修國(guó)眾，時(shí) 寶，王麗英

（海軍航空大學(xué)航空基礎(chǔ)學(xué)院，山東煙臺(tái)264001）

0 引 言

黏性阻尼模型是最常用的振動(dòng)阻尼模型，因具有簡(jiǎn)單性和便利性的特點(diǎn)，黏滯阻尼模型被廣泛應(yīng)用，即使真正的阻尼特性被認(rèn)為是非黏性的.耗散力依賴(lài)于瞬時(shí)廣義速度以外的任何量的阻尼模型稱(chēng)為非黏滯阻尼模型，相應(yīng)的振子稱(chēng)為非黏滯阻尼振子.在許多非黏滯阻尼模型中，卷積型非黏滯阻尼模型可能是線(xiàn)性分析范圍內(nèi)最一般的模型［1］.

考慮卷積型非黏滯阻尼模型是阻尼與質(zhì)點(diǎn)速度的歷史相關(guān)，假設(shè)阻尼可以表示為核函數(shù)與質(zhì)點(diǎn)的速度的卷積，即

其中，G(t)是核函數(shù)；x?(t)是質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)速度.

在文獻(xiàn)［2-4］中，作者提出許多卷積型非黏滯阻尼模型來(lái)精確描述黏彈性材料的耗散機(jī)理.阻尼模型有幾種物理上真實(shí)的數(shù)學(xué)形式，如Biot模型［5］在拉普拉斯域可表示為：

一些作者將流變學(xué)理論應(yīng)用于線(xiàn)性黏彈性模型，如廣義麥克斯韋模型［6］：

在許多阻尼模型中，指數(shù)阻尼模型［7］在物理上最有意義，也是應(yīng)用最為普遍的，在拉普拉斯域表示為：

在動(dòng)力設(shè)計(jì)中經(jīng)常會(huì)遇到具有兩個(gè)或兩個(gè)以上不同耗能水平的機(jī)械工程系統(tǒng)，因此這些阻尼系統(tǒng)往往涉及多個(gè)不同的阻尼模型.然而，在文獻(xiàn)［8-9］中，作者只討論單一的指數(shù)阻尼系統(tǒng)；ADHIKARI［10］提出了指數(shù)型阻尼線(xiàn)性系統(tǒng)的精確狀態(tài)空間方法；WAGNER 等［11］提出了一種基于運(yùn)動(dòng)方程擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)空間的表示方法，該方法除了利用位移和速度作為狀態(tài)向量外，還利用了一組內(nèi)部變量，本文作者在本研究中也使用了該方法；LI 等［12］提出了用有理多項(xiàng)式的分式（廣義阻尼模型）來(lái)描述多個(gè)阻尼模型的想法，試圖用統(tǒng)一的阻尼形式來(lái)表示不同的阻尼模型，為本文作者求解具有兩種不同阻尼模型的非黏滯阻尼系統(tǒng)提供了思路和方法.

本研究的目的是創(chuàng)建具有兩種不同的阻尼模型的非黏滯阻尼系統(tǒng)的狀態(tài)空間公式.在第一節(jié)中，將給出具有兩種不同阻尼模型的三自由度非黏滯阻尼系統(tǒng)的拉普拉斯域運(yùn)動(dòng)方程，根據(jù)最小實(shí)現(xiàn)理論，將兩種不同阻尼模型構(gòu)造為矩陣相乘的形式，通過(guò)使用Kronecker 積將系統(tǒng)方程寫(xiě)成簡(jiǎn)化形式；在第二節(jié)中，通過(guò)引入內(nèi)部變量變換，得到了時(shí)間域上的一階線(xiàn)性系統(tǒng).作為一個(gè)特殊例子，考慮了指數(shù)阻尼系統(tǒng)，得到了類(lèi)似于文獻(xiàn)［11］的指數(shù)阻尼系統(tǒng)的狀態(tài)空間方法，驗(yàn)證了該方法的有效性.

1 具有兩種不同阻尼模型的非黏滯阻尼系統(tǒng)的一般形式

圖1為三自由度非黏滯阻尼系統(tǒng)的力學(xué)模型圖.該系統(tǒng)有3個(gè)質(zhì)量塊，每個(gè)質(zhì)量塊為m，并由剛度系數(shù)為k 的彈簧連接.系統(tǒng)的非穩(wěn)態(tài)阻尼模型由兩種不同的阻尼模型組成，如圖1 陰影部分所示.其中，G1(t)是Biot阻尼模型，G2(t)是指數(shù)阻尼模型.

圖1 具有兩種不同阻尼模型的三自由度系統(tǒng)

具有兩種阻尼模型的三自由度非黏滯阻尼系統(tǒng)的拉普拉斯域運(yùn)動(dòng)方程可以表示為：

其中，M(M ∈R3×3)和K(K ∈R3×3)分別是系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；C1'C2(C1'C2∈R3×3)是頻變阻尼系數(shù)矩陣；G1(s)，G2(s)是頻變阻尼函數(shù)；F(s)是外力向量；X(s)表示響應(yīng)向量.假設(shè)：

不大于分母的階數(shù)qk，即pk≤qk，并且qk≥1，則根據(jù)最小實(shí)現(xiàn)理論，有理多項(xiàng)式可以表示為：

其中，矩陣Ak'Bk∈Rqk×qk；向量vk'uk∈Rqk×1.一般假設(shè)分母最高次階項(xiàng)的系數(shù)為1，即dqk=1，則可將上述矩陣和向量構(gòu)建為：

假設(shè)系統(tǒng)的兩種阻尼模型：一種是兩個(gè)系列的Biot阻尼模型；一種是兩個(gè)系列的指數(shù)阻尼模型.將這兩種不同的阻尼模型根據(jù)引理可表示為有理多項(xiàng)式的形式：

因?yàn)榉肿雍头帜笡](méi)有公因子，則可以根據(jù)引理寫(xiě)成形式：

其中，矩陣A1'B1∈R2×2，A2'B2∈R2×2；向量v1'u1∈R2×1，v2'u2∈R2×1.矩陣和向量可表示為：

通常，阻尼材料只是整個(gè)系統(tǒng)的小部分，這意味著頻變阻尼系數(shù)矩陣C1，C2∈?3×3不是一個(gè)全秩矩陣.假設(shè)矩陣Ck的秩是rk，則有：

因此，系數(shù)矩陣Ck可分解為：

由上述假設(shè)，則有：

其中，Irk表示秩為rk的單位矩陣.

定義Kronecker 積是兩個(gè)矩陣間的運(yùn)算.Kronecker 積是張量積的特殊形式，以德國(guó)數(shù)學(xué)家利奧波德克羅內(nèi)克命名，用符號(hào)?表示.假定A 是一個(gè)m×n 的矩陣，B 是一個(gè)p×q 的矩陣，Kronecker 積A?B則是一個(gè)mp×nq的分塊矩陣：

由Kronecker積定義，可以將式（13）替換為：

令：

可得：

則式（13）可以簡(jiǎn)化為：

將式（19）代入式（5），則式（5）可以簡(jiǎn)化為：

2 具有兩種不同阻尼模型的三自由度非黏滯阻尼系統(tǒng)的狀態(tài)空間方法

為了建立該系統(tǒng)的狀態(tài)空間公式，引入內(nèi)部變量：

式（21）兩邊同乘以(A-sB)-1，可得：

為了獲得內(nèi)變量的時(shí)變行為，通過(guò)拉普拉斯逆變換得以下形式：

其中，x(t)=?-1[X(s)]，y(t)=?-1[Y(s)].將式（21）代入式（20），再利用拉普拉斯逆變換，得到一個(gè)增廣耦合系統(tǒng)：

假設(shè)質(zhì)量矩陣M是非奇異的，引入黏滯阻尼系統(tǒng)的常用狀態(tài)向量：

由式（23）～（25）可以構(gòu)建線(xiàn)性系統(tǒng)：

假設(shè)矩陣A是非奇異的，則式（23）可化為：

將式（27）代入式（24），則得：

由式（25），（27）和（28）可構(gòu)建線(xiàn)性系統(tǒng)：

定理具有兩種不同阻尼模型的三自由度非黏滯阻尼系統(tǒng)的拉普拉斯域運(yùn)動(dòng)方程為

系統(tǒng)的兩種阻尼模型，一種是Biot 阻尼模型如式（7），另一種是指數(shù)阻尼模型如式（8），則可得到該系統(tǒng)時(shí)間域上的狀態(tài)空間公式如式（29），并且

由這些系統(tǒng)矩陣，用模態(tài)疊加法可得到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng).

為了驗(yàn)證該方法的有效性，假設(shè)系統(tǒng)只有指數(shù)阻尼模型，Biot阻尼模型為0，則指數(shù)阻尼系統(tǒng)的拉普拉斯域運(yùn)動(dòng)方程可以表示為：

根據(jù)引理，指數(shù)阻尼模型可表示為：

由定理可得系統(tǒng)矩陣：

這一結(jié)論類(lèi)似于文獻(xiàn)［11］指數(shù)阻尼系統(tǒng)的狀態(tài)空間方法.如果式（32）的系統(tǒng)矩陣是對(duì)稱(chēng)的，可得Lk=Rk，則系統(tǒng)（33）也是對(duì)稱(chēng)線(xiàn)性的.

3 結(jié) 論

在動(dòng)力設(shè)計(jì)中，經(jīng)常遇到兩個(gè)或兩個(gè)以上耗能水平顯著不同的機(jī)械工程系統(tǒng)，這些系統(tǒng)往往涉及多種阻尼模型.本文作者對(duì)具有兩種不同阻尼模型的三自由度非黏滯阻尼系統(tǒng)進(jìn)行分析，運(yùn)用Kronecker積將拉普拉斯域的系統(tǒng)方程化簡(jiǎn)為一般系統(tǒng)的形式，再引入內(nèi)部變量變換創(chuàng)建了一種基于常狀態(tài)向量的非黏滯阻尼系統(tǒng)狀態(tài)空間公式.并以指數(shù)阻尼系統(tǒng)為例，驗(yàn)證了狀態(tài)空間公式的有效性.狀態(tài)空間公式可以簡(jiǎn)化為常見(jiàn)的黏滯阻尼系統(tǒng)和指數(shù)阻尼系統(tǒng)的形式，這種拓展的狀態(tài)空間公式可應(yīng)用于具有多種阻尼模型的非黏滯阻尼系統(tǒng)的分析.