吳小珍

“二次函數(shù)”是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，也是中考的熱點和難點。二次函數(shù)中蘊含著豐富的思維方法，學(xué)生掌握好了這些思維方法就能掌握好二次函數(shù)的知識內(nèi)容，對以后學(xué)習(xí)有非常重要的作用，它不但能提升學(xué)生的思維能力，也能激發(fā)學(xué)生的潛力。下面，筆者就二次函數(shù)中幾種常用的思維方法進行簡單的探究。

數(shù)形結(jié)合思維的應(yīng)用

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休?！泵總€幾何圖形都蘊含著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^幾何圖形予以直觀地反映和描述，所以數(shù)形結(jié)合思維也就成為研究數(shù)學(xué)的重要思維方法之一。

二次函數(shù)中“數(shù)”“形”并進，讓學(xué)生做到見“數(shù)”識“形”，見“形”而想“數(shù)”。

1.1二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與系數(shù)a，b，c的關(guān)系。

例：如圖拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=1，且過點（3，0），下列結(jié)論：①abc>0;②a-b+c<0;③2a+b>0;④b2-4ac>0;正確的有（）個？

A.1? ?B.2? ?C.3? ?D.4

解析：由拋物線開口方向得到a>0，由拋物線對稱軸方程得到b=-2a<0，由拋物線與y軸的交點在x軸下方得到c<0，則可知①是正確;利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點為（-1，0），則可知②是錯誤;利用b=-2a可知③錯誤;根據(jù)拋物線與x軸的交點個數(shù)可知④正確。故選：B。

1.2通過觀察圖象，由交點坐標(biāo)可以直接寫出不等式解集。

例：二次函數(shù)y1=ax2+bx+c的圖象與一次函數(shù)y2=kx+b（k≠0）的圖象（如圖）：當(dāng)y2>y1時，根據(jù)圖象寫出x的取值范圍 ? ? 。

解析：通過觀察圖像可知，使得 的 的取值范圍是：-2

函數(shù)方程思維的應(yīng)用

方程和方程組是初中階段比較重要的部分，并且與數(shù)學(xué)其他板塊的關(guān)聯(lián)性也比較強，同時還是解決其他數(shù)學(xué)問題的工具。解決二次函數(shù)問題常常會使用方程和方程組的思維，同樣求解一元二次方程解時，也可以用到二次函數(shù)圖象來解決。

2.1求兩個函數(shù)交點坐標(biāo)的應(yīng)用。

例：如圖，函數(shù)y= 與y=-2x+8的圖象交于點A、B.求A、B兩點的坐標(biāo)。

解析：聯(lián)立函數(shù)y= 和y=-2x+8得到關(guān)于x，y的方程組，解出方程組即可得到A、B兩點的坐標(biāo)。

由題意得：? ? ? ?，

解之得：

∴A、B兩點坐標(biāo)分別為A（3，2）、B（1，6）。

2.2求解一元二次方程可以通過觀察二次函數(shù)圖象得到。

例：如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點為A（1，0），對稱軸是直線x=-1，則方程ax2+bx+c=0的解是（）。

A.x1=-3，x2=1? ? B.x1=3，x2=1

C.x=-3? ? ? ? ? D.x=-2

解析：直接利用拋物線的對稱性，結(jié)合對稱軸以及拋物線y=ax2+bx+c=0與x軸的一個交點是A（1，0），得出另一個與x軸的交點，進而得出答案。

∵拋物線y=ax2+bx+c=0與x軸的一個交點是A（1，0），對稱軸為直線x=-1。

∴拋物線y=ax2+bx+c=0與x軸的另一個交點是（-3，0）

∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解是：x1=-3，x2=1。故選：A。

分類討論思維的應(yīng)用

分類討論思維是數(shù)學(xué)中重要的思維方法之一，有利于增強學(xué)生邏輯思維的條理性、提升思維的縝密性。在二次函數(shù)中，分類討論也是經(jīng)常用到而且非常重要的一種思維方法。

例：如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（1，0），與x軸交于另一點C，與y軸交于點B（0，3），對稱軸是直線x=-1，頂點是M。

（1）直接寫出二次函數(shù)的解析式;（2）點P是拋物線上的動點，點D是對稱軸上的動點，當(dāng)以P、D、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出此時點D的坐標(biāo)。

解析：（1）由題意可解得二次函數(shù)的解析式為：y=-2x2-2x+3。

（2）根據(jù)圖中三種情形圖1中，①當(dāng)D1（-1，0），P1（-2，0）時，有P1B=CD1，P1B∥CD1，所以四邊形P1BCD1為平行四邊形。②當(dāng)BC∥D2P2，BC=D2P2時，四邊形BCD2P2是平行四邊形，設(shè)D2（-1，m）則P2（-4，m-3），把P2的坐標(biāo)代入拋物線得到m-3=-16+8+3，所以m=-2。∴D2（-1，-2）。③當(dāng)D3P3∥BC，D3P3=BC時，四邊形BCD3P3是平行四邊形，設(shè)D3（-1，n），則P3（2，n+3），把點P3坐標(biāo)代入拋物線得到n+3=-4-4+3，所以n=-8?！帱cD3（-1，-8）。

綜上所述點D坐標(biāo)為（-1，0）或（-1，-2）或（-1，-8）。

分類討論在二次函數(shù)中應(yīng)用非常廣泛，比如求面積最值問題;定點加動點構(gòu)成矩形、菱形等問題中也會有應(yīng)用。

數(shù)學(xué)模型思維的應(yīng)用

數(shù)學(xué)建?？梢詾閷W(xué)生提供自主學(xué)習(xí)的空間，也可以增強學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識的意識，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強學(xué)生的創(chuàng)新意識，提升學(xué)生的實踐能力。在解決某些實際問題中，我們經(jīng)常通過建立二次函數(shù)模型來解決。

4.1拱橋問題中，可以通過建立二次函數(shù)模型來解決。

例：如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂高離水面2m時，水面寬4m.水面下降2.5m，水面寬度增加（? ? ?）。

A.1m? ?B.2m? ?C.3m? ?D.6m

解析：如右圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的解析式為y=ax2，由已知可得，點（2，-2）在此拋物線上，則-2=a·22，解得a=- 。∴y=- x2，當(dāng)y=4.5時，-4.5=- x2，解得，x1=-3，x2=3。

∴此時水面的寬度為：3-（-3）=6，∴6-4=2，即水面的寬度增加2m，故選B。

4.2最大利潤問題，可以通過建立二次函數(shù)模型來解決。

例：某商場試銷一種成本為60元的商品，銷售量y（件）與銷售單價x（元）符合一次函數(shù)，且x=80時，y=40;x=70時，y=50。若該商場銷售該商品獲得利潤為w元，問x取何值時w取得最大值？最大值為多少？

解析：先利用待定系數(shù)法求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，再根據(jù)“總利潤=單件利潤×銷售量”列出函數(shù)解析式，將其配方成頂點式后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.設(shè)y=kx+b，將x=80、y=40，x=70、y=50代入，得：? ? ? ? ，

解得：? ? ?，則y=-x+120。

∵w=（x-60）（-x+120）=-x2+180x-7200=-（x-90）2+900。

∴當(dāng)x=90時，w取得最大值，最大值為900。

當(dāng)然，二次函數(shù)中存在的數(shù)學(xué)思維方法是非常豐富的。這些思維方法往往不是獨立存在，而是互相交叉、互相滲透的。因此，面對二次函數(shù)學(xué)習(xí)，教師除了要掌握必要的知識內(nèi)容，更要對數(shù)學(xué)思維方法進行梳理、總結(jié)，逐個認識它們的本質(zhì)特征、思維方法和操作程序，并對它們進行有針對性的訓(xùn)練，才能夠做到有的放矢，游刃有余。

參考文獻

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