林 振，李 莉，魏 爽，梁 燕

（上海師范大學(xué)信息與機電工程學(xué)院，上海201418）

0 引 言

自適應(yīng)天線陣列可以根據(jù)信號環(huán)境實時地調(diào)整天線陣列的加權(quán)因子，使天線陣列的輻射方向圖在期望信號方向上達到一定的增益，并抑制其他方向上的干擾，通常稱這一過程為自適應(yīng)波束成形（ABF）.自適應(yīng)波束成形技術(shù)廣泛應(yīng)用于雷達、聲吶、麥克風陣列語音處理、醫(yī)學(xué)成像、無線通信和天文學(xué)及地震學(xué)等領(lǐng)域［1］.

傳統(tǒng)的自適應(yīng)波束成形算法大多假設(shè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)中不包含期望信號，但是在許多實際的應(yīng)用場景中，訓(xùn)練數(shù)據(jù)時常包含期望信號［2］.因此，當期望信號的導(dǎo)向矢量失配時，采用傳統(tǒng)的自適應(yīng)波束成形算法所設(shè)計的波束成形器，其性能將會急劇下降.同時，即使期望信號的導(dǎo)向矢量不失配，較小的訓(xùn)練樣本也會引起波束成形器性能下降.

標準的Capon波束成形器是一種最小方差無失真響應(yīng)（MVDR）自適應(yīng)波束成形器［3］，其原理是保證在期望信號無失真的情況下，最小化干擾和噪聲的功率.當采樣數(shù)較少或是導(dǎo)向矢量失配時，標準的Capon波束成形器可能將真正的期望信號誤認為干擾信號進行處理，穩(wěn)健性較差.為了克服導(dǎo)向矢量失配帶來的問題，出現(xiàn)了許多自適應(yīng)波束成形器，例如：對角加載（DL）算法［4］、特征空間波束成形器（ESB）［5］、協(xié)方差矩陣銳化（CMT）方法［6］.但是，DL 算法的缺點是無法根據(jù)失配量選擇最優(yōu)的加載因子；ESB 算法必須首先獲得子空間及其維數(shù)的先驗信息，較大地限制了算法的實際應(yīng)用；CMT 算法雖然能提高干擾零陷的改善程能力，但是旁瓣控制能力有一定程度的下降.程青青等［7］利用粒子群算法和其改進算法求解波束成形問題，得到的結(jié)果具有一定的穩(wěn)健性，但是得到的干擾零陷和旁瓣并沒有很明顯的下降.

近年來，信號的稀疏表示在信號處理方面得到了許多應(yīng)用［8］，ZHANG 等［9］在標準Capon 波束成形的基礎(chǔ)上，利用信號的稀疏性，提出了基于稀疏的Capon 波束成形（SCCB）算法；在此基礎(chǔ)上，ANDRADE等［10］提出利用l1范數(shù)解決波束成形旁瓣過高、干擾零陷不深的問題.杜永興等［11］和劉振等［12］在標準Capon 算法的優(yōu)化問題上做了改進，提出了加權(quán)稀疏約束Capon 波束成形（WSCCB）算法，得到了比較低的旁瓣和較深的干擾零陷.

本文作者主要對上述文獻提出的方法進行性能的對比，定量仿真分析幾種算法各自的優(yōu)劣，明確未來在自適應(yīng)波束成形方面的主要問題.

1 系統(tǒng)模型

考慮由N 個陣元組成的均勻線性陣列，陣元之間的間隔為d，存在J 個干擾信號，有J+1 個遠場窄帶不相關(guān)信號入射到均勻線性陣列上，如圖1所示.

圖1 N元線性陣列接收模型

此時，N元線性陣列接收信號的N×1維時間采樣序列

其中，k為采樣時間序號；K為每條樣本序列的總數(shù)；s0（k）表示k時刻的期望信號；sj（k）（j=1，2，…，J）表示k時刻第j個干擾信號.s0（k）和sj（k）的功率可以分別表示為：

θ0表示期望信號的實際來波方向；θj（j=1，2，…，J）表示第j個干擾信號的實際來波方向；a（θ0）表示期望信號的導(dǎo)向矢量；a（θj）（j=1，2，…，J）表示第j個干擾信號的導(dǎo)向矢量；n（k）表示k時刻，方差為的加性高斯白噪聲向量.信噪比可以表示為，第j個干擾信號的干噪比可以表示為根據(jù)圖1可以得到：

其中，d 是相鄰陣元之間的間隔；λ 是窄帶信號的波長，一般d=λ/2.為了更準確地得到期望信號，對陣列接收到的信號進行加權(quán)求和，k時刻的自適應(yīng)波束成形器的輸出記為：

其中，H為矩陣的共軛轉(zhuǎn)置運算符；w=［w1，w2，…，wN］T為波束成形器對N個陣元接收信號的復(fù)加權(quán)向量，而最優(yōu)的復(fù)加權(quán)向量w 能保證輸出y（k）在無失真得到期望信號的前提下，將干擾信號和噪聲信號的功率降到最低.

2 標準Capon波束成形

將問題轉(zhuǎn)化為求解優(yōu)化問題：

是干擾和噪聲的協(xié)方差矩陣.但實際的采樣中一般包含期望信號s0（k），很難完全分離出干擾信號和噪聲信號，Ri+n可以用采樣信號x（k）的協(xié)方差矩陣Rx來近似代替.將式（4）的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為：

其中，

采用拉格朗日乘數(shù)法求解式（6），構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為：

從式（9）可以看出最優(yōu)權(quán)值是由Rx和共同決定的.當采樣數(shù)K 較少時，天線陣列輻射方向圖的旁瓣會升高，標準Capon波束成形的穩(wěn)健性較差，當期望信號的DOA估計值發(fā)生偏差或者陣元位置發(fā)生偏差時，均會造成信號的導(dǎo)向矢量失配，進而導(dǎo)致標準Capon波束成形器的性能下降.

3 加權(quán)稀疏約束的Capon波束成形

針對式（9）中標準Capon 波束成形算法結(jié)果對采樣數(shù)K 敏感，以及穩(wěn)健性較差的問題，考慮到理想的天線陣列輻射方向圖主瓣區(qū)域的天線陣列增益wHa（θ）應(yīng)該近似為1，大部分旁瓣區(qū)域的天線陣列增益應(yīng)該近似為0，主瓣區(qū)域遠小于旁瓣區(qū)域，使得天線陣列增益在角度區(qū)域上近似滿足稀疏分布，即大部分角度區(qū)域的天線陣列增益為0 或近似為0.ZHANG 等［9］將信號的稀疏性應(yīng)用到Capon 波束成形器中，提出了SCCB算法，具體的優(yōu)化模型如下：

杜永興等［11］用旁瓣的陣列導(dǎo)向矢量的集合A?的共軛轉(zhuǎn)置與采樣信號的協(xié)方差矩陣相乘，得到旁瓣上的信息矩陣，再取矩陣每一行的平均值（角度上信息的平均值），得到的值即為每個角度的加權(quán)值，在天線陣列輻射旁瓣所對應(yīng)的干擾和噪聲方向上施加了一個抑制天線陣列增益的權(quán)值.加權(quán)后的最優(yōu)化模型為：

其中，γ2是稀疏項加權(quán)稀疏（γ2＞0）；Q是L×L（L為旁瓣區(qū)域內(nèi)的角度總數(shù)）維的抑制旁瓣區(qū)域天線陣列增益加權(quán)矩陣；AI為干擾信號導(dǎo)向矢量的集合.Q是對的每一行取2范數(shù)構(gòu)成的對角陣，設(shè)

其中，di是1×N的向量.令

則

劉振等［12］主要利用噪聲子空間與信號子空間之間的正交性構(gòu)造加權(quán)矩陣G，優(yōu)化模型為：

對采樣信號的協(xié)方差矩陣進行特征值分解，得到信號子空間US和噪聲子空間UN，因為信號和噪聲是相互獨立的，所以US和UN相互正交，而入射信號（包括期望信號和干擾信號）的導(dǎo)向矢量集合A=［a（θ0），a（θ1），…，a（θJ）］張成的子空間與信號子空間是同一個空間，所以A 與UN正交，即AHUN=0.AI?A，所以AIHUN=0.AI?A?，用A?的共軛轉(zhuǎn)置乘以噪聲子空間可以得到：

其中，AIC是A?中除去AI，其余導(dǎo)向矢量的集合；E1是干擾信號導(dǎo)向矢量與噪聲子空間的內(nèi)積，在實際操作中，由于采樣數(shù)有限，E1部分近似為0；E2為旁瓣區(qū)域中去除AI，其余導(dǎo)向矢量的集合與噪聲子空間的內(nèi)積.對E的每一行取2范數(shù)得到向量

對e中的每一個元素取倒數(shù)得到向量g，最終加權(quán)矩陣

在實際中，e1為非常接近于0 的數(shù)，g 為相當大的數(shù)，因其對應(yīng)于干擾方向，相當于在干擾部位進行加權(quán)，使得干擾零陷更低.

4 仿真對比

考慮圖1 所示的N 元線性天線陣列系統(tǒng)模型，實際應(yīng)用中，對于接收端而言，期望信號和干擾信號的具體來波方向是未知的，所以要先進行DOA 估計，得到窄帶信號的來波方向，設(shè)計波束成形的權(quán)值.天線陣列一旦制作完成，天線的位置發(fā)生偏移的概率不大，所以主要考慮由于期望信號的角度與估計值的誤差而引起的導(dǎo)向矢量失配情況.

使信噪比小于干噪比，即期望信號的功率小于干擾信號的功率，采樣信號的協(xié)方差矩陣Rx更接近干擾和噪聲的協(xié)方差矩陣，仿真參數(shù)如表1所示.

旁瓣區(qū)域內(nèi)采樣間隔為1o，仿真中信號的采樣數(shù)K 為100，為消除仿真實驗的隨機性，蒙特卡羅仿真次數(shù)為100 次，主要對比了傳統(tǒng)Capon波束成形［5］、用l1范數(shù)約束的SCCB算法［10］和2種WSCCB算法［11-12］的性能.

4.1 無導(dǎo)向矢量失配的情況

假設(shè)采樣數(shù)足夠多，J+1個完全不相關(guān)的遠場窄帶信號入射到均勻線性陣列，使用DOA 估計算法得到的期望信號方向與真實的期望信號方向θ0的誤差可以忽略，則期望信號的導(dǎo)向矢量近似等于真實的期望信號的導(dǎo)向矢量α（θ0）.圖2 是無導(dǎo)向矢量失配時的天線陣列輻射方向圖.從圖2 來看，天線陣列增益低于于-20 dB的角度區(qū)域遠大于天線陣列增益高于-20 dB的角度區(qū)域，天線陣列增益滿足稀疏分布.相比標準Capon波束成形算法，其他幾種改進的算法旁瓣和干擾零陷均較低，文獻［11-12］算法存在干擾零陷不準的現(xiàn)象.圖3 是輸出的信干噪比隨著采樣數(shù)的變化圖.可以看出當采樣數(shù)K 增加時，幾種算法的輸出信干噪比均在增加，標準Capon波束成形算法信干噪比總體較小，文獻［11-12］算法的輸出信干噪比大致相同.

表1 仿真參數(shù)表

圖2 無導(dǎo)向矢量失配的天線陣列輻射方向圖

圖3 輸出信干噪比隨采樣數(shù)K的變化圖

4.2 導(dǎo)向矢量失配時

假設(shè)DOA 估計算法由于采樣數(shù)過少而導(dǎo)致估計的期望信號方向與真實的期望信號方向θ0存在一定的誤差，造成失配問題.圖4是當導(dǎo)向矢量存在3o失配時，4種算法的天線陣列輻射方向圖對比，可以看出標準Capon 波束成形算法和文獻［12］算法均把真實的0o方向的期望信號當作干擾處理，在0o處形成零陷，而文獻［12］算法出現(xiàn)了主瓣的搬移，相比之下，文獻［11］中的算法表現(xiàn)了較強的穩(wěn)健性.圖5給出了文獻［12］的天線陣列輻射方向圖隨導(dǎo)向失配程度的變化圖，可以看出當失配角度越大時，在真實期望信號來波方向形成的干擾零陷就越低.

圖4 導(dǎo)向矢量存在3o失配時天線陣列輻射方向圖

圖5 天線陣列輻射方向圖隨導(dǎo)向失配程度的變化圖

5 結(jié) 論

將幾種加權(quán)稀疏約束的Capon 波束成形算法進行比較，仿真結(jié)果表明：相對于SCCB 算法和標準Capon 波束成形算法，兩種WSCCB 算法得到的N 元線性天線陣列輻射方向圖的旁瓣和干擾零陷都有一定程度的降低，但是兩種WSCCB算法均存在干擾零陷，不能準確指向設(shè)定的干擾方向.如何使天線陣列輻射方向圖的干擾零陷更加精準，以及進一步降低旁瓣是將來的主要研究內(nèi)容.當導(dǎo)向矢量存在失配時，WSCCB 算法表現(xiàn)出了較差的穩(wěn)健性，而且隨著失配角度的增大，其對真實期望方向的抑制增強，所以在降低干擾零陷和旁瓣的同時，算法的穩(wěn)健性也是需要考慮的問題.