高桂英 孫曉坤

【摘要】本文闡述了無(wú)窮小量是高等數(shù)學(xué)核心定義的一個(gè)關(guān)鍵的量.無(wú)窮小量的引入完善了高等數(shù)學(xué)的知識(shí)體系.

【關(guān)鍵詞】無(wú)窮小量，微積分，變化率，牛頓，萊布尼茲

眾所周知，微積分是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，為我們提供了一整套測(cè)算幾何圖形、各種曲面面積的通用方法，包活測(cè)算行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌跡在內(nèi)曲面面積的方法.微積分思想產(chǎn)生于17世紀(jì)，可以說(shuō)是17世紀(jì)最偉大的世界知識(shí)遺產(chǎn)之一.18世紀(jì)，德國(guó)最著名的數(shù)學(xué)家萊布尼茲和英國(guó)最偉大的數(shù)學(xué)家牛頓，二人為了宣稱自己創(chuàng)立了微積分，進(jìn)行了一場(chǎng)持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)達(dá)10年之久的激烈爭(zhēng)斗，而且這場(chǎng)爭(zhēng)斗一直持續(xù)到他們各自去世.可以說(shuō)兩位數(shù)學(xué)大家上演了歷史上最重大的知識(shí)產(chǎn)權(quán)之爭(zhēng).直到19世紀(jì)，微積分的思想體系才得以完善，微積分的創(chuàng)立打開(kāi)了數(shù)學(xué)的廣闊天地.可以說(shuō)，有了微積分，才有了數(shù)學(xué)分析的開(kāi)端，才有了數(shù)學(xué)龐大分支的產(chǎn)生.而在微積分的發(fā)展過(guò)程中，無(wú)窮小量起到了舉足輕重的作用.

一、微積分思想的創(chuàng)立離不開(kāi)無(wú)窮小量

微積分是一種數(shù)學(xué)思想，“無(wú)限細(xì)分”就是微分，“無(wú)限求和”就是積分.微積分的創(chuàng)立，起源于17世紀(jì)一直困擾人們的主要四類科學(xué)問(wèn)題，即速度問(wèn)題、切線問(wèn)題、面積問(wèn)題、最值問(wèn)題.這四類問(wèn)題的共性是：一個(gè)變量相對(duì)另一個(gè)變量的變化率問(wèn)題和它的逆問(wèn)題——和的極限能夠由變化率的逆過(guò)程得到.科學(xué)家們先后給出了上述四類問(wèn)題的解決方法，但解決這類問(wèn)題的共性并沒(méi)有被注意到.在解決單個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，盡管科學(xué)家們隱約地發(fā)覺(jué)甚至利用了它們之間的關(guān)系，但是沒(méi)有引起足夠的重視.格雷戈瑞在《幾何的通用部分》中證明了切線問(wèn)題是面積問(wèn)題的逆問(wèn)題，但他的著述當(dāng)時(shí)未引起科學(xué)家們的注意.

事物的普遍性寓于特殊性之中，偉人的偉大之處就是善于從特殊的事例中總結(jié)出具有普遍意義的結(jié)果.牛頓和萊布尼茲將眾多科學(xué)家得出的零碎微積分思想總結(jié)出具有普遍意義的結(jié)論.牛頓總結(jié)了前人的思想，建立起成熟的方法，并給出了前面敘述的幾個(gè)問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，他先后在三篇論文中表達(dá)了微積分的基本問(wèn)題，其中最具有代表性的是牛頓寫(xiě)于1671年但直到1736年才出版的《流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)》.在這本書(shū)中，他認(rèn)為變量由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的.他把變量叫作流，變量的變化率叫作流數(shù)，對(duì)x和y的流數(shù)，他記為x·和y·，x·的流數(shù)是x· ·等等.

牛頓在書(shū)中清晰地表述了微積分的基本問(wèn)題，引進(jìn)了無(wú)窮小量.盡管此時(shí)的無(wú)窮小量的概念并不是很明確，也不是很科學(xué)，但是在解決問(wèn)題的過(guò)程中起到了關(guān)鍵的作用.牛頓清楚地陳述了微積分的基本問(wèn)題：由已知的流動(dòng)量求流數(shù)，由已知的流數(shù)求流動(dòng)量.他認(rèn)為，流是隨時(shí)間變化的，因?yàn)檫@是一種有用的但不是必需的思想方法.如果0（牛頓把無(wú)窮小的增量叫作瞬，并用0表示）是無(wú)窮小的時(shí)間間隔，那么x0和y0就是x和y的無(wú)窮小量的增量或者是x和y的瞬.牛頓此時(shí)提出了函數(shù)值增量相對(duì)自變量增量的變化率的問(wèn)題，后來(lái)人們稱它為導(dǎo)數(shù).

總之，牛頓把x和y的無(wú)窮小量增量作為求流數(shù)的手段，當(dāng)增量越來(lái)越小的時(shí)候，流數(shù)（導(dǎo)數(shù)）就是增量比的極限，他完全明白了兩種關(guān)系的互逆性，準(zhǔn)確地建立了微分和積分之間的聯(lián)系，并由此來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題：求曲線的切線，求函數(shù)的最大值和最小值，求曲線的曲率和曲線的拐點(diǎn).他得到了曲邊圖形的面積和曲線長(zhǎng)度的求法等等.總之，他利用了導(dǎo)數(shù)和反導(dǎo)數(shù)解決了微分和積分的所有問(wèn)題.牛頓一直很有經(jīng)驗(yàn)地、具體地、謹(jǐn)慎地進(jìn)行著他的工作.他建立和完成了無(wú)窮小量的分析，實(shí)際也就建立和完成了微積分.盡管他創(chuàng)立了很多方法，但他很少提出法則，微積分的應(yīng)用不僅證明了他的價(jià)值，而且遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超過(guò)了萊布尼茲的工作，刺激并決定了整個(gè)18世紀(jì)分析的方向.

在建立微積分思想的過(guò)程中，另一位做出卓越貢獻(xiàn)的科學(xué)家是萊布尼茲.雖然他與牛頓的貢獻(xiàn)是完全不同的，他的著手點(diǎn)是從求函數(shù)的無(wú)窮小的增量的題目出發(fā)，函數(shù)取得這種增量是無(wú)限小變化的結(jié)果，萊布尼茲把這個(gè)函數(shù)的增量叫作微分，并用字母d表示.此外他還創(chuàng)立了一套獨(dú)特的微積分符號(hào)系統(tǒng)，進(jìn)而建立了積分的公式系統(tǒng)和運(yùn)算法則，進(jìn)一步給出了微分的基本運(yùn)算法則和積分表.牛頓在微積分的應(yīng)用中結(jié)合了運(yùn)動(dòng)學(xué)，造詣?shì)^萊布尼茲高一籌，但萊布尼茲的表達(dá)形式采用數(shù)學(xué)符號(hào)卻又遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓一籌，既簡(jiǎn)潔又準(zhǔn)確地揭示出微積分的實(shí)質(zhì)，強(qiáng)有力地促進(jìn)了高等數(shù)學(xué)的發(fā)展.萊布尼茲創(chuàng)造的微積分符號(hào)，正像印度阿拉伯?dāng)?shù)字促進(jìn)了算術(shù)與代數(shù)發(fā)展一樣，促進(jìn)了微積分學(xué)的發(fā)展，萊布尼茲是數(shù)學(xué)史上最杰出的符號(hào)創(chuàng)造者之一.

雖然萊布尼茲提出微積分比牛頓晚，但是他發(fā)表微積分的著作比牛頓要早.正是因?yàn)槿绱?，萊布尼茲才宣稱自己是微積分的第一創(chuàng)始人.正是因?yàn)槲⒎e分的意義很重大，萊布尼茲才被當(dāng)時(shí)整個(gè)歐洲公認(rèn)為最偉大的數(shù)學(xué)家.

后人一直認(rèn)為牛頓和萊布尼茲都是微積分思想的獨(dú)立發(fā)明者，盡管牛頓更早地接近最后的結(jié)論，而相對(duì)而言比萊布尼茲要晚一些，而萊布尼茲比牛頓更早地發(fā)表自己的成果，但他們之間的共同之處都是借助于無(wú)窮小量創(chuàng)立了微積分基本思想.他們創(chuàng)立的思想在數(shù)學(xué)的發(fā)展史中起到了劃時(shí)代的意義.

二、無(wú)窮小量在數(shù)學(xué)的完整框架結(jié)構(gòu)中起到了紐帶的作用

牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分思想，但沒(méi)有給出精確概念，微積分要成為一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科，必須有自己的基礎(chǔ)理論，為此科學(xué)家們一直在探索和研究，直到19世紀(jì)，才由波爾查諾和柯西給出精確的導(dǎo)數(shù)和積分的定義.

縱觀高等數(shù)學(xué)可以看到，微積分的原始定義都是通過(guò)極限理論來(lái)定義的，而極限理論的核心就是量變到質(zhì)變的飛躍，在實(shí)現(xiàn)飛躍的過(guò)程中，無(wú)窮小量起到了關(guān)鍵的作用.

比如，導(dǎo)數(shù)的定義，函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是自變量增量在無(wú)窮小的狀態(tài)下，函數(shù)值的增量與自變量增量的比值的極限值，即 limΔx→0ΔyΔx=f′（x0），而對(duì)ΔyΔx無(wú)論|Δx|多么?。ǖ坏扔诹悖?，從平面函數(shù)的曲線來(lái)講，ΔyΔx始終是過(guò)定點(diǎn)P（x0，y0）割線的斜率，但取得極限后limΔx→0ΔyΔx就產(chǎn)生了值的變化——過(guò)P（x0，y0）的切線的斜率了.

再比如，微分的定義，即函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x0上的改變量Δy可以表示為Δy=αΔx+o（Δx），其中o（Δx）是當(dāng)Δx→0時(shí)比Δx高階的無(wú)窮小，這時(shí)稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處可微，且α=f′（x），稱f′（x0）Δx為f（x）在點(diǎn)x0處的微分，記作dy=f′（x0）Δx，于是有Δy=dy+o（Δx），微分又稱為函數(shù)改變量的主要部分.微分學(xué)的真正意義是，它可以近似等于增量，而且較為精確.這就是用無(wú)窮小量定義微分的重要性.類似的概念在高等數(shù)學(xué)中有很多，這里不再一一敘述.

微積分思想最根本的內(nèi)容是無(wú)窮小，但是這個(gè)無(wú)窮小到底是什么，它跟0又是什么關(guān)系，數(shù)學(xué)家們一直都沒(méi)有搞清楚，當(dāng)時(shí)由此導(dǎo)致產(chǎn)生了一些很有趣的悖論.就連牛頓和萊布尼茲兩位大師對(duì)無(wú)窮小的定義也很粗糙，甚至于有時(shí)候還變來(lái)變?nèi)?，這顯然是很不合適的.最終到了18世紀(jì)，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第二次數(shù)學(xué)危機(jī).

總之，微積分凝聚了眾多科學(xué)家的智慧，經(jīng)過(guò)了近三個(gè)世紀(jì)的時(shí)間才日趨嚴(yán)謹(jǐn)和完善起來(lái)，而在這一發(fā)展過(guò)程中無(wú)窮小量起到了至關(guān)重要的作用.