胡艷英

【摘 ? 要】數(shù)學(xué)“證明”的技能并非要到中學(xué)才開始培養(yǎng)，小學(xué)中高段教學(xué)即可逐步嘗試和滲透。通過運(yùn)用“猜想—驗(yàn)證”的方式來進(jìn)行教學(xué)，既可以在學(xué)生心中埋下“證明”的種子，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);教學(xué);培養(yǎng)高階思維

在小學(xué)階段，教師應(yīng)設(shè)法讓學(xué)生提出自己的觀點(diǎn)并進(jìn)行佐證，有理有據(jù)地說出自己的想法、做法，得出相對應(yīng)的結(jié)論。這樣的訓(xùn)練可以促使學(xué)生的思維更加嚴(yán)謹(jǐn)，有深度。

一、臆測教學(xué)的啟示

臺灣清華大學(xué)林碧珍教授倡導(dǎo)的小學(xué)數(shù)學(xué)臆測教學(xué)，其基本理念就是“有多少證據(jù)說多少話”。學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時(shí)，會(huì)在教師的引導(dǎo)下經(jīng)歷“造例—提猜想—效化—一般化—證明”這一系列學(xué)習(xí)過程，積累豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

（一）案例再現(xiàn)：“圓的面積計(jì)算”

關(guān)于圓面積公式的推導(dǎo)，林碧珍團(tuán)隊(duì)的教師花了四節(jié)課的時(shí)間進(jìn)行實(shí)踐。執(zhí)教教師為學(xué)生提供了等分成不同份數(shù)的圓形紙片，供學(xué)生選擇進(jìn)行探索造例，用已學(xué)過的平行四邊形、梯形、三角形的舊知來計(jì)算出圓的面積。

圓形紙片等分的情況有如下幾種：3等分，4等分，5等分，6等分，7等分，8等分，9等分，10等分，13等分，16等分。

學(xué)生選擇上述一種進(jìn)行剪拼研究，拼成已學(xué)過的圖形，嘗試計(jì)算出圓的面積，然后在小組內(nèi)進(jìn)行交流。

小組派代表將猜測的結(jié)論在全班同學(xué)面前闡述。最后，教師對每一種猜想進(jìn)行引導(dǎo)剖析。學(xué)生發(fā)現(xiàn)每一種情況最終都會(huì)用“半徑×半徑×3.14”來計(jì)算，從而得出圓面積的計(jì)算公式。研究到此并未結(jié)束，教師接著拋出問題：什么時(shí)候可以拼成大三角形來計(jì)算，有個(gè)數(shù)限制嗎？個(gè)數(shù)有什么特征？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)一個(gè)圓平均分成完全平方數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，大三角形才可拼成。

（二）觀課啟示

從“學(xué)習(xí)效果”的角度看，學(xué)生完全投入新課的學(xué)習(xí)之中，每個(gè)人都有自己的想法和收獲，在分享自己觀點(diǎn)的同時(shí)也吸納別人的不同方法，學(xué)習(xí)這件事情在每個(gè)學(xué)生身上真實(shí)地發(fā)生。雖然學(xué)習(xí)過程看起來緩慢，但學(xué)生親歷其中，人人思考，參與猜想，見證了知識的形成。在這節(jié)課中深深體會(huì)到學(xué)生是探索的主體，教師是“顧問”和“引路人”。

從“學(xué)習(xí)方法”的角度看，每個(gè)學(xué)生都有自己的選擇權(quán)，選擇自己喜歡的學(xué)習(xí)材料，剪拼成自己喜歡的熟悉的圖形來探究，沒有強(qiáng)制性規(guī)定，沒有單一式灌輸。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生有豐富的想象空間，他們按自己的想法剪拼成類平行四邊形、類梯形和類三角形，都近似地計(jì)算出圓的面積。最后歸納導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式是“S=πr2”。

由此可見，對于小學(xué)中高段學(xué)生，教師可以進(jìn)行猜想—驗(yàn)證教學(xué)。

二、教學(xué)嘗試：讓學(xué)生在猜想—驗(yàn)證中獲取數(shù)學(xué)思想

認(rèn)知心理學(xué)派強(qiáng)調(diào)，學(xué)習(xí)中要學(xué)會(huì)質(zhì)疑。教師要引導(dǎo)學(xué)生在探索中提出問題，從而加深對知識的理解，提高學(xué)習(xí)能力。為此，在教學(xué)中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑。

（一）操作證偽：“難成平行四邊形”

浙教版六年級下冊數(shù)學(xué)《作業(yè)本》“圓柱的側(cè)面積“練習(xí)三第1題是這樣的：

有學(xué)生在解答時(shí)提出：圖②這條虛線這么直是不科學(xué)的。

教師追問：為什么這么說？

學(xué)生上臺邊演示邊說明：我們用軟三角尺貼住側(cè)面，假設(shè)這是那條線，您看，這條線畫在平面上不可能是直的，軟尺在曲面上，這條線必定有弧度。

（說明：三角尺太硬了，用長方形紙條來圍，它薄一點(diǎn)更能貼牢，這條邊的弧度更加明顯。）

生：如果非要做這道題，沿圖上的直直的虛線來剪，那我只能填近似的平行四邊形了。

這是一次課后練習(xí)中發(fā)生的小插曲，學(xué)生證偽成功，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信瞬間提升。

（二）計(jì)算驗(yàn)證：“格點(diǎn)法可用于多邊形面積計(jì)算”

學(xué)生一旦有了證明（驗(yàn)證）的意識，思考問題的方式就會(huì)跟著發(fā)生改變。學(xué)生有了強(qiáng)烈的質(zhì)疑和求證的意識，其日常的學(xué)習(xí)會(huì)變得很不一樣，思維就會(huì)慢慢走向高階。

如教學(xué)人教版五年級上冊第六單元“多邊形的面積”時(shí)，在完成基本教學(xué)任務(wù)的前提下，教師讓學(xué)生思考驗(yàn)證“格點(diǎn)法是否可以解決多邊形面積計(jì)算”（格點(diǎn)多邊形面積=內(nèi)格點(diǎn)數(shù)+邊格點(diǎn)數(shù)÷2-1）。學(xué)生帶著疑問開始學(xué)習(xí)。

學(xué)生小組合作，驗(yàn)證過程如下：

經(jīng)過驗(yàn)證，小組討論得到結(jié)論：格點(diǎn)法可以解決多邊形面積計(jì)算的問題。（注：多邊形應(yīng)為格點(diǎn)多邊形）

（三）圖解揭秘：“首同尾合十”的兩位數(shù)乘法巧算原理

乘法125×8可以巧算，還有一些也可以巧算。比如23×27，可以用“頭×（頭+1）”也就是20×30+“尾×尾”也就是3×7來計(jì)算等于621，這就是“首同尾合十”的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的巧算。為什么呢？教師可以提供相應(yīng)的學(xué)習(xí)材料讓學(xué)生操作思考。

[過程 舉例 形成觀點(diǎn) 模型

呈現(xiàn)立論 23×27=20×30+3×7=621 可以用“頭×（頭+1）”也就是2×3作積的前兩位，“尾×尾”作積的末兩位

驗(yàn)證

嘗試應(yīng)用 ①39×31=30×40+9×1=1209 √

②54×56=50×60+4×6=3024 √

③43×57=40×60+3×7=2421 ×

④27×26=20×30+6×7=642 ?× 計(jì)算發(fā)現(xiàn)①②的結(jié)果是正確的，③④的結(jié)果是錯(cuò)誤的。說明并不是所有的兩位數(shù)乘兩位數(shù)都可以這樣來計(jì)算

探究

數(shù)形結(jié)合 ①39×31=30×40+9×1=1209

學(xué)生利用圖形，證明理解了巧算的原理，體驗(yàn)了成功的喜悅，同時(shí)使觀察、質(zhì)疑、推理、歸納、應(yīng)用等高階思維能力得到了鍛煉。

三、數(shù)學(xué)教學(xué)要指向高階思維的培養(yǎng)：在猜想驗(yàn)證中從“是什么”走向“為什么”

所謂高階思維，是指發(fā)生在較高認(rèn)知水平層次上的心智活動(dòng)或認(rèn)知能力，主要指創(chuàng)新能力、問題求解能力、決策力和批判性思維能力。

對小學(xué)生來說，經(jīng)歷歸納、猜想、證明（驗(yàn)證）等過程是培養(yǎng)高階思維能力的有效舉措。教師授課不但要讓學(xué)生明白“是什么”，而且要讓他們明白“為什么”。

如人教版三年級下冊P65，P75分別有兩道練習(xí)題，一道是周長相等畫不同的長方形，另一道是面積相等畫不同的長方形。兩題均有讓學(xué)生思考的要求“你能發(fā)現(xiàn)什么”。這類練習(xí)課，教師都會(huì)直指規(guī)律，那就是“周長相等時(shí)，長與寬越接近，面積越大;面積相等時(shí)，長與寬越接近，周長越小”，讓學(xué)生初步感知這個(gè)規(guī)律。如果教學(xué)止步于此，學(xué)生腦海中留下的僅僅是問題的結(jié)論。教師不妨放手讓學(xué)生進(jìn)一步探索證明“為什么會(huì)這樣”，引導(dǎo)學(xué)生的思維趨向高階。

教師出示改編后的學(xué)習(xí)材料供學(xué)生探索。

1.下面每個(gè)小正方形的邊長為1厘米。在方格紙上，畫出周長為24厘米的長方形，你能畫幾個(gè)？（1）獨(dú)立在方格紙上畫一畫。（2）小組合作，在記錄表中有序理一理。（3）思考：周長不變時(shí)，面積怎么變？為什么？

2.三（1）班要設(shè)計(jì)一面長方形笑臉墻，現(xiàn)有1平方分米的正方形照片20張，有多少種不同的擺法？如果給照片墻配上邊框，怎樣最節(jié)省材料，為什么？

教師引導(dǎo)學(xué)生在圖形對比、數(shù)據(jù)對比中層層深入，不斷挖掘知識的內(nèi)涵，讓學(xué)生不斷經(jīng)歷變與不變的歸納推理證明（驗(yàn)證）過程，促進(jìn)學(xué)生高階思維能力的提升。

參考文獻(xiàn)：

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（浙江省杭州市青藍(lán)小學(xué) ? 310003）