楊振東

(廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 廣西 桂林 541004)

不細(xì)究過程而能對(duì)系統(tǒng)某時(shí)刻的狀態(tài)下結(jié)論，這使得機(jī)械能守恒定律在處理某些慣性系力學(xué)問題時(shí)體現(xiàn)出巨大的優(yōu)越性.而非慣性系中處理同類問題時(shí)，機(jī)械能守恒定律不再適用，無疑減少了解決問題的途徑.考慮到慣性力具有保守力的性質(zhì)[1，2]，可引入慣性力勢(shì)能，將其計(jì)入系統(tǒng)總勢(shì)能中，使機(jī)械能守恒法在非慣性系中繼續(xù)沿用，同時(shí)亦能將涉及勢(shì)能的特殊方法遷移到非慣性系.目前國內(nèi)部分普通物理教材中為慣性離心力引入“離心勢(shì)能”這一概念，但未提到其具體用途與用法.本文舉出其教學(xué)應(yīng)用3例，通過3個(gè)經(jīng)典力學(xué)問題突出離心勢(shì)能的教學(xué)價(jià)值.

1 離心勢(shì)能

力的作用線始終通過某一定點(diǎn)，這樣的力稱為有心力.一般情況下，有心力均為保守力，即滿足×F=0.慣性離心力符合有心力的特點(diǎn)，在特定的參考系下具有保守力的性質(zhì)，因此可類比其他真實(shí)的保守力，引入勢(shì)能的概念，一般稱為離心勢(shì)能.

圖1 勻速旋轉(zhuǎn)平面上一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)至B點(diǎn)

如圖1所示，在一以恒定角速度ω旋轉(zhuǎn)的平面上，質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)移至B點(diǎn).取圓盤作為參考平面，中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，用r表示該質(zhì)點(diǎn)的位置矢量.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，受到的慣性力為科氏力與慣性離心力，其中科氏力與速度方向垂直而不做功.

在極坐標(biāo)系下，將某一變力F分解為徑向分量Fri與橫向分量Fθj，元位移dr分解為徑向分位移dri與橫向分位移(rdθ)j，則該力做功為

對(duì)于慣性離心力而言，其方向恒沿位置矢量，因而Fθ=0.又因慣性離心力為r的函數(shù)，則慣性離心力做功可記為

上式表明，慣性離心力在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)參照系中表現(xiàn)出保守力性質(zhì)，因此可以定義其勢(shì)能.取r=0處為勢(shì)能零點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)參照系中某位置的離心勢(shì)能表達(dá)式為

式中r為該位置到勢(shì)能零點(diǎn)的距離.

2 非慣性系機(jī)械能守恒問題

引入離心勢(shì)能后，機(jī)械能守恒定律的形式在非慣性系便可繼續(xù)沿用.對(duì)于勻速旋轉(zhuǎn)的非慣性系，若質(zhì)點(diǎn)所受外力均為保守力，則該質(zhì)點(diǎn)在系統(tǒng)中的機(jī)械能守恒，表述為

【例1】如圖2所示，一光滑細(xì)桿繞豎直軸以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，桿與豎直軸夾角為θ保持不變.一初始狀態(tài)相對(duì)細(xì)桿靜止的小環(huán)自離地面高h(yuǎn)處沿細(xì)桿下滑，求小環(huán)滑到細(xì)桿下端的速度.

圖2 光滑細(xì)桿繞豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)

方法一：取轉(zhuǎn)動(dòng)的細(xì)桿作為參考系，在小環(huán)下滑的過程中，利用動(dòng)能定理可得，重力做功WG與慣性離心力做功W離之和等于動(dòng)能的增量ΔEk，即

WG+W離=ΔEk

其中

r0=htanθ

解得

由于細(xì)桿下端相對(duì)地面靜止，因而該速度亦是小環(huán)相對(duì)于地面的速度.

解得

對(duì)比以上兩種解法，盡管最終呈現(xiàn)的形式一致，但表達(dá)的物理思想?yún)s不相同.機(jī)械能守恒定律是力學(xué)中一條重要規(guī)律，也是更普遍的能量守恒定律在力學(xué)中的特殊體現(xiàn)，在非慣性系中引入機(jī)械能守恒處理問題，捋清物理方法的邏輯脈絡(luò)，容易使學(xué)生在學(xué)習(xí)中形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，有助于引導(dǎo)學(xué)生從科學(xué)方法層面理解傳統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律.

3 非慣性系諧振問題

【例2】如圖3所示，圓盤繞通過中心O點(diǎn)的豎直軸在水平面內(nèi)以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)量為m的小球被約束在圓盤上的光滑導(dǎo)軌AB內(nèi)運(yùn)動(dòng).小球與一勁度系數(shù)為k的彈簧相連(k>mω2)，彈簧另一端固定在圓盤A點(diǎn).彈簧原長(zhǎng)時(shí)小球位于P點(diǎn)，OP=r0，且OP⊥AB.將小球沿導(dǎo)軌拉開一段距離后釋放.試證明小球做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求圓頻率[3].

圖3 勻速旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)中的機(jī)械振動(dòng)

方法一：在圓盤參考系中建立如圖3所示空間直角坐標(biāo)系，取圓盤中心點(diǎn)作為原點(diǎn)，垂直于導(dǎo)軌方向?yàn)閤軸，x-O-y平面為圓盤面，z軸垂直于盤面.設(shè)小球相對(duì)于圓盤的運(yùn)動(dòng)速度為v，以i,j,k表示x,y,z方向的單位矢量.小球受重力-mgk、導(dǎo)軌作用力N1i+N2k(N1為側(cè)向水平力，N2為支持力)、彈簧彈力-kyj、慣性離心力mω2(r0i+yj)、科氏力-2m(ω×v)=-2mωv(k×j)=2mωvi.根據(jù)小球受力情況，列出其動(dòng)力學(xué)方程

-mgk+N1i+N2k-kyj+

(1)

分成3個(gè)分量式，有

-mg+N2=0

將第3個(gè)分量式整理得，小球在軌道中的動(dòng)力學(xué)微分方程為

(2)

形式與簡(jiǎn)諧振動(dòng)動(dòng)力學(xué)微分方程一致，因此判定該運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，圓頻率為

(3)

方法二：取旋轉(zhuǎn)圓盤為參考系，圓盤中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)小球相對(duì)圓盤的速度為v，系統(tǒng)總機(jī)械能記為E，小球位置矢量記為r，r0則為r在x軸方向的分量，彈簧形變可用y表示.將離心勢(shì)能計(jì)入系統(tǒng)總能量，則小球運(yùn)動(dòng)過程中系統(tǒng)機(jī)械能守恒.取圓盤中心為離心勢(shì)能零點(diǎn)，則物體在任意位置處，均有

(4)

由圖3可知

(5)

式(5)代入式(4)得

則

(6)

兩邊對(duì)時(shí)間微分，注意常量r0微分為零，則

兩邊除以2v得

(7)

因

式(7)整理得

(8)

可見式(8)與第一種方法得出的式(2)完全相同，小球的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，圓頻率為

(9)

對(duì)比兩種方法易見，引入離心勢(shì)能并對(duì)系統(tǒng)總機(jī)械能進(jìn)行微分，所得的圓頻率結(jié)果與方法一完全一致.雖計(jì)算過程更為繁瑣，但思路簡(jiǎn)潔，避免了過多的分析受力過程，且科學(xué)地將物理方法進(jìn)行遷移，為非慣性系的諧振問題重新賦予了機(jī)械能守恒的意義，具有一定的教學(xué)價(jià)值.

4 非慣性系平衡位置討論

【例3】如圖4所示，Ox和Oy分別是支架的水平臂與鉛錘臂，Ox臂繞鉛錘臂以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng).一均勻細(xì)桿的兩端A與B被分別約束在兩臂上運(yùn)動(dòng)，假定約束是理想的，細(xì)桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)為2L.圖中θ表示OC與Oy之間的夾角，C為細(xì)桿質(zhì)心.求細(xì)桿的平衡位置.

圖4 勻速旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)中的平衡性討論

討論平衡類問題，從勢(shì)能角度出發(fā)更為簡(jiǎn)潔[4].涉及勻速旋轉(zhuǎn)的平衡穩(wěn)定性問題，可將離心勢(shì)能計(jì)入系統(tǒng)總勢(shì)能中，通過對(duì)總勢(shì)能求一階導(dǎo)數(shù)來求得平衡位置.

設(shè)細(xì)桿線密度為λ,規(guī)定O點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，Oy軸為離心勢(shì)能零點(diǎn).由題意易得，細(xì)桿重力勢(shì)能為

Ep,G=-mgLcosθ

距離轉(zhuǎn)軸為r處的質(zhì)元dm，其離心勢(shì)能為

整個(gè)細(xì)桿在任意位置的離心勢(shì)能為

將系統(tǒng)總勢(shì)能記為

勢(shì)能曲線取極值處即平衡位置，則上式對(duì)θ求一階導(dǎo)數(shù)并令其結(jié)果為零，得

解得平衡位置為

單個(gè)物體在保守力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能曲線極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位置即為平衡位置.將這一結(jié)論推廣到勻速旋轉(zhuǎn)的非慣性系中，通過引入離心勢(shì)能來沿用這一結(jié)論，對(duì)處理非慣性系中的平衡問題提供了便利.

5 小結(jié)

現(xiàn)行力學(xué)教材中的物理規(guī)律大多建立在慣性系中，將這些規(guī)律移置在非慣性系下進(jìn)行討論，滲透物理思想，重現(xiàn)物理規(guī)律方法建立的過程，使知識(shí)的建立觸及學(xué)生思維層面，才算避免機(jī)械灌輸，達(dá)到有意義學(xué)習(xí).在勻速旋轉(zhuǎn)的參考系中引入離心勢(shì)能，從教學(xué)上說，既是力學(xué)框架下內(nèi)容的補(bǔ)充，又是梳理“機(jī)械能守恒”邏輯脈絡(luò)的機(jī)會(huì).將慣性系中涉及勢(shì)能的規(guī)律推廣到非慣性系中，并借以解決非慣性系力學(xué)問題，是學(xué)生深化理解知識(shí)，進(jìn)行科學(xué)遷移的重要過程.因此，離心勢(shì)能的教學(xué)就應(yīng)注重歸納科學(xué)方法，而不能讓學(xué)生止步于對(duì)公式本身的記憶.