張?jiān)僭? 江五元, 丁衛(wèi)平, 李松華, 方春華, 何 帆

(湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 湖南 岳陽 414006)

0 引言

常微分方程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的一門主要基礎(chǔ)課.基于“雙一流”學(xué)科建設(shè)背景下, 大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究需要培養(yǎng)創(chuàng)新型人才, 需要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)[1,2].同時(shí), 常微分方程解的存在性唯一性定理是微分方程的重要理論基礎(chǔ)[3].數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的一門主干核心課程, 在整個(gè)數(shù)學(xué)課程體系中占重要地位.眾所周知, 隱函數(shù)存在定理是數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一.在實(shí)踐教學(xué)中, “隱函數(shù)存在定理”的證明較為復(fù)雜, 學(xué)生難以接受和掌握.基于長期從事數(shù)學(xué)分析與常微分方程課程教學(xué)的經(jīng)驗(yàn), 本文給出數(shù)學(xué)分析中“隱函數(shù)存在定理”的一個(gè)證明, 有利于學(xué)生的理解和掌握, 達(dá)到了很好的教學(xué)效果.

關(guān)于“隱函數(shù)存在定理”的證明, 已有較多研究[12～17], 主要證明方法包括壓縮映射原理[4～5]、不動(dòng)點(diǎn)定理[6]、零點(diǎn)定理、壓縮映射原理、多元微分中值定理[7]、微分中值定理[8]、泛函分析方法[9]、逐次逼近法[10]等, 本文利用Peano 存在性定理證明隱函數(shù)存在定理.

1 隱函數(shù)存在定理及其證明

隱函數(shù)存在定理設(shè)D是空間 ? ×?n內(nèi)的一個(gè)區(qū)域, 函數(shù)F:D→?n;(x,y) →F(x,y)是連續(xù)可微的,而且滿足條件

其中初值 (x0,y0)∈D, 則方程F(x,y)=0 確定一個(gè)滿足條件y(x0)=y0的隱函數(shù)y=φ(x).

證明由條件 det{Fx(x0,y0)}≠0 (其中 (x0,y0)∈D)知, 存在小的矩陣區(qū)域

使得當(dāng)(x,y)∈Q時(shí), 矩陣Fx(x0,y0)是可逆的.因此函數(shù)

在區(qū)域Q上是連續(xù)的.根據(jù)Peano 定理知, 初值問題

存在一個(gè)局部解y=φ(x),x∈[x0-h,x0+h](h＞ 0).從而

這就證明了F(x,y)=0 至少存在一個(gè)滿足條件y(x0)=y0的隱函數(shù)y=φ(x).

下面再證明隱函數(shù)的唯一性.

設(shè)y=φ1(x)和y=φ2(x)都是方程F(x,y)=0 滿足初始條件y(x0)=y0的隱函數(shù), 則有

其中α＞ 0為適當(dāng)下的常數(shù).另外對(duì)向量函數(shù)F(x,y)的第i個(gè)分量Fi(x,y)應(yīng)用Lagrange 中值公式, 得

其中u(x)=φ2(x) -φ1(x),u j(x)是u(x)的第j個(gè)分量, 而θi(x)滿足不等式

注意, 當(dāng)α充分小時(shí),φ2(x) ≈φ1(x)≈y0, 從而上述線性方程組的系數(shù)矩陣近似于Fy(x0,y0), 所以它是非退化的.因此, 上述線性方程組蘊(yùn)含u(x)=0, 亦即φ2(x)=φ1(x).這就證明了唯一性.

2 結(jié)束語

隱函數(shù)存在定理是數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容和難點(diǎn)內(nèi)容之一, 而Peano 存在性定理是常微分方程解的存在性唯一性定理中的重要基礎(chǔ).本文基于常微分方程理論, 運(yùn)用Peano 存在性定理證明隱函數(shù)存在定理, 證明思想與方法簡單明了, 能開拓學(xué)生的研究視野, 有利于學(xué)生的理解和掌握.