盧艷嫻

【摘要】本文僅談?wù)勛约涸诹Ⅲw圖形教學(xué)中的一些做法，力圖闡述用數(shù)形結(jié)合方法使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化;能夠變抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言為直觀的圖形、抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)模型

數(shù)形結(jié)合思想就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起。我覺(jué)得把數(shù)形結(jié)合思想貫穿、融合在課堂教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生嚴(yán)密思維，靈活思考，就能幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中化抽象為直觀、化直觀為精確、化難為易、化繁為簡(jiǎn);培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)有效的思維方法，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高。下面以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)第三單元“圓柱和圓錐”為例，詮析數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的運(yùn)用。

一、問(wèn)題背景

（一）來(lái)自學(xué)生的困惑

1.學(xué)生初步的空間觀念難以建立，只會(huì)機(jī)械地記住公式，然后直接套用，如求圓柱表面積的，要推算物體相對(duì)應(yīng)需要幾個(gè)面（諸如水桶、通風(fēng)管、游泳池、油桶等），但部分學(xué)生總會(huì)依附最完整的計(jì)算公式來(lái)計(jì)算，從不作分析，導(dǎo)致解題思緒混亂。

2.也有做題時(shí)只記住計(jì)算公式而犯了形而上學(xué)的經(jīng)驗(yàn)主義的錯(cuò)誤，如見(jiàn)到是“圓錐”有關(guān)系的題必定乘;有時(shí)還是犯計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤的，他們憑借的是模糊的印象做題。

（二）來(lái)自老師的困惑

教者拿著學(xué)具操作時(shí)，學(xué)生都能較好地說(shuō)出圖形的特征，一旦脫離實(shí)物學(xué)生就不能熟練地再現(xiàn)圖形的特征或出錯(cuò)。究其原因，關(guān)于圖形特征的表象建立不夠牢固，沒(méi)用內(nèi)化到學(xué)生已有的知識(shí)體系結(jié)構(gòu)中。針對(duì)這一現(xiàn)象，我考慮在動(dòng)手操作之后實(shí)施動(dòng)態(tài)想象，給學(xué)生有效的思維訓(xùn)練，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)形思維的發(fā)展。

二、解決策略

1.重視動(dòng)手操作，強(qiáng)化圖形表象

數(shù)形思想在培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念中需要大量的實(shí)踐操作活動(dòng)，學(xué)生要有充分的時(shí)間和空間觀察、測(cè)量和動(dòng)手操作，才能對(duì)幾何圖形產(chǎn)生直接感知。

在“圓柱的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中（如圖一），我們可以充分利用教材上提供的素材，設(shè)計(jì)動(dòng)手操作的提綱，為學(xué)生提供能夠具體操作的步驟，把抽象的幾何圖形，展現(xiàn)在一個(gè)個(gè)豐富多彩的操作活動(dòng)中，使得抽象的數(shù)學(xué)概念直觀化、形象化、簡(jiǎn)單化。

根據(jù)提綱，安排學(xué)生進(jìn)行小組互動(dòng)，憑借著學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，他們不難知道卷出來(lái)的立體圖形是圓柱。為拓寬學(xué)生探索的空間，加強(qiáng)對(duì)圖形計(jì)算方法的探索，可要求學(xué)生在小組中的交流聯(lián)系生活實(shí)際，如，“你覺(jué)得卷成的圓柱體與生活中的什么物體相似？如果在圓柱的一端加上一個(gè)圓面，它像什么物體？有哪些物體是圓柱體，并且有兩個(gè)圓面的？”接著學(xué)生會(huì)報(bào)出一系列的名稱：煙囪、通風(fēng)管、水桶、游泳池、鐵罐頭、油桶……談到生活中的瑣事，降低了學(xué)習(xí)的壓力，學(xué)生定能互勵(lì)互勉，就連平時(shí)沉默寡言的學(xué)生也積極參與其中，他們往往在同伴的笑聲或糾正下認(rèn)識(shí)到自己沒(méi)注意的生活現(xiàn)象。

學(xué)生在這種操作中，促進(jìn)圖形模型的構(gòu)建（為后面教學(xué)圓柱表面積的計(jì)算鋪墊），將前后知識(shí)融會(huì)貫通。而增加用平面的長(zhǎng)方形、直角三角形和半圓形的小旗快速轉(zhuǎn)動(dòng)的活動(dòng)，不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)動(dòng)態(tài)地引入由面到體的過(guò)程，妙在讓學(xué)生在觀察中注重了二維的面積概念和三維的體積概念之間的差異比較和縱向發(fā)展脈絡(luò)上的梳理，充分地利用“形”把數(shù)學(xué)概念變得形象、直觀、生動(dòng)。

2.重視方法的形成過(guò)程，滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂，是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的指導(dǎo)思想。教學(xué)時(shí)重視數(shù)學(xué)思想方法（轉(zhuǎn)化、極限、數(shù)形結(jié)合等）的滲透，不僅能使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)理解更深刻，而且對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)也十分有用。因此，我們?cè)诹Ⅲw圖形教學(xué)中，要重視方法的形成過(guò)程、滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。

如教學(xué)“圓柱的體積”一課（圖二）：

（1）直觀演示，建立聯(lián)系

以課件的形式呈現(xiàn)圓面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程（如圖三），喚起學(xué)生的記憶，引導(dǎo)學(xué)生回顧、猜想：“能不能把圓柱轉(zhuǎn)化成一種學(xué)過(guò)的圖形，計(jì)算出它的體積？”學(xué)生直觀圖形這種特殊的語(yǔ)言符號(hào)，很快確定打算把圓柱轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體，這是學(xué)生的初步感知。自然疑問(wèn)就產(chǎn)生了：該怎樣來(lái)切割呢？如何轉(zhuǎn)化更近于長(zhǎng)方體呢？

（2）圖形呈現(xiàn)，驗(yàn)證猜想

猜想——發(fā)現(xiàn)問(wèn)題后應(yīng)當(dāng)加以驗(yàn)證。教者利用多媒體演示，把圓柱的底面沿直徑分成若干等份，把圓柱切開(kāi)（圓柱的底面用一種顏色，圓柱的側(cè)面用另一種顏色）再像下圖這樣拼起來(lái)（如圖四）。通過(guò)演示使學(xué)生清楚地看到圓柱是如何轉(zhuǎn)化為近似的長(zhǎng)方體的。整體上看，用不同的顏色區(qū)分圓柱的底面與側(cè)面，能更有效地凸顯圖形的本質(zhì)，促進(jìn)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。

（3）實(shí)驗(yàn)探究，自主構(gòu)建

知識(shí)的形成必須是學(xué)生親身經(jīng)歷的過(guò)程，此時(shí)采用小組交流的形式，他們拿出學(xué)具進(jìn)行了動(dòng)手操作，拼成了一個(gè)近似的長(zhǎng)方體。同學(xué)們?cè)诓僮?、比較中，圍繞圓柱體和長(zhǎng)方體之間的聯(lián)系，抽象出圓柱體的體積公式（如下）。這個(gè)過(guò)程，學(xué)生從形象具體的知識(shí)形成過(guò)程（想象、操作、演示）中，認(rèn)識(shí)得以升華，獲得豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

在教學(xué)過(guò)程中，教者還可提供豐富的實(shí)驗(yàn)材料，讓學(xué)生從中挑選出解決問(wèn)題必須的材料進(jìn)行研究。學(xué)生的問(wèn)題不是一步到位的，通過(guò)不斷地猜測(cè)、驗(yàn)證、修訂實(shí)驗(yàn)方案，再猜測(cè)、再驗(yàn)證這樣的過(guò)程。這樣的設(shè)計(jì)，不僅發(fā)展了學(xué)生的策略性知識(shí)，同時(shí)讓學(xué)生經(jīng)歷猜測(cè)與驗(yàn)證、分析與歸納、抽象與概括的數(shù)學(xué)思維過(guò)程。學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生有時(shí)獨(dú)立思考，有時(shí)小組合作學(xué)習(xí)，有時(shí)是獨(dú)立探索和合作學(xué)習(xí)相結(jié)合，學(xué)生在新知探索中充分體驗(yàn)了數(shù)學(xué)模型的形成過(guò)程。

3.重視數(shù)學(xué)閱讀，數(shù)形結(jié)合助解題

中高年級(jí)的小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)于一些看似簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，以為自己掌握得很好，自以為是，因此產(chǎn)生輕視心理，審題時(shí)就會(huì)思想麻痹，粗心大意，結(jié)果在審題時(shí)出現(xiàn)了明顯的偏差。有效的數(shù)學(xué)閱讀可以提高學(xué)生的審題能力，分析問(wèn)題能力，發(fā)展思維能力。指導(dǎo)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)題，能夠掌握從文字中提煉出有用信息的方法，幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

如，學(xué)習(xí)了人教版六年級(jí)下冊(cè)《圓柱的認(rèn)識(shí)》第19頁(yè)內(nèi)容后（如圖五）。

我總覺(jué)得學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握很好，因?yàn)樵谕瓿深愃啤鞍岩粋€(gè)圓柱的側(cè)面沿著它的一條高剪開(kāi)后展開(kāi)，可以得到一個(gè)長(zhǎng)方形，所得長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱的（ 底面周長(zhǎng) ），寬等于圓柱的（高）?！庇?5%以上的同學(xué)填寫正確，但在單元測(cè)試中出現(xiàn)這樣的情況（如圖六）。

究其原因是學(xué)生惰性強(qiáng)，缺乏數(shù)學(xué)閱讀的習(xí)慣，沒(méi)有認(rèn)真的閱讀題目，沒(méi)有在審讀題目中思考知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系。因此，我們必須在學(xué)生解決問(wèn)題前加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀指導(dǎo)。

以下材料是六年級(jí)下冊(cè)期中綜合素質(zhì)問(wèn)卷中一道習(xí)題：

這道題學(xué)生因急于求成，沒(méi)認(rèn)真審題關(guān)注形狀和各部分就匆匆下筆以致出錯(cuò)。對(duì)于糟糕的解題情況，在評(píng)講時(shí)我特意把該題獨(dú)立出來(lái)討論，提示要閱讀題目，并且讀出你對(duì)題目的感覺(jué)。然而有些孩子們的思路還是清晰的：

生1：這題應(yīng)該先求圓錐的體積，但又不是按圓錐體積的算法，而是求水上升的體積，是圓柱形，不用乘。

生2：讀完題目，可以把重要的信息圈出來(lái)，這樣就沒(méi)那么容易錯(cuò)了。（如圖七是該生解題的做法）……

雖然如此，我還是鼓勵(lì)他們把自己的思路用簡(jiǎn)筆畫的形式描繪出來(lái)：

數(shù)學(xué)閱讀實(shí)質(zhì)上是一個(gè)不斷推理的過(guò)程，如果學(xué)生在解題時(shí)能認(rèn)真閱讀題目，或者把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形的問(wèn)題，把握本質(zhì)，能充分發(fā)揮空間想象能力建立立體圖形與平面圖形的聯(lián)系，進(jìn)行合理的知識(shí)遷移，想必會(huì)實(shí)現(xiàn)良好的解題效果。

4.注重感悟，提升數(shù)形結(jié)合的層次

數(shù)學(xué)思想重在“悟”，一個(gè)數(shù)學(xué)思想的形成需要經(jīng)歷一個(gè)從模糊到清晰，從理解到應(yīng)用的長(zhǎng)期發(fā)展過(guò)程，需要在不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)中提煉、總結(jié)、理解、應(yīng)用等循環(huán)往復(fù)的過(guò)程逐步形成。然而，學(xué)生僅靠課堂上聽(tīng)老師的講授是難以豐富和完善自己的數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)的。只有通過(guò)閱讀，好好感悟數(shù)學(xué)語(yǔ)言的完整、規(guī)范、嚴(yán)密，做好與文本標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的交流，才能規(guī)范自己的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解力和表達(dá)力;領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，提高自身的思維能力。

如，教學(xué)完“圓柱與圓錐的體積”后，我注重指導(dǎo)學(xué)生閱讀書(shū)上的內(nèi)容，力求領(lǐng)悟化未知為已知的數(shù)學(xué)思想，提高思維能力。閱讀后讓學(xué)生填補(bǔ)這樣的結(jié)論：

這里的數(shù)形結(jié)合，在圖形與文字匹配的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生形象地感知圓柱與圓錐體積的關(guān)系，在頭腦中抽象數(shù)與形，從而準(zhǔn)確地解決問(wèn)題。這樣讓學(xué)生親身經(jīng)歷、體驗(yàn)“數(shù)形結(jié)合”的過(guò)程，腦中就會(huì)真正形成數(shù)感，看到文字就聯(lián)想到圖形，看到圖形就能聯(lián)想到算理，更加有效地解決問(wèn)題。

總之，立體圖形的教學(xué)，需要不失時(shí)機(jī)地為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)男蜗蟛牧?，將抽象的空間概念與直觀的幾何圖像進(jìn)行互釋互譯。相信巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，把無(wú)形的解題思路形象化，從而使學(xué)生順利的、高效率的學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，開(kāi)發(fā)智力，增強(qiáng)能力，使教學(xué)收到事半功倍之效。

參考文獻(xiàn)：

[1]董毅.數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化[M].安徽大學(xué)出版社，2012（9）.

[2]教育部.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（六年級(jí)下冊(cè)）[M].人民教育出版社，2014（10）.

[3]教育部.教師教學(xué)用書(shū) ?數(shù)學(xué)（六年級(jí)下冊(cè)）[M].人民教育出版社，2014（10）.