范韋莉

[摘要]小學(xué)數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，其核心知識就是基礎(chǔ)中的核心，具有內(nèi)在邏輯的連貫性和一致性。對人教版教材高年級圖形與幾何領(lǐng)域中的核心知識及其表現(xiàn)形式進行解析，探索高年級圖形與幾何中核心知識的課堂生長路徑，思考并嘗試提煉高年級圖形與幾何中核心知識的教學(xué)基本策略。

[關(guān)鍵詞]圖形與幾何;核心知識;生長路徑;基本策略

[中圖分類號]G623.5 [文獻標識碼]A [文章編號]1007-9068（2020）08-0001-03

一、梳理與分析：圖形與幾何的知識結(jié)構(gòu)

要讓學(xué)生對數(shù)學(xué)有一個整體的認知結(jié)構(gòu)，教師就要從整體上把握教學(xué)知識點問的本質(zhì)聯(lián)系，站在一個較高的層次審視與處理教材?！皥D形與幾何”領(lǐng)域的學(xué)習對于發(fā)展學(xué)生的空間觀念、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力等方面都有重要作用。要研究該領(lǐng)域，首先就要弄清楚該領(lǐng)域的學(xué)習內(nèi)容，因此筆者對小學(xué)階段人教版教材中圖形與幾何領(lǐng)域的所有內(nèi)容進行了梳理：一年級是認識物體和圖形的拼組;二年級是圖形的運動，包括平移和旋轉(zhuǎn);三年級開始接觸平面圖形，主要是認識長方形和正方形及其面積的計算;四年級主要學(xué)習平行四邊形和梯形，還有平行與垂直;五年級繼續(xù)研究多邊形（三角形、平行四邊形和梯形）的面積，并深入研究立體圖形，即長方體和正方體的表面積和體積;六年級研究圓的特征、周長和面積，及圓柱和圓錐。除此之外，在低、中、高年級分別安排了觀察物體、圖形的運動以及位置與方向等內(nèi)容。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》對圖形與幾何的年段目標做了具體的闡述，用“發(fā)展”和“進一步發(fā)展”等具有嚴格層級之分的詞語描述了各個階段要達到的目標。不難看出，分散在不同年級的圖形與幾何知識的編排特點是：點一線一面一體，呈混合螺旋編排結(jié)構(gòu)，其中一維、二維、三維圖形交替共存，遞進發(fā)展，從生活到數(shù)學(xué)、從直觀到抽象、從整體到局部，教學(xué)目標逐步提高。

二、深耕與界定：高年級圖形與幾何領(lǐng)域中的核心知識及其表現(xiàn)形式

雖受教學(xué)時間限制和小學(xué)生年齡特點、認知規(guī)律的影響，但為了體現(xiàn)小學(xué)教育課程的基礎(chǔ)性特點，“合理地選擇和確定雙基”“優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容”“凸顯核心知識”的教學(xué)勢在必行。正如美國21世紀學(xué)習框架中所指出的：“21世紀的教育要建立在核心知識基礎(chǔ)之上?！边@里的核心知識不是指一個個零散的知識點，而是指那些適用范圍廣，自我生長和遷移能力強的基礎(chǔ)知識，它們在數(shù)學(xué)課程和教材中處于重要的、不可或缺的主干地位。

筆者選取了高年級圖形與幾何中的內(nèi)容，從課前診斷、教學(xué)設(shè)計、學(xué)生活動、反饋檢測等入手，嘗試找到那些學(xué)生能理解并在忘記其非本質(zhì)信息或周邊信息之后，依舊可以提取應(yīng)用，進而提升自身學(xué)習力的核心知識。

核心知識一：圓，包括圓的認識、圓周率、圓的周長和面積計算。圓是小學(xué)階段唯一一個曲線平面圖形，圓的相關(guān)知識中蘊含著豐富的數(shù)學(xué)史且初步涉及極限思想，為后續(xù)圓柱、圓錐的學(xué)習及中學(xué)圓的相關(guān)定理探索做好了準備。

核心知識二：長方體和正方體的特征、表面積與體積計算。這部分內(nèi)容是系統(tǒng)研究立體圖形的開始，是二維向三維擴展的重要節(jié)點，學(xué)習柱體體積均要以此為支撐。

核心知識三：圓柱和圓錐的特征、圓柱的表面積和體積計算、圓錐的體積計算。圓柱和圓錐皆可看作旋轉(zhuǎn)體，表面既有平面又有曲面。對幾何體的認識從表面都是平面到表面含有曲面，是學(xué)生認知的一次飛躍，為后續(xù)第三學(xué)段學(xué)習圓的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。

核心知識四：體積、體積單位及其進率。這也是空間觀念從二維向三維發(fā)展的重要節(jié)點，是后續(xù)研究各類圖形體積的基礎(chǔ)。

核心知識五：用數(shù)對確定位置。它是解析幾何（坐標幾何）的起始，滲透數(shù)形結(jié)合思想，對初中坐標幾何的學(xué)習具有重要意義。

通過初步的實踐與審視，在高年級圖形與幾何領(lǐng)域，核心知識主要包括圖形的概念和特征、單位計量與周長、體積計算、圖形的運動和變化、圖形與位置。第一，圖形的概念和特征為后續(xù)學(xué)習起到奠基作用;第二，單位計量主要滲透從直接計量到間接計量的思想方法;第三，圖形的位置、運動和變化的學(xué)習，有助于發(fā)展學(xué)生的空間觀念和思維能力。由此得出：高年級圖形與幾何領(lǐng)域中的核心知識，通常處于某個知識鏈的核心位置或某個教學(xué)單元的起點位置，多指向圖形與幾何內(nèi)容初次集中教學(xué)的起點;其具體內(nèi)容是學(xué)生必須掌握的數(shù)學(xué)概念、幾何圖形的特征和計算公式，以及蘊含的操作方法、數(shù)學(xué)思想方法。這樣的數(shù)學(xué)知識，有利于學(xué)生喚醒元認知，形成必備品格和關(guān)鍵能力。

三、探索與實踐：高年級圖形與幾何中核心知識的課堂生長路徑

高年級圖形與幾何的教學(xué)應(yīng)遵循從具體到一般的原則，從大量例證中概括共同屬性，提煉核心要素。在梳理人教版教材的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)：高年級圖形與幾何中的核心知識相對集中于圖形的認識與測量，圖形運動的核心知識主要在“圖形的放大與縮小”一課，圖形位置的核心知識主要在“確定位置”一課。故下面提煉的核心知識教學(xué)的操作路徑主要針對圖形的認識與測量。

階段一：感知。當學(xué)生熟悉相關(guān)內(nèi)容后，教師組織學(xué)生談?wù)搶W(xué)習對象，了解學(xué)生是如何理解的，并提供信息引導(dǎo)學(xué)生從事有目的的活動或獲得相關(guān)的認知。如教學(xué)認識長方體時，教師先讓學(xué)生量出牙膏盒的長、寬、高各是多長，從而得出：牙膏盒擺放的位置和方向不同，它的長、寬、高是可以變換的;然后再揭示長、寬、高的概念，并請學(xué)生找一找牙膏盒各個面的長、寬各是多少。

階段二：探索。為了讓學(xué)生主動地進行探索，教師應(yīng)選取那些目標概念和方法較為明顯的材料和任務(wù)。如體積與容積的教學(xué)中，提供紙盒、紙巾、土豆和雞蛋等教學(xué)素材，以“把這些物體根據(jù)體積的大小排列”等任務(wù)，促使學(xué)生根據(jù)物體特征思考不同的體積比較方法。有些物體能直接判斷體積大小，當體積較接近時可用計數(shù)比較的方法（凸顯體積大小與單位體積的關(guān)系），還可用排水實驗比較不規(guī)則物體的體積大?。ㄌN含體積等量轉(zhuǎn)化）。這就賦予看似簡單的內(nèi)容多元的意義和內(nèi)涵。

階段三：概括。教師應(yīng)給予學(xué)生自主分類、比較異同、同伴質(zhì)疑等活動機會，并組織學(xué)生對學(xué)習對象的共同屬性進行討論和描述，以使學(xué)生獲得更為清晰的認知。如體積與容積的教學(xué)中，在建立體積和容積概念的基礎(chǔ)上，還需要幫助學(xué)生體悟兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別。可以紙箱為教學(xué)素材，逐步呈現(xiàn)三個問題：“如果紙箱的外壁不斷加厚，體積和容積有什么變化？”“如果紙箱的內(nèi)壁不斷加厚，體積和容積有什么變化？”“如果紙箱的內(nèi)壁不斷變薄，體積和容積又有什么變化？”在這樣充滿挑戰(zhàn)的漸進式問題情境中，學(xué)生邊想象邊體會物體的體積和容積隨著壁厚的變化而發(fā)生的變化。對于第三個問題，可凸顯“零厚度”，此時容積即等于體積，滲透了極限思想。從中學(xué)生能概括出體積必須是從物體外部觀察，容積則需要從物體里邊觀察的結(jié)論，進而讓核心概念的建構(gòu)與理解走向深刻。

階段四：辨析。給學(xué)生提供不同層次類型的學(xué)習材料，再通過對一些標準圖示及變式的判別，加深學(xué)生對學(xué)習對象的內(nèi)涵與外延的進一步理解。如幫助學(xué)生建立長方體模型時，先去掉一條棱，引導(dǎo)學(xué)生想象這個長方體的大小，再去掉一些棱，提問：“至少留下哪幾條棱，才能想象出這個長方體的大??？”學(xué)生邊想象邊操作，最后發(fā)現(xiàn)至少要留下相交于同一個頂點的三條棱。這一活動使學(xué)生對長方體的長、寬、高的理解由辨認各部分名稱上升到知道“長、寬、高決定長方體的大小”。去棱的過程不僅深化了學(xué)生對長方體性質(zhì)與特征的認識，還培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力。

階段五：綜合。引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容進行總結(jié)與歸納，并能將其整合到一個易于描述和應(yīng)用的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，即溝通相近概念，形成概念體系，實現(xiàn)認知由“要素”向“關(guān)系”提升。如探索長方體和正方體的異同時，學(xué)生不僅能從面、棱、頂點去分析，還能畫出凸顯包含關(guān)系的圖示，厘清相應(yīng)的類屬關(guān)系，從而形成合理有序的知識系統(tǒng)。

四、思考與提煉：高年級圖形與幾何中核心知識的教學(xué)基本策略

1.關(guān)注認知，喚醒經(jīng)驗一核心知識教學(xué)的首要前提

數(shù)學(xué)教學(xué)活動是建立在學(xué)生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上的。圖形與幾何內(nèi)容來自豐富的現(xiàn)實原型，與現(xiàn)實生活聯(lián)系緊密。然而，這部分內(nèi)容涉及三維空間與二維平面的互換，而小學(xué)生的年齡特征決定了他們的認知水平有局限性，空間觀念難以建立。因此教師要吃透學(xué)情，充分關(guān)注學(xué)生的原有認知，重點研究學(xué)生的現(xiàn)實起點，尋找核心知識與學(xué)生最近發(fā)展區(qū)之間的最佳契合點。如“圓柱的認識”的前測題：

（1）關(guān)于圓柱，你知道什么？

（2）請你任意畫出一個圓柱。

對于第（1）題，80%的學(xué)生能說出：圓柱可以滾動;圓柱上下直直的，有兩個圓，且一樣大;圓柱有一個側(cè)面。對于第（2）題，73%的學(xué)生畫不標準或畫不出來。從前測數(shù)據(jù)中可以發(fā)現(xiàn)：學(xué)生在現(xiàn)實生活中所接觸的物體都是以三維狀態(tài)存在的，但學(xué)生對它們大多是一種整體的直覺認識，很難建立其立體的表象。因此教學(xué)中可以先讓學(xué)生通過摸一摸、看一看、量一量、比一比、滾一滾等實際操作認識圓柱的面的特點，采用多種方法探索圓柱的兩個底面圓完全相同的特征;再引導(dǎo)學(xué)生觀察、推理，運用立體旋轉(zhuǎn)的方式喚起學(xué)生的原有認知。

2.創(chuàng)設(shè)情境，引疑激趣——核心知識教學(xué)的重要基礎(chǔ)

布魯納說過：“探索是數(shù)學(xué)的生命線。”教師要能捕捉生活中有趣的現(xiàn)象，創(chuàng)設(shè)出和諧愉快而又充滿挑戰(zhàn)性的情境，以促進核心知識教學(xué)。如教學(xué)“圓的認識”時，第一步，設(shè)問：“如果你給汽車選輪子（長方形、正方形、圓形），你會選哪一個？”第二步，播放視頻，讓學(xué)生觀察汽車開動的情況;第三步，合作探索為什么選用圓形輪子的汽車行駛起來不會忽高忽低。這樣的教學(xué)設(shè)計，把原本平淡甚至枯燥的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化成豐富有趣的情境，激起學(xué)生主動探究的欲望。

3.聚焦體驗，促進理解——核心知識教學(xué)的必要手段

波利亞認為，學(xué)習任何知識的最佳途徑是由自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握其中的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。觀察是學(xué)生獲得初步空間觀念的主要途徑，包括對圖形的觀察、對實物模型的觀察以及對實驗的觀察等。如教學(xué)體積概念時，教師先出示兩個同樣大小且裝有同樣多的水（水未滿杯）的杯子，再拿出一塊石頭放入其中一個杯子，學(xué)生觀察到水位上升了，因為原來水的位置被石頭占去了;然后再拿出一塊更大的石頭放入另一個杯子中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這次水位上升得比剛才高，因為這塊石頭比剛才那塊大。這時讓學(xué)生說說對體積的理解，學(xué)生就能逐步完善對體積這一抽象概念的認知。當然，對于核心知識的教學(xué)，僅靠觀察是遠遠不夠的。學(xué)生在學(xué)習和理解知識時會習慣性地使用直觀思維，然而，只有將抽象的知識直觀化，才能實現(xiàn)知識的內(nèi)化，動手操作是將知識直觀化的重要方法。如當學(xué)生認識扇形的特征，形成清晰的“圓心角”“弧”“扇形”等數(shù)學(xué)概念后，可以安排學(xué)生用圓形紙片動手制作一個扇形，并涂色。學(xué)生在動手操作中體會到準確地找到一個圓的圓心是制作扇形的關(guān)鍵;在展示自己作品和評價同伴作品的過程中，感受到扇形的大小與半徑、圓心角這兩個因素有關(guān)，逐步體悟到“扇形是圓的一部分”這一特點。

4.聯(lián)想想象，拓展空間——核心知識教學(xué)的有效措施

心理學(xué)認為，想象是人在頭腦里對已儲存的表象進行加工改造，形成新形象的心理過程。數(shù)學(xué)中很多概念的建構(gòu)都要基于想象，它是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的一個重要途徑。如教學(xué)“圓的認識”時，在學(xué)生理解了定點、定長，能用圓規(guī)畫出圓后，可播放體育老師拿著繩子和大勺子在操場上畫出了一個大大的圓的視頻，接著讓學(xué)生結(jié)合鐘面上的指針運動和機場雷達想象“圓”，并描述這是一些什么樣的圓;而后讓學(xué)生基于呈現(xiàn)的兩個點，閉著眼睛想象，讓其中一個點動起來，得到一個新的點，繼續(xù)轉(zhuǎn)，又得到一個新的點……把這些點連起來，就成了一個圓。兩次想象活動，既是對圓的特征的一次應(yīng)用，又反過來促進了對圓的認識，更使學(xué)生的思維能力與空間觀念得到了進一步提升。

5.挖掘內(nèi)涵，把握本質(zhì)——核心知識教學(xué)的關(guān)鍵途徑

知識的內(nèi)涵是這一知識區(qū)別于其他知識的特質(zhì)，雖然表征這些“特質(zhì)”的方式是多樣的，但這些“特質(zhì)”是唯一且不可替換的。如對于“圖形的放大和縮小”的本質(zhì)含義“圖形對應(yīng)邊按一定的比例放大或縮小”，接近一半的學(xué)生能大概了解，但缺乏完整清晰的認識，還有少數(shù)學(xué)生把這一概念和生活中的概念混淆。課堂教學(xué)中，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生畫圖舉例說明什么是圖形的放大，討論數(shù)學(xué)意義上的“放大”與生活中的“拉升”有何區(qū)別，在完成對“放大”的定性認識之后，再組織學(xué)生探討關(guān)于放大的定量刻畫。又如圓的面積計算方法的探究，其實就是讓學(xué)生懂得，在探索陌生知識時，可以把陌生的知識化為熟悉的知識，但需要根據(jù)學(xué)情，進行后續(xù)深度和廣度的挖掘，讓學(xué)生知道“轉(zhuǎn)化”存在多種可能性：圓可以轉(zhuǎn)化成長方形、平行四邊形、三角形等，雖然拼出的圖形不同，但本質(zhì)一致：化陌生為熟悉。這樣的補充、滲透、完善，促進了學(xué)生對核心知識的實質(zhì)性理解，進而建立正確的知識體系。

總而言之，要使學(xué)生能獲得長效性發(fā)展，獲得真正的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與思維能力，就得立足于核心知識的教學(xué)，要厘清知識的內(nèi)涵和外延，讓學(xué)生學(xué)習的主線更加明晰地展露出來。但形成完整的知識體系，非核心知識的補充與完善同樣必不可少。非核心知識可以開闊學(xué)生的視野，可以讓知識的呈現(xiàn)更為豐盈，可以使知識的聯(lián)系更為緊密。當然，無論是核心知識教學(xué)還是非核心知識教學(xué)，都需要教師不斷地去實踐、反思和提煉。