金秀葉

【摘 ? 要】推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，是獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的最基本手段。推理一般包括合情推理和演繹推理。在教學(xué)中既需要通過實(shí)驗(yàn)與猜想等方式重視合情推理能力的培養(yǎng)，也需要通過邏輯與證明等方式讓學(xué)生學(xué)會(huì)演繹推理。如此，不僅解決推理“是什么”的問題，更讓學(xué)生走向?qū)Α盀槭裁础钡睦斫?，進(jìn)而學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用，讓學(xué)習(xí)從淺表走向深度。

【關(guān)鍵詞】推理;歸納;演繹;聯(lián)系;本質(zhì)

正如史寧中教授指出的那樣，推理能力的培養(yǎng)對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和綜合素養(yǎng)的發(fā)展都有著重要的作用。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》把推理作為十大核心概念之一，它實(shí)際上是數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵能力之一。推理教學(xué)的目的是要教給學(xué)生深層次的數(shù)學(xué)道理，最終讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，掌握基本的推理方法，逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方法思考和解決問題。

推理一般包括合情推理和演繹推理。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論。但在實(shí)際教學(xué)中，教師一般偏重于通過實(shí)驗(yàn)與猜想等方法來發(fā)展合情推理，而對(duì)于需借助邏輯與證明等方式來彰顯的演繹推理就不那么重視。實(shí)際上，這兩種推理能力的培養(yǎng)不僅都需要加以重視，而且也是可能的。曹培英老師曾提出：“演繹推理不是中學(xué)幾何的專利。小學(xué)數(shù)學(xué)有許多尚待發(fā)掘的演繹推理。”本文從人教版六年級(jí)下冊(cè)《比例的基本性質(zhì)》一課的教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，就此問題作探討。

一、“舉例—猜想—驗(yàn)證”的“不完全歸納”教學(xué)現(xiàn)狀

綜觀人教版、北師大版、蘇教版等教材，對(duì)于“比例的基本性質(zhì)”一課，整個(gè)教學(xué)過程只應(yīng)用了不完全歸納法。學(xué)生往往認(rèn)為舉例驗(yàn)證對(duì)了，或是舉不出反例了，猜想就對(duì)了，我們的課堂一般也僅滿足于此。

人教版

蘇教版

在我們的教學(xué)中，一般都是經(jīng)歷“舉例—猜想—驗(yàn)證”這樣的環(huán)節(jié)，僅此而已。教材這樣編排，教師照此教學(xué)。但這樣的教學(xué)現(xiàn)狀，筆者覺得有如下不足。

（1）止于不完全歸納，未能深挖本質(zhì)。數(shù)學(xué)思維是一種表達(dá)特定推理過程的嚴(yán)謹(jǐn)方法，這種通過不完全歸納得出的結(jié)論，會(huì)削弱知識(shí)的邏輯聯(lián)系，從而影響理解的深度。

（2）止于零散的學(xué)習(xí)，未能實(shí)現(xiàn)整合。生本學(xué)材的實(shí)驗(yàn)稿將“整理與復(fù)習(xí)”調(diào)整為“復(fù)習(xí)與關(guān)聯(lián)”，目的就是期待教師重視知識(shí)之間的整合與聯(lián)系。學(xué)生在一節(jié)課中能否得到能力的增長(zhǎng)，將來又能否用聯(lián)系的眼光來看待新的數(shù)學(xué)問題，是與教師平時(shí)的教學(xué)行為息息相關(guān)的。

（3）止于單一的路徑，未能呈現(xiàn)多樣。推理教學(xué)可以有多種可能，歸納推理只是其中的一種路徑。放眼看，這項(xiàng)內(nèi)容可以聯(lián)系比的基本性質(zhì)、等式的性質(zhì)、代數(shù)的思想、圖形論證等形式加以證明。

如果只應(yīng)用不完全歸納法，其實(shí)就停留在“知其然”;只有討論“為什么”，找出必然聯(lián)系，那才是“知其所以然”。事實(shí)上，我們有必要去探究這個(gè)知識(shí)到底是怎么來的，為什么會(huì)是這樣。

二、走向“演繹推理”的可能性教學(xué)嘗試

研究比例的基本性質(zhì)背后的秘密，采用完全歸納法教學(xué)合適嗎？筆者認(rèn)為合適與否的關(guān)鍵在于是否給學(xué)生搭建了“夠得著”的“腳手架”，而答案應(yīng)該是肯定的。

（一）透過已知性質(zhì)，推出未知

在初步發(fā)現(xiàn)比例的兩個(gè)外項(xiàng)之積等于內(nèi)項(xiàng)之積后，學(xué)生起疑：為什么比例的外項(xiàng)之積會(huì)等于內(nèi)項(xiàng)之積呢？是不是所有的比例都有這樣的規(guī)律？通過借助已有知識(shí)，串聯(lián)起某些知識(shí)之間的內(nèi)部聯(lián)系，對(duì)猜想的結(jié)論進(jìn)行推理證明，促進(jìn)學(xué)生的深度理解。

（1）利用比的基本性質(zhì)。學(xué)生在研究“為什么兩個(gè)外項(xiàng)之積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)之積”時(shí)，展開如下交流。

（能利用“比的基本性質(zhì)”初步看出兩個(gè)比的前項(xiàng)和后項(xiàng)之間的倍數(shù)關(guān)系）

層次二

（能看出兩積中“6”和“10”的“前世”，初步感知兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積背后的秘密）

層次三

（能清晰地找到規(guī)律，并說明其中的道理） ]

[35]=[610]，學(xué)生由“3×10=5×6”尋找原因，不難發(fā)現(xiàn)“3×（5×2）=5×（3×2）”;再推算“3×（5×□）=5×（3×□）”，“□”里各個(gè)數(shù)都可以，甚至除以一個(gè)數(shù)也可以轉(zhuǎn)化成乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù);再到[ab]和[cd]，提高到抽象層面，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)表征的抽象過程，證明一般化。

（2）利用等式的性質(zhì)。在比例[ab]=[cd]的兩邊同時(shí)乘bd，也就是[ab]×bd =[cd]×bd，同樣可得ad=bc。

（二）利用代數(shù)方法，推出未知

如：[ab]=m，[cd]=m（a、b、c、d均不為0），組成比例[ab]=[cd]。要知道ad是否等于bc，只要把a(bǔ)和d分別用含有b和c的式子表示就可以了，也就是a=bm，d=[cm]，由此推理得到ad =bm×[cm]=bc。

三、同步走向“邏輯與證明”推理能力培養(yǎng)的廣闊空間

強(qiáng)化學(xué)生的推理能力，不僅要著眼于眼前，還要看到與未來的更多聯(lián)系，不僅不能簡(jiǎn)單止步于依靠“猜想與驗(yàn)證”對(duì)合情推理的培養(yǎng)，更可采用“邏輯與證明”等方式推進(jìn)學(xué)生演繹推理能力的提升。事實(shí)上，在我們的教材中蘊(yùn)含著很多有待挖掘的材料。那么如何基于教材，提升學(xué)生的推理能力呢？

（一）強(qiáng)化說理，學(xué)習(xí)邏輯化

【例1】角的度量。（人教版四年級(jí)上冊(cè)P44）

從四年級(jí)測(cè)量驗(yàn)證、觀察驗(yàn)證到推理論證，再到六年級(jí)下冊(cè)初步感受運(yùn)用一些“公理”（如等式的性質(zhì)）進(jìn)行數(shù)學(xué)推理。讓學(xué)生體會(huì)到僅憑觀察其實(shí)是不夠的，要結(jié)合問題展開適當(dāng)?shù)恼f理，還要有一定的邏輯，且在不同的年級(jí)滲透不同的教學(xué)目標(biāo)。

（二）聯(lián)系整合，促進(jìn)結(jié)構(gòu)化

【例2】面積推導(dǎo)。（人教版五年級(jí)上冊(cè)P103）

從學(xué)習(xí)平行四邊形的面積，到學(xué)習(xí)三角形、梯形的面積，這些圖形面積計(jì)算方法的習(xí)得同樣離不開推理。放眼看，其實(shí)就是將新的圖形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形，以此加深對(duì)幾何知識(shí)的整體理解，并不斷促進(jìn)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化。這些方法不只是簡(jiǎn)單地局限于合情推理，同時(shí)也有不少演繹推理的成分在其中。

合情推理強(qiáng)調(diào)從已有事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果，而演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成。人民教育出版社王永春老師在《小學(xué)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)要點(diǎn)簡(jiǎn)析——以“推理思想和運(yùn)算能力培養(yǎng)”為例》一文中指出：“為了中小學(xué)銜接，演繹推理在小學(xué)數(shù)學(xué)中可適當(dāng)加強(qiáng)。教學(xué)中經(jīng)常啟發(fā)學(xué)生思考一些問題：為什么這樣算？怎樣得出的結(jié)論？”

實(shí)踐證明，推理真的不只是中學(xué)生的專屬，只要“有理有據(jù)”，小學(xué)生也可以做出精彩的論證。“數(shù)學(xué)”不僅需要“實(shí)驗(yàn)”與“猜想”，更需要邏輯與證明的參與，讓學(xué)生知道“是什么”，更明了“為什么”，從而學(xué)會(huì)“前聯(lián)后延”，真正培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

參考文獻(xiàn)：

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[5]李榮榮，季純純，章勤瓊.“推理與論證”大家談[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2018（4）.

（浙江省平湖市新倉(cāng)中心小學(xué) ? 314200）