四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院

高考數(shù)學(xué)命題將“多考點(diǎn)想,少考點(diǎn)算”作為一條基本命題理念.[1]基于此,衍生出了一系列優(yōu)化運(yùn)算的解題策略,比如:利用定義、利用模型、正難則反、數(shù)形結(jié)合、特殊化、極限策略、猜想策略、換元策略、設(shè)而不求、分離變量等等.文中以2019年高考試題為例,介紹一些實(shí)現(xiàn)“多想少算”的解題策略,以期讀者充分感受“多想少算”的命題理念和策略的魅力.[2]

一 利用定義

李邦河院士指出:“數(shù)學(xué)是玩概念的,而不是技巧.”熟練運(yùn)用定義解題,常常可獲得快捷有效的解題途徑.

例1(2019年高考浙江卷第8題)設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形,側(cè)棱長(zhǎng)均相等,P是棱V A上的點(diǎn)(不含端點(diǎn)).記直線PB與直線AC所成角為α,直線PB與平面ABC所成角為β,二面角P-AC-B的平面角為γ,則().

A.β <γ,α<γB.β <α,β <γ

C.β <α,γ <αD.α<β,γ <β

解作PD//CA交V C于D,取PD中點(diǎn)E,連接BE,作EH⊥平面ABC于H,連接BH,作PF⊥平面ABC于F,連接BF,作PG⊥AC于G,連接FG.

圖1

易知V-ABC為正三棱錐,故PB=BD,則BE⊥PD.又PD//CA,則α=∠BPD.顯然β=∠PBF,γ=∠PGF.易知

則sinα>sinβ.由得α>β.又

則γ >β,故α>β,γ >β.

評(píng)注解答中抓住異面直線成角、線面角、二面角定義,減輕了思維負(fù)荷,實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的快速解答.

二 利用模型

數(shù)學(xué)模型是研究者依據(jù)研究目的,將所研究客觀事物的過(guò)程和現(xiàn)象的主要特征、主要關(guān)系,采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言,概括或近似地表達(dá)出來(lái)的一種結(jié)構(gòu).[3]如恒等式模型、三點(diǎn)共線模型、距離模型、面積模型等,利用模型解題,可縮短思考時(shí)間,提升解題效率.

例2(2019年高考天津卷理科第14題)在四邊形ABCD中,AD//BC,AB=AD=5,∠A=30°,點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上,且AE=BE,則

圖2

解作EF//BD交AD于F,取AF中點(diǎn)G,連接EG.由已知得,θ=30°,則∠AEB=120°,由正弦定理得則AE=BE=DF=2,AF=又EG2=AE2+AG2-2AE·AG·cos 2θ則

評(píng)注利用向量的恒等式模型(對(duì)于任意向量有將表征為關(guān)于的關(guān)系式,再利用正弦定理求出向量的模.解答思路清晰,層層遞進(jìn),優(yōu)化了解題過(guò)程.

圖3

例3(2019年高考江蘇卷第12題)如圖3,在ΔABC中,D是BC的中點(diǎn),E在邊AB上,BE=2EA,AD與CE交于點(diǎn)O.若則的值是____.

解如圖,過(guò)D作DF//CE,交AB于F,由BE=2EA,D為BC中點(diǎn),知AE=EF=FB,AO=DO.則又D為BC中點(diǎn),則同理則故

評(píng)注利用三點(diǎn)共線模型為平面內(nèi)一組基底,為平面內(nèi)任意向量,當(dāng)且僅當(dāng)λ+μ=1時(shí),P、A、B三點(diǎn)共線),簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程,考查了模型素養(yǎng)、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

三 正難則反

正難則反策略是逆向思維的體現(xiàn).逆向思維是指從問(wèn)題的反面進(jìn)行思考,從而尋求解決問(wèn)題的方法.正難則反策略消除了習(xí)慣于一個(gè)方面思考問(wèn)題的思維局限,構(gòu)建了事物之間的可逆性和對(duì)立性.

例4(2019年高考江蘇卷第6題)從3 名男同學(xué)和2 名女同學(xué)中任選2 名同學(xué)參加志愿者服務(wù),則選出的2 名同學(xué)中至少有1 名女同學(xué)的概率是____.

解選出的兩名同學(xué)沒(méi)有女生的概率為故選出兩名同學(xué)至少有1 名女生的概率為

評(píng)注此題從正面思考時(shí)需要就選出的兩名同學(xué)中有1名女同學(xué)和2 名女同學(xué)進(jìn)行分類討論,略顯繁瑣.從事件反面入手,只需考慮事件選出的兩名同學(xué)沒(méi)有女生發(fā)生的概率,簡(jiǎn)潔有效,可快速獲解.

四 數(shù)形結(jié)合

華羅庚指出:“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合千般好,隔離分家萬(wàn)事休.”運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題,實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的相互關(guān)聯(lián),形象直觀,有利于提高解題效率.

例5(2019年高考全國(guó)Ⅱ卷文科第12題)設(shè)F為雙曲線C:的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn).若則C的離心率為().

解設(shè)F(c,0),因?yàn)橐設(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn),且則故即2a2=c2,所以

圖4

評(píng)注通過(guò)數(shù)形結(jié)合,將零散、抽象的代數(shù)信息用圖形語(yǔ)言集中、直觀呈現(xiàn)出來(lái),借助“形”的直觀性彌補(bǔ)“數(shù)”的抽象性,降低求解難度,減少運(yùn)算過(guò)程,體現(xiàn)了多想少算的理念.

五 特殊化

特殊化策略指解決問(wèn)題時(shí)從特殊的情況加以考慮,進(jìn)而探求問(wèn)題一般屬性的數(shù)學(xué)方法.運(yùn)用特殊化策略解題,可簡(jiǎn)化問(wèn)題解決的思考方式,優(yōu)化解答過(guò)程,提升解題效率.

例6(2019年高考上海卷第16題)已知tanα·tanβ=tan(α+β),有下列兩個(gè)結(jié)論:存在α在第一象限,β在第三象限;存在α在第二象限,β在第四象限,則().

A.均正確B.均錯(cuò)誤

C.對(duì)錯(cuò)D.錯(cuò)對(duì)

解令由得則β在第二、四象限,故錯(cuò); 令同理得則存在β在第四象限,故對(duì).

例7(2019年高考全國(guó)Ⅲ卷文科第12題)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減,則().

解設(shè)f(x)=-|x|,則

評(píng)注華羅庚指出:“善于退,足夠地退,退到最原始而不失重要性的地方,是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.”特殊化求解是解答以上兩例的最佳方式,充分體現(xiàn)了退的思想.

六 極限策略

極限策略是利用極限思想去分析問(wèn)題并解決問(wèn)題的方法.利用極限思想,把問(wèn)題逼近到某一極端狀態(tài),往往能夠起到化繁為簡(jiǎn)的作用.

例8(2019年高考全國(guó)Ⅱ卷文科第21題(節(jié)選))已知函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x-1.證明:

(Ⅰ)f(x)存在唯一的極值點(diǎn).

解因?yàn)榍襶=lnx單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,故f′(x)單調(diào)遞增.當(dāng)x→0時(shí),f′(x)→-∞;當(dāng)x→+∞時(shí),f′(x)→+∞,則必存在唯一的x0∈(0,+∞),使得f′(x0)= 0,即f(x)存在唯一的極值點(diǎn).

例9(2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理科第20題(節(jié)選))已知函數(shù)

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性,并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

解因?yàn)?1,+∞),故f(x)在(0,1)和(1,+∞)單調(diào)遞增.由f(x)=則x→0時(shí),f(x)→-∞,x→1-時(shí),f(x)→+∞;x→1+時(shí),f(x)→-∞,x→+∞時(shí),f(x)→+∞.則在(0,1)和(1,+∞)上分別存在唯一的x1,x2,使得f(x1)= 0,f(x2)= 0,即f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

評(píng)注以上兩例用極限對(duì)函數(shù)圖像趨勢(shì)進(jìn)行了分析,避免了對(duì)零點(diǎn)兩側(cè)單調(diào)性的討論,簡(jiǎn)化了解題過(guò)程.

七 猜想策略

猜想策略是解題者根據(jù)自身知識(shí)儲(chǔ)備、解題經(jīng)驗(yàn)、思維方式,結(jié)合問(wèn)題條件或?qū)嶒?yàn)現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等,對(duì)研究對(duì)象的性質(zhì)或可能存在的結(jié)果進(jìn)行大膽、合理的猜想.[4]牛頓指出:“沒(méi)有大膽的猜想,就做不出偉大的發(fā)現(xiàn).”因此,在解題過(guò)程中,可以根據(jù)實(shí)際情況做出合理猜想.

例10(2019年高考北京卷文科第8題)如圖5,A,B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn),P為圓周上的動(dòng)點(diǎn),∠APB是銳角,大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為().

A.4β+4 cosβB.4β+4 sinβ

C.2β+2 cosβD.2β+2 sinβ

圖5

解由圓的對(duì)稱性,猜想PA=PB時(shí),陰影面積最大.因?yàn)殛幱安糠置娣e等于弓形面積與ΔAPB面積之和,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),弓形面積不變,ΔAPB面積變化,所以當(dāng)ΔAPB邊AB上的高最大時(shí),陰影部分面積最大,如圖6.故

S陰影=S扇+2S△P OB,又∠POB=π-β,由解得PB=則2S△P OB=r2sinβ,故S陰影=βr2+r2sinβ=4β+4 sinβ.

評(píng)注本例抓住問(wèn)題的變量與不變量,根據(jù)圓的對(duì)稱性做出初步猜想,進(jìn)而得出面積最大值.特別指出,猜想不同于空想,而是根據(jù)已知條件進(jìn)行合理的猜想.

八 換元策略

換元策略是指在解決問(wèn)題的過(guò)程中用一個(gè)新變量替換原問(wèn)題中的變量,以減少變量個(gè)數(shù)、降低變量次數(shù),從而將原問(wèn)題中復(fù)雜結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單化、明朗化的方法.常見(jiàn)的換元方法有三角換元、整體換元、對(duì)稱換元、均值換元等.[4]

例11(2019年高考全國(guó)Ⅰ卷文科第15題)函數(shù)最小值為_(kāi)___.

圖6

解由

令t=cos x,則t ∈[-1,1],故f(t)=-2t2-3t+1.易得,當(dāng)t=1,即cos x=1時(shí),f(x)的最小值為-4.評(píng)注利用換元法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題是解答本例的關(guān)鍵.

九 設(shè)而不求

設(shè)而不求指增設(shè)輔助元,但解題過(guò)程中不求出輔助元,最終實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決的方法.設(shè)而不求往往能避免盲目推演而造成無(wú)益的運(yùn)算,從而達(dá)到準(zhǔn)確、快速、簡(jiǎn)捷的解題效果.[5]

例12(2019年高考全國(guó)Ⅲ卷文科21題)已知曲線D 為直線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)D 作C的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B.

(Ⅰ)證明:直線AB 過(guò)定點(diǎn).

解設(shè)則由則y′=x,故 切 線kDA=x1,則即2x0x1-2y1+1=0.同理,2x0x2-2y2+1=0,故直線AB的方程為2x0x-2y+1=0,故直線AB 過(guò)定點(diǎn)

評(píng)注證明直線AB 過(guò)定點(diǎn),前提是求出AB的方程,要求AB的方程,常規(guī)方法要先求出A,B 坐標(biāo),再利用點(diǎn)斜式法求方程,但過(guò)程較為繁瑣.通過(guò)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別建立過(guò)A,B的直線方程,再得出A,B 同時(shí)滿足的方程2x0x-2y+1=0,進(jìn)而求出定點(diǎn)坐標(biāo),充分體現(xiàn)了設(shè)而不求的策略.

十 分離變量

分離變量是解答含參函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題的常用方法:分離參數(shù),將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域(最值)問(wèn)題.分離變量可以規(guī)避分類討論帶來(lái)的繁瑣計(jì)算.

例13(2019年高考天津卷理科第8題)已知a ∈R,設(shè)函數(shù)

若關(guān)于x的不等式f(x)≥0 在R 上恒成立,則a的取值范圍為().

A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e]

解(1)當(dāng)x ≤1時(shí),x2-2ax+2a ≥0 恒成立,若x=1,則1 ≥0,不等式恒成立;要使x<1時(shí),x2-2ax+2a ≥0 恒成立,則設(shè)得則g(x)在(-∞,0)單調(diào)遞增,在(0,1)單調(diào)遞減,故當(dāng)x=0時(shí),g(x)max=g(0)=0,得a ≥0.

(2)當(dāng)x > 1時(shí),x-alnx ≥0 恒成立,即恒成立.設(shè)得則h(x)在(1,e)單調(diào)遞減,在(e,+∞)單調(diào)遞增,則當(dāng)x=e時(shí),h(x)min=h(e)=e,得a ≤e.

綜上,a的取值范圍為[0,e].

評(píng)注通過(guò)分離變量,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題.分離變量避免了因二級(jí)分類帶來(lái)的繁瑣計(jì)算,簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程.

文中介紹了十種多想少算的解題策略,充分展示了多想少算的魅力.當(dāng)然,多想少算的解題策略遠(yuǎn)不止文中的十種類型,可結(jié)合具體的高考試題來(lái)提煉和開(kāi)發(fā).