xiàn)了三維目標(biāo)中“情感態(tài)度與價(jià)值觀”的要求.

重點(diǎn)環(huán)節(jié)三：本環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是本節(jié)課的重點(diǎn)和精華！學(xué)生通過科學(xué)計(jì)算器，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)單中的等量關(guān)系，從而得出同底對(duì)數(shù)之間的加減運(yùn)算性質(zhì)，學(xué)生親身體會(huì)了問題的發(fā)生、發(fā)展過程.而且，在計(jì)算的過程中，教師故意設(shè)置了真數(shù)為負(fù)數(shù)的情況，讓學(xué)生進(jìn)一步探索真數(shù)不能為負(fù)數(shù)的本源性問題是因?yàn)檎鏀?shù)是由指數(shù)式中的冪轉(zhuǎn)化而來的.此處的設(shè)置，既對(duì)應(yīng)了對(duì)數(shù)的概念，又為對(duì)數(shù)函數(shù)定義域的學(xué)習(xí)，提供了前提保證.

重點(diǎn)環(huán)節(jié)四：由數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)得出的同底對(duì)數(shù)的加減運(yùn)算性質(zhì)，僅僅是一種猜想，雖然探索新問題的過程，常常是需要猜想的，但是猜想過后，我們應(yīng)該秉著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度給出嚴(yán)格的證明，證明過程板書.這種設(shè)置，能讓學(xué)生再次體會(huì)到數(shù)學(xué)探索的過程不僅需要靈感，更需要實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神.

重點(diǎn)環(huán)節(jié)五：完全是為了解決引例中的多位數(shù)乘法問題作鋪墊，通過探索例2的解決過程，學(xué)生能體會(huì)到對(duì)數(shù)將“乘法”轉(zhuǎn)化為“加法”的思路，領(lǐng)悟?qū)⑺蠓e取對(duì)數(shù)的作法，這將是今后常常會(huì)涉及到的一個(gè)問題！有了本環(huán)節(jié)的過渡，引導(dǎo)學(xué)生求lg(299792.468×31536000) =lg 299792.468+lg 31536000 比較自然的.

重點(diǎn)環(huán)節(jié)六：有了前面環(huán)節(jié)的鋪墊，學(xué)生在此環(huán)節(jié)中的學(xué)習(xí)非常順利！學(xué)生在此環(huán)節(jié)中收獲到了解決問題的喜悅，也切身體會(huì)到了在過去計(jì)算技術(shù)不發(fā)達(dá)的時(shí)代，對(duì)數(shù)對(duì)簡(jiǎn)化計(jì)算的作用是多么巨大的，體會(huì)到了對(duì)數(shù)對(duì)人類科學(xué)的發(fā)展和人類文明的進(jìn)步起到了驚人的推動(dòng)作用，深刻感受到了數(shù)學(xué)的魅力.

通過上述六個(gè)重點(diǎn)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖，可以看出，借助HPM的《對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算》教學(xué)既沒有生搬硬套對(duì)數(shù)的發(fā)展史，也沒有脫離教材內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，而是將HPM理論和實(shí)際聯(lián)系，借助信息化的教學(xué)手段，以時(shí)代為背景，是一次與時(shí)俱進(jìn)，富有新意的嘗試！

3 對(duì)借助HPM的高中數(shù)學(xué)深度教學(xué)的進(jìn)一步思考和建議

經(jīng)過此次嘗試，筆者深知，將數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)是不容易的.但也正是有了此次嘗試，筆者更加深刻地體會(huì)到數(shù)學(xué)史是一座取之不盡用之不竭的寶藏.據(jù)統(tǒng)計(jì)，人教A版必修一到必修五共出現(xiàn)了52次數(shù)學(xué)史的內(nèi)容.其中，必修三是關(guān)于算法、概率和統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容，數(shù)學(xué)史出現(xiàn)的最多，有19處.如此多的數(shù)學(xué)瑰寶等待著我們?nèi)ネ诰蚝褪褂茫咧薪處煈?yīng)盡量借助HPM 進(jìn)行教學(xué)重構(gòu)，以期能達(dá)到幫助學(xué)生強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知，并對(duì)學(xué)生進(jìn)行情感領(lǐng)域和文化領(lǐng)域的教育功能.

基于此次的教學(xué)嘗試和思考，筆者有以下幾點(diǎn)建議.

(1)教師應(yīng)對(duì)使用HPM的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行篩選.教材中雖然出現(xiàn)了如此多的數(shù)學(xué)史內(nèi)容，但不代表都要使用.教學(xué)中，我們還是應(yīng)以課本為主，以防將數(shù)學(xué)課變成了歷史課，不要將“用數(shù)學(xué)史”變成了“教數(shù)學(xué)史”！

(2)知識(shí)點(diǎn)的相關(guān)數(shù)學(xué)史內(nèi)容的選取應(yīng)該關(guān)注“過程性”、“實(shí)際性”和“應(yīng)用性”.注重學(xué)生思維的“螺旋式上升”的發(fā)展規(guī)律，將數(shù)學(xué)思想方法滲透于HPM的數(shù)學(xué)教學(xué)模式中，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，喚醒他們的學(xué)習(xí)內(nèi)動(dòng)力.

(3)一個(gè)好的HPM 教學(xué)，僅僅靠課堂的45分鐘是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的！教師可要求學(xué)生通過查閱書籍和使用網(wǎng)絡(luò)等信息技術(shù)，在課余完成某數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的相關(guān)數(shù)學(xué)史作業(yè).作業(yè)的形式可以多種多樣，如制作PPT、展板、或是手抄報(bào)等等形式，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升相關(guān)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).