廣東省佛山市樂(lè)從中學(xué)

一 題目與解答

題目(2019年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽第12題)已知F為橢圓1的右焦點(diǎn),點(diǎn)P為直線x=4 上動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作橢圓C的切線PA、PB,A、B為切點(diǎn).

圖1

(1)求證:A、F、B三點(diǎn)共線;

(2)求ΔPAB面積的最小值.

解答如圖.(1)易得F(1,0),設(shè)P(4,t),A(x1,y1),B(x2,y2).則切線PA,PB的方程分別為由切線PA,PB過(guò)點(diǎn)P(4,t),得即由此可得直線AB方程為易知直線AB過(guò)點(diǎn)F(1,0).所以A、F、B三點(diǎn)共線.

評(píng)析問(wèn)題(1)可直接用橢圓的切點(diǎn)弦方程求解.事實(shí)上,有如下結(jié)論:

又點(diǎn)P(4,t)到直線AB的距離所以

所以f(λ)在[3,+∞)上為增函數(shù),f(λ)的最小值為f(3)=此時(shí)t=0.所以ΔPAB面積的最小值為

評(píng)析問(wèn)題(2)的解法是官方答案,解法的運(yùn)算量雖不小,但方法是解析幾何中的常用方法,這種通性通法在數(shù)學(xué)解題中有重要作用.所以在平時(shí)的教學(xué)中要注重一般性的解題規(guī)律和方法(即通性通法),要重視知識(shí)的生成過(guò)程,盡量創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生探究知識(shí),培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

二 問(wèn)題的提出及一個(gè)引理

數(shù)學(xué)家波利亞曾說(shuō):“解題就象采蘑菇一樣,當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)蘑菇時(shí),它的周?chē)赡苡幸粋€(gè)蘑菇圈.”解答完本題后,自然思考:

問(wèn)題1競(jìng)賽題的問(wèn)題(1)在一般的橢圓1(a>b>0)是否成立?

問(wèn)題2若問(wèn)題1 成立,則ΔPAB面積是否有最小值?如有,最小值是多少?

問(wèn)題3在原競(jìng)賽題的條件下,還有沒(méi)有其它性質(zhì)?

由于后面結(jié)論的證明要用到一個(gè)引理及其推論,這里先行給出.

引理已知圓錐曲線(橢圓,雙曲線,拋物線)的焦點(diǎn)F在x軸上,設(shè)傾斜角為α的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F,且與圓錐曲線交于A,B兩點(diǎn),記圓錐曲線的離心率為e,則

推論1在橢圓中,因?yàn)樗?/p>

推論2在雙曲線中,因?yàn)樗匀鬉,B在雙曲線同一支上,若A,B不在雙曲線同一支上

推論3拋物線中,因?yàn)閑=1,所以

上述引理及推論,利用圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程較易證明,限于篇幅,在此不再給出其證明過(guò)程.

三 借題探索 結(jié)論推廣

通過(guò)探索,可得如下結(jié)論:

結(jié)論1已知F(c,0)為橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P為右準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作橢圓C的切線PA、PB,A、B為切點(diǎn).

(1)A、F、B三點(diǎn)共線;

(2)PF⊥AB;

(3)ΔPAB面積的最小值為

證明(1)設(shè)因?yàn)镻A、PB與橢圓相切,由橢圓的切點(diǎn)弦方程可知,直線AB的方程為易得點(diǎn)F(c,0)在直線AB上,所以A、F、B三點(diǎn)共線.

(2)當(dāng)t=0時(shí),直線AB的方程為x=c,故直線AB垂直于x軸,此時(shí)點(diǎn)P在x軸上,顯然有PF⊥AB.

當(dāng)t ?=0時(shí),直線AB不垂直于x軸,由直線AB的方程可知,直線AB的斜率為

而直線PF的斜率為所以

綜上可得PF⊥AB.

(3)由(2)可知PF⊥AB,故ΔPAB的面積SΔBAB=

由圖1,易知當(dāng)點(diǎn)P在x軸上,|PF|最小,最小值為于是,當(dāng)點(diǎn)P在x軸上,即此時(shí)弦AB垂直于x軸,|AB|與|PF|均為最小.所以,ΔPAB面積的最小值為

評(píng)析顯然當(dāng)a2=4b2=3時(shí),可算得ΔPAB面積的最小值為,就是原競(jìng)賽題的情形.結(jié)論1(3)也可以用原競(jìng)賽題的解法,但是運(yùn)算量極大,這里巧妙地利用PG⊥AB,及焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式,代數(shù)變形簡(jiǎn)單,運(yùn)算量少,證法快捷,新穎.所以在競(jìng)賽層面,要重視方法的積累和知識(shí)的儲(chǔ)備,熟練掌握一些有用的結(jié)論,才有可能縮短思維的長(zhǎng)度,提高效率,達(dá)到事半功倍的效果.

四 探索延伸 類(lèi)比性質(zhì)

我們知道,雙曲線,拋物線與橢圓都是圓錐曲線,很多時(shí)侯三者之間有可類(lèi)比的性質(zhì),那么雙曲線與拋物線是不是也有類(lèi)似于結(jié)論1的性質(zhì)呢? 經(jīng)探索,得到如下結(jié)論:

結(jié)論2已知F(c,0)為雙曲線0,b >0)的右焦點(diǎn),點(diǎn)P為右準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作雙曲線C的右支的切線PA、PB,A、B為切點(diǎn).

(1)A、F、B三點(diǎn)共線;

(2)PF⊥AB;

(3)ΔPAB面積的最小值為

結(jié)論3已知F為拋物線C:y2=2px(p >0)的焦點(diǎn),點(diǎn)P為準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的切線PA、PB,A、B為切點(diǎn).

(1)A、F、B三點(diǎn)共線;

(2)PF⊥AB;

(3)ΔPAB面積的最小值為p2.

證明(1)設(shè)因?yàn)镻A、PB與拋物線相切,由拋物線的切點(diǎn)弦方程可知,直線AB的方程為即易得點(diǎn)在直線AB上,所以A、F、B三點(diǎn)共線.

(2)當(dāng)t=0時(shí),直線AB的方程為故直線AB垂直于x軸,此時(shí)點(diǎn)P在x軸上,顯然有PF⊥AB.當(dāng)t ?=0時(shí),直線AB不垂直于x軸,由直線AB的方程可知,直線AB的斜率為而直線PF的斜率為所以綜上可得PF⊥AB.

(3)由(2)可知PF⊥AB,故ΔPAB的面積SΔP AB=

五 問(wèn)題探索的再思考

(1)由橢圓的對(duì)稱性,將結(jié)論1的右焦點(diǎn),右準(zhǔn)線換成左焦點(diǎn),左準(zhǔn)線,結(jié)論不變.

(2)由雙曲線的對(duì)稱性,將結(jié)論2的右焦點(diǎn),右準(zhǔn)線換成左焦點(diǎn),左準(zhǔn)線,且兩切點(diǎn)在雙曲線的左支上,結(jié)論不變.

(3)結(jié)論3 中,將拋物線方程換成y2=-2px,結(jié)論不變.

(4)在結(jié)論2的條件中,若將兩個(gè)切點(diǎn)在雙曲線的右支上改為兩個(gè)切點(diǎn)在分別在雙曲線的兩支上時(shí),會(huì)有什么樣的結(jié)論?

(5)在結(jié)論2的條件中,保持點(diǎn)P 在雙曲線的右準(zhǔn)線上,若將兩個(gè)切點(diǎn)在雙曲線的右支上改為兩個(gè)切點(diǎn)在雙曲線的左支上,又會(huì)有什么樣的結(jié)論?

這些留給感興趣的讀者去探索了.

六 結(jié)束語(yǔ)

圓錐曲線具有很多相似的性質(zhì),這體現(xiàn)了圓錐曲線性質(zhì)的內(nèi)在統(tǒng)一的和諧美.這些優(yōu)美的性質(zhì)深刻反映了數(shù)學(xué)獨(dú)特的無(wú)窮魅力,值得我們?nèi)ふ?、發(fā)現(xiàn)和欣賞.數(shù)學(xué)家波利亞曾說(shuō)過(guò)“一個(gè)有意義的題目的求解,為解此題所花的努力和由此得到的結(jié)論和見(jiàn)解,可以打開(kāi)通向一門(mén)新的學(xué)科,甚至通向一個(gè)科學(xué)新紀(jì)元的門(mén)戶”.學(xué)數(shù)學(xué)離不開(kāi)解題,但不能僅僅局限于老師講題、學(xué)生做題,而是要借助題目,探索隱藏在題目背后的奧秘,將研究的問(wèn)題引向深入,挖掘題目的真正內(nèi)涵,能夠找到解決這個(gè)問(wèn)題與解決其它問(wèn)題在思維上的共性.這樣我們才能領(lǐng)會(huì)到試題命制的深刻背景,才能引領(lǐng)學(xué)生跳出題海,真正做到觸類(lèi)旁通,舉一反三,從而達(dá)到做一題會(huì)一類(lèi),甚至?xí)黄哪康?最終讓學(xué)生在解題思路上產(chǎn)生質(zhì)的變化,使思維得到發(fā)展.

對(duì)題目的拓展、引申探究是一名數(shù)學(xué)教師必備的專業(yè)素養(yǎng),平時(shí)要重視對(duì)典型問(wèn)題的深入研究,探研規(guī)律,并適當(dāng)拓展,充分挖掘題目的育人價(jià)值.高中數(shù)學(xué)新課程理念之一是倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式,而學(xué)東西的最好方式是發(fā)現(xiàn)它,所以要鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)合情推理對(duì)某些問(wèn)題作大膽的猜想,并進(jìn)行探索與證明,這樣的探索在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起到重要作用.教師可根據(jù)學(xué)生實(shí)際,通過(guò)探究活動(dòng),讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程,引導(dǎo)他們勇于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題,進(jìn)而讓學(xué)生在分析、類(lèi)比、猜想、證明過(guò)程中全面提高學(xué)生的綜合能力,從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).