廣東省汕頭市東廈中學(xué)

本文中將全國卷題型分為兩類,分別是“三線垂直”型和“線面(面面)垂直”型,“三線垂直”型可采用“補型法”,“線面(面面)垂直”型可采用“標(biāo)高法”.在解法中采用“引例說題”的形式,注重題目條件的分析,強(qiáng)化立體幾何定理的正確使用及解題的通性通法,深化數(shù)學(xué)思想的滲透.

1 試題分析

1.1 高考真題

(1)(2019年高考全國Ⅰ卷理科第12題)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,ΔABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點,∠CEF=90°,則球O的體積為().

(2)(2018年高考全國ⅠⅠⅠ卷理科第10題)設(shè)A,B,C,D是同一個半徑為4的球的球面上四點,ΔABC為等邊三角形且其面積為則三棱錐D-ABC體積的最大值為().

(3)(2015年高考全國ⅠⅠ卷理科第9題)已知A,B是球O的球面上兩點,∠AOB=90°,C為該球面上的動點,若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為().

A.36πB.64πC.144πD.256π

(4)(2017年全國Ⅰ卷文科第16題)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,SC是球O的直徑.若平面SCA ⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,則球O的表面積為____.

(5)(2013年高考全國Ⅰ卷文科第15題)已知H是球O的直徑AB上一點,AH:HB=1:2,AB ⊥平面α,H為垂足,α截球O所得截面的面積為π,則球O的表面積為____.

(6)(2017年高考全國ⅠⅠ卷文科第15題)長方體的長,寬,高分別為3,2,1,其頂點都在球O的球面上,則球O的表面積為____.

(7)(2016年高考全國ⅠⅠ文科第4題)體積為8的正方體的頂點都在同一球面上,則該球面的表面積為().

1.2 試題特征

近幾年國卷的命題特點,有以下幾點規(guī)律:

(1)針對的幾何體主要是三棱錐、四棱錐、三棱柱、四棱柱等常見幾何體;

(2)所求的外接球問題主要是體積和表面積;

(3)題目的條件中每個幾何體基本都具備一個線面垂直或是面面垂直的條件.

2 必備知識

求解此類問題必備的基礎(chǔ)知識有以下兩個內(nèi)容:

球的相關(guān)運算公式:S表面積=4πR2,V體積 =

圖1

球的重要性質(zhì):在球O中,球的一個截面為⊙O1,連接OO1,設(shè)OO1為d,則球的半徑R,截面半徑r與OO1滿足R2=d2+r2.

3 例說解法

針對以上試題特征,下面將此類問題分為兩種基本解法:

3.1 “三線垂直”型—-補型法

適合題目特征:幾何體存在三條直線滿足兩兩垂直的條件.

解法將幾何體“補”成長方體,即是在長方體八個頂點中取其中若干個為該幾何體的頂點,此時此幾何體必與長方體共球,而長方體的體對角線為外接球的直徑.

例1某幾何體的三視圖如圖2,其頂點都在球O的球面上,球O的表面積是().

A.2πB.4πC.8πD.18π

圖2

分析此題以三視圖為條件,其直觀圖如圖3所示,由條件可發(fā)現(xiàn)幾何體是三棱錐,底面ABC為等腰直角三角形,有一條側(cè)棱PA垂直底面ABC,即是有三條直線PA,AB,BC兩兩垂直,因此這道題可以采用“補型法”,將三棱錐“補”成長方體(如圖4),即是在長方體八個頂點中取其中四個,作為此三棱錐的頂點.

圖3

圖4

解答由三視圖可知:BA=BC=PA=2,則長方體體對角線PC=因此外接球半徑R=球O的表面積S=4πR2=8π.

點評此法適合存在三條兩兩垂直的直線的幾何體,如何在長方體8 個頂點中尋得對應(yīng)的點作為幾何體的頂點,將幾何體“移”到長方體中,成了此法的關(guān)鍵所在.2017年高考全國ⅠⅠ卷第15題,2016年高考全國ⅠⅠ卷第4題可使用此法解答.

3.2 “線面(面面)垂直”型—-標(biāo)“高”法

適合題目特征:幾何體中存在一組線面垂直或面面垂直的條件根據(jù)國卷命題特點,此類題型可分為兩類.

類型一如圖5所示,PA垂直于底面α,垂足為A恰為底面的一個頂點.

解法由PA ⊥底面α,則將PA作為幾何體的“高”,如圖6所示,以三棱錐為例,則底面α必為球的一個截面O1,頂點P必為球面上一點,假設(shè)球心為O,連OO1,PO,O1A,由OO1⊥面α,可知PA//OO1,四邊形OPAO1是直角梯形,OP為球O的半徑R,在此類題型中,注要到PO=OA=R,因此OO1=PA,此時O1A恰為截面的外接圓半徑r,利用球的基本性質(zhì)OA=R,O1A=r,OO1=d,有d2+r2=R2,即可求解R.

圖5

圖6

例2三棱錐P-ABC中,PA ⊥平面ABC,PA=2,AB=1,∠BCA=30°,則三棱柱P-ABC的外接球的體積是____.

分析此題中PA是三棱錐的高,即是“標(biāo)高”,雖然ΔABC只知道一邊及一對角,只需由正弦定理求得外接圓半徑r即可.

解答由題意,如圖7所示,O1是底面ABC所在截面圓的圓心O為外接球球心,連OO1,OP,OA,O1A.因為OO1⊥面ABC,可知PA//OO1,OP=OA=R,所以在ΔABC中,由正弦定理可 得r=O1A=1,所以 在RtΔOO1A中,R=所以,

圖7

類型二如圖8所示,已知面PAB ⊥底面α,交線為AB,P點在底面的射影M在直線AB上

解法由面PAB ⊥面α,交線為AB,點P在底面的射影為M,因此PM恰為幾何體“高”,如圖9所示,以三棱錐為例,則底面α必為球的一個截面O1,頂點P必為球面上一點,假設(shè)球心為O,連OO1,PM,O1M,由OO1⊥面α,可知PM//OO1,四邊形OPMO1是直角梯形,OP為球O的半徑R.

圖8

圖9

在此類題型中,與類型一不同的是:此時O1M并不是截面的外接圓半徑r,在直角梯形OPMO1中,設(shè)OO1=d,PM=h,OP=R,(h-d)2+O1M2=R2.只需再連O1A,OA,根據(jù)球的基本性質(zhì)OA=R,O1A=r,有d2+r2=R2,根據(jù)題意求出O1M,聯(lián)立兩個方程組即可求解R.

例3已知四棱錐P-ABCD的頂點都在球O上,底面ABCD是矩形,平面PAD ⊥平面ABCD,ΔPAD為正三角形,AB=2AD=4,則球O的表面積為()

分析由題中的面面垂直的條件,可得到線面垂直,同時可確定頂點P在底面的射影M的位置.

解答如圖10所示,由平面PAD ⊥平面ABCD,交線為AD,ΔPAD為正三角形,取AD中點M,連PM,PM ⊥AD,所以PM ⊥平面ABCD,所以AD=2,則

如圖11所示,O1是底面ABC所在截面圓的圓心,O為外接球球心,連OO1,OP,PM,O1M,顯然OO1//PM,在矩形ABCD中,AC是圓O1的直徑,O1M=AB=2,在直角梯形OPMO1中,設(shè)OO1=d,OP=R,PM=(PM-d)2+O1M2=R2,

圖10

圖11

點評此法適合已知條件中有線面垂直或面面垂直的幾何體,由此可確定幾何體的“高”,由此確定“底面”,將幾何體“移”入球中,從而構(gòu)造直角梯形,利用球的基本性質(zhì),建立方程(組),求解未知量.比較兩種類型的條件,除了找到幾何體的“高”之外,確定頂點在底面的射影的位置成了解題的關(guān)鍵.在近幾年的全國卷高考題中,底面基本上都是較“特殊”的三角形或四邊形,只要結(jié)合圖形的特征,確定該射影的位置并非難事.2013年高考文科Ⅰ卷第15題、2015年高考理科ⅠⅠ卷第9題、2017年高考文科Ⅰ卷第16題和2018年高考理科ⅠⅠⅠ卷第10題都可以使用此方法.

4 方法解讀

4.1 解題方法解讀

(1)“補形法”主要只針對與“長方體”共球的幾何體,因此要根據(jù)幾何體的特征將幾何體“移”到長方體中.

4.2 思想方法解讀

這種解題方法體現(xiàn)了兩個重要的數(shù)學(xué)思想—-數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化化歸,即通過巧妙作圖,將立體幾何的空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,再通過代數(shù)計算解決問題.

5 鏈接高考

2019年高考全國Ⅰ卷理科第12題就是一道三棱錐的外接球問題,這道題作為選擇題的壓軸題,其考查的還是處理問題的通性通法,現(xiàn)將該題用上述方法解答如下:

題目(2019年高考全國Ⅰ卷理科第12題)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,ΔABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點,∠CEF=90°,則球O的體積為()

圖12

圖13

分析由題目條件可知此三棱錐為正三棱錐,設(shè)底面ΔABC中心為O1,則PO1為正三棱錐的高,且必過球心O,可將正三棱錐“移”入球中,如圖13所示,只需利用已知條件求出正三棱錐的高,根據(jù)球的基本性質(zhì),建立方程組,即可求得球半徑.

解答設(shè)ΔABC外接圖圓半徑為r,由已知可知設(shè)PA=2a,由E,F分別是PA,AB的中點,可得EF=a,∠CEF=90°,EF2+CE2=CF2,ΔPAC中,

由余弦定理可得

因為ΔACE中,

所以EF2+CE2=CF2可化為解得所以所以RtΔPO1C中,設(shè)PO=R,OO1=d,則

由球的基本性質(zhì)可得在RtΔOO1C中,

6 解題反思

一道數(shù)學(xué)題的解法不一定只有一種,一題可以多解,對于簡單的空間幾何體外接球的這一問題,有些題目可以適合上述兩種方法.就“補形法”而言,并不一定要補成“長方體”,個別題目可以補成“三棱柱”和“六棱柱”等,形式并不唯一.本文只是針對近幾年全國卷中常見的題型進(jìn)行分析與歸納,就“國卷”命題特點而言,能使用“補形法”的題目,若采用“標(biāo)高法”也是同樣可以解答的.