廣東省廣州市花都區(qū)圓玄中學(xué)

直觀想象素養(yǎng)出自教育部最新修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，也是初中數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重中之重.直觀想象借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，而信息技術(shù)的合理引進(jìn)能讓這種感知達(dá)到極致，學(xué)生能在枯燥，晦澀的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中領(lǐng)略直觀想象帶來(lái)的生機(jī)和活力，很多看似無(wú)從下手的數(shù)學(xué)問(wèn)題若借助恰當(dāng)?shù)男畔⒓夹g(shù)手段助力學(xué)生的直觀想象，便能輕松獲得解決問(wèn)題的思路.初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，信息技術(shù)的使用對(duì)于提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)有著不可替代的作用.

1 文字圖像化，為直觀想象提供載體

直觀想象的載體是圖形.華羅庚先生曾說(shuō)：“數(shù)缺形難以直觀，形缺數(shù)難以入微”.數(shù)與形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)用廣泛.初中學(xué)生往往對(duì)含數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)的文字和符號(hào)有畏懼心理，尤其是大段的，長(zhǎng)篇幅的更是如此.利用信息技術(shù)軟件中的作圖工具將這些看似枯燥乏味的文字圖像化，為學(xué)生直觀想象提供可視材料，讓數(shù)學(xué)問(wèn)題變得形象，有親和力，才符合學(xué)生的認(rèn)知心理特征.數(shù)學(xué)課堂上經(jīng)常合理使用類似的信息技術(shù)手段，既增添一些有價(jià)值的數(shù)學(xué)元素畫(huà)面感，吸引學(xué)生注意力，又能讓學(xué)生積累直觀想象經(jīng)驗(yàn)，為快速解題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

下面是解題教學(xué)的課堂實(shí)錄節(jié)選片斷：

九年級(jí)數(shù)學(xué)題：小紅在自家樓房窗戶處測(cè)量樓前一棵樹(shù)的高，現(xiàn)測(cè)得樹(shù)頂處俯角為45°，樹(shù)底處的俯角為60°，樓底到大樹(shù)的距離為20 米，請(qǐng)幫小紅計(jì)算樹(shù)高.

課堂狀況當(dāng)看到?jīng)]有配圖的文段時(shí)，很多學(xué)生表現(xiàn)顯為無(wú)法集中注意力思考，或者不知從何處入手思考，全班呈現(xiàn)出躁動(dòng)狀態(tài).

學(xué)生自己完成配圖后，教師與學(xué)生一起利用PPT作圖軟件將題目?jī)?nèi)容畫(huà)出圖1展示于多媒體平臺(tái).

圖1

課堂狀況看著枯燥的文字演變成多彩的幾何圖形，學(xué)生一片唏噓，對(duì)比自己配圖，他們震撼作圖軟件功能的強(qiáng)大，學(xué)生很快沉浸于圖形的分析之中，課堂呈現(xiàn)勃勃生機(jī).

上例充分顯示出運(yùn)用信息技術(shù)手段在將數(shù)學(xué)文字信息圖像化方面的優(yōu)勢(shì)，迅速，便捷，準(zhǔn)確，形象，仿佛賦予題中文字以生命，為學(xué)生的直觀想象提供可視載體，為進(jìn)一步進(jìn)行數(shù)學(xué)思考搭建了良好平臺(tái).

教學(xué)實(shí)踐證明，在利用恰當(dāng)?shù)男畔⒓夹g(shù)手段將文字信息圖像化中，不僅表現(xiàn)為演變成幾何圖形的優(yōu)勢(shì)，也表現(xiàn)出快速，準(zhǔn)確地將文字信息演變成函數(shù)圖像的優(yōu)勢(shì)，學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)在一次次類似的實(shí)踐中逐步得到培養(yǎng)，利用這些圖形或圖像去感知，理解和分析數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)更容易找到突破口.

2 動(dòng)態(tài)演示為直觀與想象架設(shè)橋梁

很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決依賴于直觀和想象的融合，對(duì)于初中數(shù)學(xué)某些類似于壓軸的問(wèn)題，要想準(zhǔn)確地找準(zhǔn)解題切入點(diǎn)，促進(jìn)探索和形成正確的論證思路更需要這種融合，這類問(wèn)題往往難度大，信息多，思維坡度陡，引入幾何畫(huà)板將題中信息動(dòng)態(tài)演示，便能輕松自如地架設(shè)直觀與想象的橋梁，不僅有圖形，還讓這些圖形根據(jù)題中的條件動(dòng)起來(lái)，將原本難以想象的畫(huà)面形象地?cái)[在學(xué)生面前，讓學(xué)生的感官與思維一起被吸引，這種看得見(jiàn)的變化降低思維難度，可能引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利于幫助學(xué)生順利找到解題思路.

下面是解題教學(xué)的課堂實(shí)錄節(jié)選片斷：

九年級(jí)數(shù)學(xué)題：如圖，已知正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG,CG.

(1)直接寫(xiě)出線段EG與CG的數(shù)量關(guān)系；

(2)將圖2-1中ΔBEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，如圖2-2，取DF中點(diǎn)G，連接EG,CG，(1)中的結(jié)論是否仍然成立?寫(xiě)出你的猜想并加以證明.

(3)將圖2-1中ΔBEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖2-3所示，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)(1)中的結(jié)論是否仍然成立?

圖2-1

圖2-2

圖2-3

課堂狀況：第(1)小題直角三角形斜邊上的中線基本圖形一目了然，部分學(xué)生對(duì)于第(2)小題能利用現(xiàn)有幾何圖形構(gòu)造需要的直角三角形斜邊上的中線基本圖形，教師運(yùn)用幾何畫(huà)板將第(2)題的解題剖析圖展示于電子顯示屏，用彩色鎖定為尋找解題切入點(diǎn)而構(gòu)造的直角三角形，配著優(yōu)秀學(xué)生美妙的思路解說(shuō)，呈現(xiàn)于大家的眼前，集聽(tīng)覺(jué)，視覺(jué)于一體，大多數(shù)學(xué)生能較順利地找準(zhǔn)解題切入點(diǎn)，理清解題思路.

圖3

優(yōu)秀學(xué)生解說(shuō)：圖2中要證CG=EG，我們可以構(gòu)造第(1)題中的直角三角形基本圖形，首先利用中點(diǎn)，構(gòu)造一對(duì)全等三角形(遇中點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形EFG和三角形MDG，如圖3.這是常用的輔助線作法)，則EG是EM的一半，即點(diǎn)G是EM的中點(diǎn).連結(jié)EC,MC，易看出CG是ΔECM的中線，只需要證得∠ECM是直角，則直角三角形斜邊上的中線基本圖形構(gòu)造成功，易得EG=CG.

學(xué)生思考障礙：對(duì)于第(3)題中的“旋轉(zhuǎn)任意角度”學(xué)生感到些許茫然，題中雖配旋轉(zhuǎn)后的直觀圖，但因旋轉(zhuǎn)的是任意角，第(2)小題中原本構(gòu)造的基本圖形無(wú)法顯示，學(xué)生對(duì)著這圖難以展開(kāi)想象，幾乎所有學(xué)生對(duì)找解題的切入點(diǎn)無(wú)從下手，學(xué)生深感此題難度太大.

教師應(yīng)對(duì)對(duì)策：

先利用幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)功能通過(guò)鋪墊降低學(xué)生的思維難度.先將原題圖(1)中的三角形BEF作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后模仿前圖解題.

圖4

圖5

再將三角形BEF逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)較小角度，動(dòng)圖落定瞬間即動(dòng)態(tài)播放類似于前題構(gòu)造直角三角形斜邊上中線的基本圖形的過(guò)程.

圖6

圖7

然后將三角形BEF按順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)较螂S意旋轉(zhuǎn)較大角度，每個(gè)動(dòng)圖落定瞬間都動(dòng)態(tài)播放構(gòu)造直角三角形斜邊上中線基本圖形的過(guò)程，然后完整慢速播放旋轉(zhuǎn)360度的全過(guò)程.

圖8

圖9

圖10

其解題思路如下圖：

本題是以旋轉(zhuǎn)為背景的幾何綜合證明題，題中包含了較多的基本圖形，涉及正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識(shí)的理解與應(yīng)用，比較復(fù)雜.思考問(wèn)題的過(guò)程中需要借助直觀與想象的結(jié)合，善于尋找或構(gòu)造基本幾何圖形，并結(jié)合條件與結(jié)論，畫(huà)出探尋證題思路的思維流程圖，便可使思路清晰.解決這類幾何問(wèn)題的核心本質(zhì)是在“變化”之中找“不變”.

圖11

上例教學(xué)中，教師使用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示，將原本難度大且不易想象的數(shù)學(xué)模型生動(dòng)地刻畫(huà)出來(lái)，確實(shí)利于有效降低題目難度，完美地將直觀與想象融合，揭示解題規(guī)律，找準(zhǔn)解題的切入點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生順利打開(kāi)解題思路解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

3 抓準(zhǔn)解題能力的生長(zhǎng)點(diǎn)，作圖軟件讓直觀想象綻放異彩

解題教學(xué)要避免就題論題，在高品質(zhì)解題教學(xué)中，需要我們有一雙慧眼抓準(zhǔn)教學(xué)中蘊(yùn)含的解題能力生長(zhǎng)點(diǎn)，它是學(xué)生已有的解題經(jīng)驗(yàn)，又是新的解題能力得以提升的本源，幾何解題教學(xué)中，在這個(gè)生長(zhǎng)點(diǎn)上引進(jìn)恰當(dāng)?shù)淖鲌D軟件，便能引領(lǐng)學(xué)生多方位直觀想象，促使學(xué)生的思維更靈活，解法更多樣.

九年級(jí)數(shù)學(xué)題：如圖12，已知在圓O中，弦AB=AC,點(diǎn)P是∠BAC所對(duì)弧上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA,PB,PC.若∠BAC=60度，試證明PA=PB+PC.

圖12

證明兩條線段之和等于第三條線段，通常是轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等.這是學(xué)生已有的解題經(jīng)驗(yàn)，又是學(xué)生解題能力的生長(zhǎng)點(diǎn).轉(zhuǎn)化為證哪兩條線段相等?首選將三條線段變兩條線段，有同學(xué)提議：要么截長(zhǎng)，要么補(bǔ)短.該如何截長(zhǎng)補(bǔ)短?此時(shí)運(yùn)用作圖軟件，快速呈現(xiàn)學(xué)生截長(zhǎng)補(bǔ)短的初步想法.有同學(xué)提議：“既然條件中有‘AB=AC,A,B,P,C四點(diǎn)在同一圓內(nèi)’可以嘗試用‘旋轉(zhuǎn)’達(dá)到‘轉(zhuǎn)化為證兩條線段相等的目的’”.在遵循“轉(zhuǎn)化為證兩條線段相等”的大方向不變的情況下，學(xué)生能在短時(shí)間內(nèi)通過(guò)圖形表現(xiàn)自己不同于別人的想法，學(xué)生的直觀想象在此刻綻放異彩.

課堂狀況學(xué)生嘗試添加輔助線，將其轉(zhuǎn)化為證兩條線段相等的情況.對(duì)照?qǐng)D形探尋證題思路.再小組交流不同的輔助線作法，以及不同作法的依據(jù)，大多數(shù)學(xué)生沉浸在探討學(xué)習(xí)的氛圍之中，課堂時(shí)而祥和，時(shí)而活躍.

作補(bǔ)短圖如下：

圖13

圖14

作截長(zhǎng)圖如下：

圖15

圖16

旋轉(zhuǎn)圖如下：

圖17

圖18

剖析：作圖軟件的適時(shí)引入，快速呈現(xiàn)學(xué)生截長(zhǎng)補(bǔ)短及旋轉(zhuǎn)的各種情況，以轉(zhuǎn)化成證兩條線段相等為目標(biāo)，從不同角度和方向考慮，盡可能多的引領(lǐng)學(xué)生的直觀想象異彩紛呈.原本在前階段跟不上課堂進(jìn)程的部分學(xué)生隨著軟件作圖畫(huà)面的一一呈現(xiàn)，其思維被激活.

多角度，多方法，多層次的思考問(wèn)題，拓展了學(xué)生思維的寬度和廣度，確實(shí)能促使學(xué)生思維活躍，但我們要運(yùn)用作圖軟件為學(xué)生提供施展想象的平臺(tái)，幾種情況下共性解題策略也逐步顯現(xiàn)，學(xué)生的思維能力，解題能力在綻放的直觀想象中得以提升.

既然解題能力的生長(zhǎng)點(diǎn)是學(xué)生已有的解題經(jīng)驗(yàn)，又是新的解題能力得以提升的本源，則在上述解題教學(xué)中，在學(xué)生已有的“將此類問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證兩條線段相等”的解題經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，將題中的問(wèn)題或條件作適當(dāng)改變，學(xué)生在解決新問(wèn)題的過(guò)程中，從變中進(jìn)一步提煉方法，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從“變”中發(fā)現(xiàn)“不變”，運(yùn)用作圖軟件完成條件或問(wèn)題的改變，無(wú)疑給學(xué)生的直觀想象提供了便捷的工具，其解題能力也在這一過(guò)程中得到進(jìn)一步提升.

學(xué)生對(duì)上例有如下變式：

變式：在四邊形ABPC中，AB=AC,∠B+∠C=180°(或改為∠BAC+∠BPA=180°)，連接PA.若∠BAC=60°，試探究PA,PB,PC之間的數(shù)量關(guān)系.

把圓的背景去掉，將題中“圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)”知識(shí)點(diǎn)置換成∠B+∠C=180°.作圖軟件的隱藏功能發(fā)揮便捷作用.

變式：將原題中∠BAC(旋轉(zhuǎn)角)= 60°改為90°,120°,其他不變.

這種變式由作圖軟件幫助呈現(xiàn)學(xué)生的想象，既節(jié)約學(xué)生的繪圖時(shí)間，又幫助學(xué)生打開(kāi)眼界，讓思維過(guò)程中的“去表存本”更加清晰明朗.

在上述過(guò)程中，作圖軟件的應(yīng)用將學(xué)生的發(fā)散思維發(fā)揮得淋漓盡致，再次讓學(xué)生的直觀想象綻放異彩，其解題能力得以生長(zhǎng).

初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，恰當(dāng)運(yùn)用信息技術(shù)手段幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，學(xué)生運(yùn)用多種感官協(xié)作學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)將抽象思維與形象思維結(jié)合運(yùn)用.利用信息技術(shù)軟件為學(xué)生的直觀想象提供可視材料，化靜為動(dòng)，把學(xué)生理解中的難點(diǎn)動(dòng)態(tài)演示，為直觀與想象架設(shè)橋梁.解題教學(xué)中抓準(zhǔn)學(xué)生解題能力的生長(zhǎng)點(diǎn)，利用作圖軟件快速，準(zhǔn)確，形象，生動(dòng)地展示學(xué)生的想象，用圖思考，數(shù)與形完美結(jié)合，確實(shí)能激活學(xué)生思維，學(xué)生的直觀與想象素養(yǎng)在這一過(guò)程中也得以提升.