【關(guān)鍵詞】研學(xué)課例；教學(xué)設(shè)計(jì)；高中數(shù)學(xué)

【中圖分類號(hào)】G遠(yuǎn)33.6【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A【文章編號(hào)】1005-6009（2020）11-0065-02

【作者簡(jiǎn)介】陳唐明，江蘇省如東高級(jí)中學(xué)（江蘇如東，226400）教師，高級(jí)教師。

一、教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)

通過(guò)前面“直線與圓”章節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)具備了用解析的方法研究曲線問(wèn)題的基礎(chǔ)?；诖?，筆者將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置為：（1）掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)a、b、c的含義；（2）讓學(xué)生通過(guò)橢圓幾何性質(zhì)探究，厘清橢圓有關(guān)量間的內(nèi)在聯(lián)系，從整體上把握橢圓的幾何性質(zhì)；（3）讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)問(wèn)題研究的一般思路與方法，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)縝密的“理性思維”的習(xí)慣。

教學(xué)重點(diǎn)確定為橢圓的幾何性質(zhì)及其研究方法，教學(xué)難點(diǎn)確定為橢圓幾何性質(zhì)的探究過(guò)程。

二、流程設(shè)計(jì)

【問(wèn)題情境】上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了橢圓的概念與標(biāo)準(zhǔn)方程（請(qǐng)同學(xué)們回顧橢圓的概念要點(diǎn)、標(biāo)準(zhǔn)方程并板書(shū)）。在建立了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之后，我們下一步可以做什么工作？

（設(shè)計(jì)意圖：開(kāi)放式提問(wèn)，引發(fā)學(xué)生主動(dòng)積極地思考。進(jìn)一步的研究，學(xué)生自然會(huì)聯(lián)想到研究幾何性質(zhì)。）

問(wèn)題1：你認(rèn)為橢圓有哪些幾何性質(zhì)？如何來(lái)研究呢？

（設(shè)計(jì)意圖：開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，從數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)部提出問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考。）

問(wèn)題2：大家回顧一下，當(dāng)時(shí)在學(xué)習(xí)“函數(shù)”一章時(shí)，我們是怎么去研究函數(shù)的？在已知函數(shù)解析式的情況下，我們可以研究函數(shù)的哪些性質(zhì)？又是如何研究這些函數(shù)性質(zhì)的？你能將函數(shù)的研究方法遷移到橢圓的方程上來(lái)嗎？

函數(shù)是我們高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。函數(shù)與方程也有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。其實(shí)，函數(shù)也可以視為方程，如y=2x+1可以視為關(guān)于x的一次函數(shù)，也可以視為關(guān)于x，y的二元一次方程。從這個(gè)角度上來(lái)說(shuō)，方程其實(shí)是函數(shù)的上位概念。我們可以將函數(shù)的研究方法遷移到曲線方程上來(lái)。

（設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)作為方程的下位概念，從形式上看，也可以視為方程，進(jìn)而得出可以用類比函數(shù)的研究方法來(lái)研究橢圓的方程。通過(guò)函數(shù)解析式研究函數(shù)，我們通常關(guān)注函數(shù)的定義域值域、單調(diào)性、奇偶性及由此延伸出對(duì)稱性、周期性；研究函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)到橢圓上來(lái)，我們可以研究橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)等。）

問(wèn)題3：我們不難看出橢圓上任一點(diǎn)P（x，y）滿足-a臆x臆a，-b臆y臆b，能不能從方程（代數(shù)）的角度進(jìn)行論證呢？

學(xué)生通過(guò)觀察橢圓的圖象得出橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍并不難，但如果止于此，將失去一個(gè)很好的培養(yǎng)學(xué)生理性認(rèn)知數(shù)學(xué)本質(zhì)問(wèn)題（將幾何問(wèn)題“代數(shù)化”）的好機(jī)會(huì)。教師此時(shí)應(yīng)點(diǎn)撥學(xué)生去思考：你能不能不借助于橢圓的圖象，直接通過(guò)橢圓方程得出橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍？在學(xué)生得出結(jié)論后，教師順勢(shì)給出：我們把經(jīng)過(guò)橢圓頂點(diǎn)的四條直線x=依a和y=依b所圍成的矩形叫作橢圓的伴隨矩形。

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在感性認(rèn)知的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生回歸方程，通過(guò)代數(shù)論證嚴(yán)格推證出范圍，引發(fā)學(xué)生有“深度”的思考，培養(yǎng)學(xué)生縝密的“理性思維”的習(xí)慣。給出橢圓的伴隨矩形，為后續(xù)借助矩形長(zhǎng)與寬的變化來(lái)直觀刻畫(huà)橢圓的“扁”“圓”程度做鋪墊。）

問(wèn)題4：大家發(fā)現(xiàn)橢圓是對(duì)稱的，那么橢圓具有怎樣的對(duì)稱性？能否從代數(shù)的角度進(jìn)行證明？

圖形對(duì)稱其實(shí)質(zhì)為點(diǎn)的對(duì)稱，要證明曲線（圖形）關(guān)于某線（或某點(diǎn)）對(duì)稱，也就是要曲線（圖形）上所有的點(diǎn)關(guān)于該線（或該點(diǎn)）對(duì)稱之后所得的點(diǎn)也在曲線（圖形）上。

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生從“形”的角度觀察，發(fā)現(xiàn)橢圓的對(duì)稱性，引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”的角度進(jìn)行再認(rèn)識(shí)；從本原問(wèn)題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生給出嚴(yán)格的證明。）

問(wèn)題5：比照函數(shù)性質(zhì)的研究，研究橢圓圖形上關(guān)鍵的點(diǎn)，可以基本確定橢圓的形狀與大致位置，你覺(jué)得橢圓上哪些點(diǎn)是最關(guān)鍵的？

橢圓頂點(diǎn)概念的生成，可先讓學(xué)生自主觀察探索；若學(xué)生給出的結(jié)論不全面，教師予以點(diǎn)撥：請(qǐng)大家回顧一下，二次函數(shù)的圖象（拋物線）與對(duì)稱軸的交點(diǎn)是什么點(diǎn)？（頂點(diǎn)）那么，橢圓有對(duì)稱軸嗎？如果有，有幾條？它們和橢圓有沒(méi)有公共點(diǎn)？若有，有幾個(gè)公共點(diǎn)？你認(rèn)為應(yīng)該給這些點(diǎn)取個(gè)什么名字？由此引出橢圓頂點(diǎn)的概念，并順勢(shì)給出橢圓的長(zhǎng)軸（長(zhǎng)軸長(zhǎng)、半長(zhǎng)軸長(zhǎng)）、短軸（短軸長(zhǎng)、半短軸長(zhǎng)）等相關(guān)概念。

（設(shè)計(jì)意圖：類比是一種很重要的數(shù)學(xué)思想方法。通過(guò)類比，可以讓學(xué)生有新的“發(fā)現(xiàn)”。）

問(wèn)題6：在黑板上畫(huà)若干個(gè)橢圓，讓學(xué)生觀察：這些橢圓有什么不同？（大小不同，扁圓程度不同）激發(fā)學(xué)生思考：橢圓圖形的大小依賴于a、b的值。橢圓的“扁”“圓”程度又依賴于什么呢？有沒(méi)有規(guī)律可循？

經(jīng)歷了這樣的研究，激活了學(xué)生的思維，讓學(xué)生有了積極地深度思考，學(xué)生掌握的不僅所學(xué)的表層知識(shí)（橢圓的幾何性質(zhì)），更是從中學(xué)會(huì)了研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般性方法，為后續(xù)的同類問(wèn)題（雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)）學(xué)習(xí)提供范例、思路、方法。學(xué)生完全可以自己借鑒橢圓幾何性質(zhì)的研究思路去獨(dú)立完成雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)，這也就達(dá)到了“教是為了不教”的目的。