李向富， 李高清， 賈利平， 蔣 剛

(1. 隴東學(xué)院電氣工程學(xué)院， 慶陽(yáng) 745000； 2. 四川大學(xué)原子與分子物理研究所， 成都 610065；3. 四川大學(xué)高能量密度物理及技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 成都 610065)

1 引 言

在等離子體中，離子處在自由電子和帶電離子所產(chǎn)生的勢(shì)場(chǎng)中，使得離子的諸多特性發(fā)生了不同程度的改變，如譜線移動(dòng)、譜線展寬、譜線合并、能級(jí)交叉和電離勢(shì)衰落等. 通過(guò)對(duì)離子這些獨(dú)特性質(zhì)的測(cè)量和計(jì)算可以確定等離子體的密度、溫度和電離度等狀態(tài)參量，為等離子體物理、溫稠密物質(zhì)、沖擊實(shí)驗(yàn)、天體物理、高能量密度物理以及核聚變能源等方面提供科學(xué)指導(dǎo)[1-11].

2 理論方法

對(duì)于包含N個(gè)束縛電子的離子，其狄拉克-庫(kù)侖哈密頓(Dirac-Coulomb Hamiltonian)可以表示為如下的形式：

(1)

上式中第一項(xiàng)表示單個(gè)束縛電子的能量之和，第二項(xiàng)表示束縛電子間的相互作用能. 單電子的HamiltonianHi定義為：

(2)

上式中的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)是束縛電子的相對(duì)論動(dòng)能項(xiàng)，最后一項(xiàng)VP(ri)是束縛電子感受到的等離子體屏蔽勢(shì). 下面我們分別來(lái)介紹德拜模型和自洽場(chǎng)離子球模型所表述的等離子體屏蔽勢(shì).

在德拜模型中，核電荷數(shù)為Z的離子處在原點(diǎn)處，其周?chē)撵o電勢(shì)表達(dá)式為：

(3)

上式中D是德拜屏蔽長(zhǎng)度，其表達(dá)式為：

(4)

(4)式中ne和Te分別表示等離子體中的電子密度和電子溫度.

在自洽場(chǎng)離子球模型(SCFISM)中，假定核電荷數(shù)為Z的離子處在一個(gè)球形空腔中，該空腔中包含Z個(gè)電子，使得整個(gè)球形空腔呈電中性狀態(tài)，此球形空腔稱(chēng)為離子球或者韋格納—塞茨(Winger-Seitz)球. 離子球半徑R0由下式確定：

(5)

上式中nf是平均自由電子密度，N是球內(nèi)束縛電子個(gè)數(shù). 將離子球外面的等離子體視為電中性背景，下面介紹如何求解自洽場(chǎng)離子球模型的屏蔽勢(shì).

核電荷數(shù)為Z的離子、密度分別為nf(r)和nb(r)的自由電子和束縛電子所產(chǎn)生的總電勢(shì)滿足如下的泊松方程[16]：

▽2Vtot=-4π[Zδ(r)-nf(r)-nb(r)]

(6)

束縛電子的密度nb(r)可以用徑向波函數(shù)的大小分量P(r)和Q(r)求得，對(duì)于一個(gè)給定的束縛態(tài)，nb(r)可以用下式表示：

(7)

上式中的qi表示次殼層i上束縛電子的占據(jù)數(shù)，M表示次殼層的個(gè)數(shù). 假定離子球中的自由電子遵循費(fèi)米-狄拉克(Fermi-Dirac)分布，即自由電子密度的定義如下：

(8)

(9)

總電勢(shì)的邊界條件為：

Vtot(r≥R0)=0

(10)

當(dāng)r

Vtot(r)=Z/r+Vf(r)+Vb(r)

(11)

(11)式包括核、自由電子和束縛電子三者對(duì)總電勢(shì)的貢獻(xiàn). 自由電子的電勢(shì)由下式計(jì)算：

(12)

同理，束縛電子的電勢(shì)與自由電子的電勢(shì)相似，其表達(dá)式如下：

(13)

等離子體屏蔽勢(shì)的定義如下：

Vp(r)=Z/r+Vf(r)

(14)

(14)式即是自洽場(chǎng)離子球模型中束縛電子所感受到的有效核勢(shì).

如果電子的溫度較高，以致于自由電子的動(dòng)能完全克服勢(shì)能時(shí)，方程(8)式表明此時(shí)自由電子的密度分布變得與空間位置無(wú)關(guān)，此時(shí)，有效核勢(shì)簡(jiǎn)化為如下的均勻電子氣離子球型( UEGM)：

(15)

因?yàn)殡x子球外面的電勢(shì)為零，故束縛電子可以運(yùn)動(dòng)至離子球外面. 因此，本文中允許束縛電子隧穿至離子球外面，同時(shí)維持了整個(gè)離子球呈電中性狀態(tài)，詳細(xì)討論見(jiàn)我們最近的論文[17]. 我們改進(jìn)后的自洽場(chǎng)離子球模型的徑向波函數(shù)邊界條件和德拜模型的一致，即束縛電子徑向波函數(shù)的大小分量P(r)和Q(r)滿足以下邊界條件和歸一化條件：

X(0)=0,X(∞)=0 (X=P或者Q)

(16)

(17)

本文采用多組態(tài)Dirac-Fock (MCDF)方法[18]描述相對(duì)論效應(yīng)和束縛電子間的關(guān)聯(lián)效應(yīng). 以1s2、1s2p和1s3p為參考組態(tài)，分別將這些參考組態(tài)上的兩個(gè)束縛電子進(jìn)行雙激發(fā)，按主量子數(shù)n逐層擴(kuò)展，并計(jì)算原子結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)，直至所計(jì)算的原子結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)收斂為止. 對(duì)于類(lèi)氦鋁離子，擴(kuò)展至主量子數(shù)n=6即可收斂. 所有的計(jì)算工作均在我們改進(jìn)后的全相對(duì)論原子結(jié)構(gòu)計(jì)算程序GRASP2K[19, 20]上完成.

3 結(jié)果與討論

3.1 不同耦合強(qiáng)度所對(duì)應(yīng)的電子密度和溫度

表1和圖1分別所示的是耦合強(qiáng)度0.5≤?！?.5所對(duì)應(yīng)的類(lèi)氦鋁離子的電子溫度隨電子密度的變化數(shù)據(jù)和曲線. 從圖1中可以看出：在整個(gè)電子密度區(qū)間，電子溫度隨著耦合強(qiáng)度的增大而減小，這是由耦合強(qiáng)度與電子溫度呈反比所導(dǎo)致的. 當(dāng)耦合強(qiáng)度為某一定值時(shí)，電子溫度隨著電子密度的增加而緩慢升高；這是因?yàn)轳詈蠌?qiáng)度等于離子間的庫(kù)侖勢(shì)能與動(dòng)能的比值，隨著電子密度的增加，離子間的庫(kù)侖勢(shì)能則不斷增大，故相應(yīng)的離子動(dòng)能必然增大，則電子溫度不斷升高.

圖1 不同耦合強(qiáng)度所對(duì)應(yīng)的電子溫度隨電子密度的變化. Fig.1 The variations of electron temperature versus electron density corresponding to different coupling strengths.

3.2 1s2p (1P1)原子態(tài)的能級(jí)移動(dòng)

表2和表3分別所示的是用德拜模型和自洽場(chǎng)離子球模型所計(jì)算的不同耦合強(qiáng)度下類(lèi)氦鋁離子1s2p (1P1)原子態(tài)的能級(jí)移動(dòng)量，相應(yīng)的變化曲線見(jiàn)圖2和圖3. 從圖2和圖3中均可以看出：能級(jí)移動(dòng)量隨著耦合強(qiáng)度的增大而增大；這是因?yàn)殡S著耦合強(qiáng)度的增大，等離子體的屏蔽效應(yīng)逐漸增強(qiáng)所致. 從圖2和圖3中還可以看出：當(dāng)耦合強(qiáng)度為一定值時(shí)，能級(jí)移動(dòng)量隨著電子密度的增加而增大；這是因?yàn)楫?dāng)耦合強(qiáng)度為一定值時(shí)，隨著電子密度的增加，電子溫度也逐漸升高，但是等離子體的屏蔽效應(yīng)主要取決于電子密度，電子溫度的影響相對(duì)較小，故能級(jí)移動(dòng)量隨著電子密度的升高而增大. 從圖3中可以看出：基于自洽場(chǎng)離子球模型所計(jì)算的能級(jí)移動(dòng)量隨著耦合強(qiáng)度的減小而逐漸接近于均勻電子氣離子球模型的結(jié)果，這是因?yàn)殡S著耦合強(qiáng)度的減小，對(duì)應(yīng)的電子溫度逐漸升高，電子的空間分布越來(lái)越均勻，自洽場(chǎng)離子球模型的有效核勢(shì)逐漸趨于均勻電子氣離子球模型的有效核勢(shì)，從而引起的能級(jí)移動(dòng)量也逐漸趨于均勻電子氣離子球模型的能級(jí)移動(dòng)量.

表1 不同耦合強(qiáng)度所對(duì)應(yīng)的電子密度nf(cm-3)和電子溫度Te(eV)，數(shù)字0.5、0.6……1.4、1.5分別表示耦合強(qiáng)度的大小，R0表示離子球半徑( a.u.).

Table 1 The electron densitiesnf(cm-3) and electron temperaturesTe(eV) corresponding to different coupling strengths, and the figures 0.5, 0.6 … 1.4, 1.5 represent the values of the coupling strengths, andR0represents the ion sphere radius (a.u.).

R0nf0.50.60.70.80.911.11.21.31.41.512.10121.0(22)5444533883403022722472262091941817.07685.0(22)9307756645815164654223873573323105.61691.0(23)11729768377326515855324884504183903.28485.0(23)2004167014311253111310029118357717156682.80898.0(23)23441953167414651302117210659769018377812.60841.0(24)252421031803157714021262114710519719018412.45461.2(24)2682223519161676149013411219111710319588942.27871.5(24)28892408206418061605144513131204111110329632.14321.8(24)307225602190192017071536139612801181109710242.06962.0(24)318126512272198817671591144613251223113610602.00472.2(24)32842737234620531825164214931368126311731095

表2 用德拜模型所計(jì)算的不同耦合強(qiáng)度下類(lèi)氦鋁離子1s2p (1P1)原子態(tài)的能級(jí)移動(dòng)量(cm-1).

Table 2 The energy level shifts (cm-1) under different coupling strengths of 1s2p (1P1) atomic states for the He-like Al ions are calculated by the Debye model.

nf0.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.0(22)3914695476257037808599381014109211705.0(22)113813651592181820452268249727212948316833901.0(23)180221612518287632313592394642984657500953655.0(23)522262537283830493321035011367123841339314423154198.0(23)71178521991911301126921407615464168481823219597209731.0(24)824698701148513093146981629817900195022108522687242681.2(24)9286111131293114738165431834520143219432374225509272911.5(24)10751128611496417050191422121623302253632744629494315541.8(24)12123145021690319221215682391526257285793092433230355362.0(24)12993155401807920597231162561328120306233312135589380702.2(24)1383616547192462192324599272752992932594352413787040491

圖4對(duì)不同耦合強(qiáng)度下基于德拜模型和自洽場(chǎng)離子球模型所計(jì)算的類(lèi)氦鋁離子1s2p(1P1)原子態(tài)的能級(jí)移動(dòng)量進(jìn)行了比較. 從圖中可以看出：當(dāng)電子密度小于1.0×1023cm-3時(shí)，不同耦合強(qiáng)度下德拜模型和自洽場(chǎng)離子球模型所計(jì)算的能級(jí)移動(dòng)量幾乎是相同的. 但當(dāng)電子密度大于1.0×1023cm-3時(shí)，隨著耦合強(qiáng)度的增大，用德拜模型所計(jì)算的能級(jí)移動(dòng)量由小于自洽場(chǎng)離子球模型所計(jì)算的能級(jí)移動(dòng)量，逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)榇笥谧郧?chǎng)離子球模型所計(jì)算的能量移動(dòng)量；當(dāng)耦合強(qiáng)度Γ=1.1、1.2時(shí)，兩個(gè)模型所計(jì)算的能級(jí)移動(dòng)量符合得很好；當(dāng)耦合強(qiáng)度Γ>1.2時(shí)，德拜模型所計(jì)算的能級(jí)移動(dòng)量大于自洽場(chǎng)離子球模型的能級(jí)移動(dòng)量，但二者的差值相對(duì)較小. 總之，對(duì)于1s2p(1P1)原子態(tài)，當(dāng)耦合強(qiáng)度的值在1.0附近時(shí)，德拜模型和自洽場(chǎng)離子球模型所描述的等離子體屏蔽程度是相當(dāng)?shù)模叨际沁m用的.

表3 用自洽場(chǎng)離子球模型所計(jì)算的不同耦合強(qiáng)度下類(lèi)氦鋁離子1s2p(1P1)原子態(tài)的能級(jí)移動(dòng)量(cm-1)，UEGM表示用均勻電子氣離子球模型所計(jì)算的能級(jí)移動(dòng)量.

Table 3 The energy level shifts (cm-1) under different coupling strengths of 1s2p (1P1) atomic states for the He-like Al ions are calculated by the self-consistent-field-ion-sphere-model, and UEGM represents the energy level shifts calculated by the uniform-electron-gas-ion-sphere-model.

nfUEGM0.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.0(22)1202232362482592702802903673073163245.0(22)6389549981079107811151149118412161247127613051.0(23)1286180018731981200620682128218522392292234323935.0(23)64858012827584969005923994629616975396499899100688.0(23)1037412453127691306813835139821422714454146611485015096153381.0(24)1291515270156311605216798171191741817696178891811818412187771.2(24)1539217962184621893520139205412091820831210742128421692220231.5(24)1886921843223582294124348248262527325637260292570226098265691.8(24)2197425138257542637427430278962838228782291452955130006304512.0(24)2374926951275772822729374299343040630845312503162132113325942.2(24)253152840929138298323097931524320323256033001334043392834440

圖2 基于德拜模型所計(jì)算的類(lèi)氦鋁離子1s2p(1P1)原子態(tài)的能級(jí)移動(dòng)量隨電子密度和耦合強(qiáng)度的變化. Fig.2 The energy level shifts calculated by the Debye model of 1s2p(1P1) atomic states for the He-like Al ions change with the electron densities and coupling strengths.

圖3 基于自洽場(chǎng)離子球模型所計(jì)算的類(lèi)氦鋁離子1s2p(1P1)原子態(tài)的能級(jí)移動(dòng)量隨電子密度和耦合強(qiáng)度的變化. Fig.3 The energy level shifts calculated by the self-consistent-field-ion-sphere-model of 1s2p(1P1) atomic states for the He-like Al ions change with the electron densities and coupling strengths.

圖4 基于德拜模型和自洽場(chǎng)離子球模型所計(jì)算的類(lèi)氦鋁離子1s2p(1P1)原子態(tài)的能級(jí)移動(dòng)量的比較Fig.4 Comparison of the energy level shifts calculated by the Debye model of 1s2p(1P1) atomic states for the He-like Al ions with those by the self-consistent-field-ion-sphere-model.

3.3 1s3p(1P1)原子態(tài)的能級(jí)移動(dòng)

表4和表5分別所示的是用德拜模型和自洽場(chǎng)離子球模型所計(jì)算的不同耦合強(qiáng)度下類(lèi)氦鋁離子1s3p (1P1)原子態(tài)的能級(jí)移動(dòng)量，相應(yīng)的變化曲線見(jiàn)圖5和圖6. 從圖5和圖6中均可以看出：對(duì)于1s3p (1P1)原子態(tài)，其能級(jí)移動(dòng)量隨耦合強(qiáng)度的變化趨勢(shì)與1s2p (1P1)原子態(tài)的相似，即也隨著耦合強(qiáng)度的增大而增大，當(dāng)耦合強(qiáng)度為一定值時(shí)，能級(jí)移動(dòng)量隨著電子密度的增加而增大；基于自洽場(chǎng)離子球模型所計(jì)算的能級(jí)移動(dòng)量隨著耦合強(qiáng)度的減小而逐漸接近于均勻電子氣離子球模型的結(jié)果.

當(dāng)耦合強(qiáng)度為1.0時(shí)，圖7對(duì)采用德拜模型和自洽場(chǎng)離子球模型所計(jì)算的類(lèi)氦鋁離子1s3p(1P1)原子態(tài)的能級(jí)移動(dòng)量隨電子密度的變化趨勢(shì)做了比較. 從圖中可以看出：當(dāng)電子密度小于1.0×1023cm-3時(shí)，德拜模型和自洽場(chǎng)離子球模型所計(jì)算的能級(jí)移動(dòng)量互相符合得很好；但當(dāng)電子密度大于1.0×1023cm-3時(shí)，德拜模型所計(jì)算的能級(jí)移動(dòng)量始終小于自洽場(chǎng)離子球模型所計(jì)算的能級(jí)移動(dòng)量，且隨著電子密度的升高，二者的差值逐漸增大. 另外，當(dāng)耦合強(qiáng)度在Γ=0.5～1.5(?！?.0)區(qū)間時(shí)，德拜模型和自洽場(chǎng)離子球模型所計(jì)算的能級(jí)移動(dòng)量隨電子密度的變化趨勢(shì)與Γ=1.0的完全相似，故不再贅述. 總之，對(duì)于1s3p(1P1)原子態(tài)，當(dāng)耦合強(qiáng)度的值在1.0附近且電子密度小于1.0×1023cm-3時(shí)，德拜模型和自洽場(chǎng)離子球模型所描述的等離子體屏蔽強(qiáng)度是相當(dāng)?shù)?；但?dāng)電子密度大于1.0×1023cm-3時(shí)，德拜模型所描述的等離子體屏蔽強(qiáng)度偏低，須用自洽場(chǎng)離子球模型描述等離子體的屏蔽效應(yīng).

表4 用德拜模型所計(jì)算的不同耦合強(qiáng)度下類(lèi)氦鋁離子1s3p (1P1)原子態(tài)的能級(jí)移動(dòng)量(cm-1).

Table 4 The energy level shifts (cm-1) under different coupling strengths of 1s3p (1P1) atomic states for the He-like Al ions are calculated by the Debye model.

nf0.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.0(22)120714471688192521652402264228853117335635945.0(22)3498418948815569626069367631831089959660103331.0(23)552166137693877898501094012008130691414815208162755.0(23)15846189352201425054281133113134143371494012743161460898.0(23)21517257012985433925380374211446198502575433658326623381.0(24)24882297113449539218439454864553340580246266567329719261.2(24)27977333933876344063493655464259895651417039875526806891.5(24)32322385584475250850569726302569096750808113587057929961.8(24)363784339250444572036404970877776718438991183978251044502.0(24)3894646444538886121868553758058306190291975101046031117182.2(24)4143349398573006508272862806188828995970103604111145118647

表5 用自洽場(chǎng)離子球模型所計(jì)算的不同耦合強(qiáng)度下類(lèi)氦鋁離子1s3p(1P1)原子態(tài)的能級(jí)移動(dòng)量(cm-1)，UEGM表示用均勻電子氣離子球模型所計(jì)算的能級(jí)移動(dòng)量.

Table 5 The energy level shifts (cm-1) under different coupling strengths of 1s3p (1P1) atomic states for the He-like Al ions are calculated by the self-consistent-field-ion-sphere-model, and UEGM represents the energy level shifts calculated by the uniform-electron-gas-model.

nfUEGM0.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.0(22)789128413481407146415181568161817341710175417975.0(22)4162560558146052620063816551671968787033718073241.0(23)839810690110331139611668119631225212526127901304913297135415.0(23)4312749610506695165452807537485464855462562385685257720584738.0(23)7027178958803508168283728845368571186842879318897390044911001.0(24)88907988261004261020331039121053391067091080341092481104541117181130181.2(24)1081521191771210641228691252201268591284381296631310561323821338631352541.5(24)1380971507691528831550031577281596401614711631951648981660451676901693901.8(24)1698061838721862901886701913451934361955051974511993112011892030602048902.0(24)1915922064852090472115612144652167732189392210422230732250182270322290132.2(24)214414230012232807235493238509240928243263245562247742249830251993254099

圖6 基于自洽場(chǎng)離子球模型所計(jì)算的類(lèi)氦鋁離子1s3p(1P1)原子態(tài)的能級(jí)移動(dòng)量隨電子密度和耦合強(qiáng)度的變化. Fig.6 The energy level shifts calculated by the self-consistent-field-ion-sphere-model of 1s3p(1P1) atomic states for the He-like Al ions change with the electron densities and coupling strengths.

圖7 當(dāng)耦合強(qiáng)度為1.0時(shí)，采用德拜模型和自洽場(chǎng)離子球模型所計(jì)算的類(lèi)氦鋁離子1s3p(1P1)原子態(tài)的能級(jí)移動(dòng)量的比較. Fig.7 Comparison of the energy level shifts calculated by the Debye model of 1s3p(1P1) atomic states for the He-like Al ions with those by the self-consistent-field-ion-sphere-model, when the coupling strength is equal to 1.0.

4 結(jié) 論

本文分別采用德拜模型和自洽場(chǎng)離子球模型計(jì)算了類(lèi)氦鋁離子1snp [n=2-3] (1P1)原子態(tài)的能級(jí)移動(dòng)量隨電子密度的變化規(guī)律，并對(duì)二者所計(jì)算的能級(jí)移動(dòng)量進(jìn)行了比較. 結(jié)果表明：能級(jí)移動(dòng)量隨著耦合強(qiáng)度的增大而增大；當(dāng)耦合強(qiáng)度為一定值時(shí)，能級(jí)移動(dòng)量隨著電子密度的升高而增大；基于自洽場(chǎng)離子球模型所計(jì)算的能級(jí)移動(dòng)量隨著耦合強(qiáng)度的減小而逐漸接近于均勻電子氣離子球模型的結(jié)果. 當(dāng)電子密度小于1.0×1023cm-3時(shí)，不同耦合強(qiáng)度下自洽場(chǎng)離子球模型和德拜模型所計(jì)算的能級(jí)移動(dòng)量幾乎是相同的. 對(duì)于1s2p (1P1)原子態(tài)而言，當(dāng)電子密度大于1.0×1023cm-3時(shí)，隨著耦合強(qiáng)度的增大，用德拜模型所計(jì)算的能級(jí)移動(dòng)量由小于自洽場(chǎng)離子球模型所計(jì)算的能級(jí)移動(dòng)量，逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)榇笥谧郧?chǎng)離子球模型所計(jì)算的能量移動(dòng)量；當(dāng)耦合強(qiáng)度Γ=1.1、1.2時(shí)，這兩個(gè)模型所計(jì)算的能級(jí)移動(dòng)量符合得很好；當(dāng)耦合強(qiáng)度Γ>1.2時(shí)，德拜模型所計(jì)算的能級(jí)移動(dòng)量大于離子球模型的能級(jí)移動(dòng)量，但二者的差值相對(duì)較小. 對(duì)于1s3p (1P1)原子態(tài)而言，當(dāng)電子密度大于1.0×1023cm-3時(shí)，德拜模型所計(jì)算的能級(jí)移動(dòng)量始終小于自洽場(chǎng)離子球模型所計(jì)算的能級(jí)移動(dòng)量，且隨著電子密度的升高，二者的差值逐漸增大.

總之，對(duì)于等離子體中的類(lèi)氦鋁離子的1s2p(1P1)原子態(tài)，當(dāng)耦合強(qiáng)度的值在1.0附近時(shí)，德拜模型和自洽場(chǎng)離子球模型所描述的等離子體屏蔽程度是相當(dāng)?shù)模叨际沁m用的. 對(duì)于1s3p(1P1)原子態(tài)，當(dāng)耦合強(qiáng)度的值在1.0附近且電子密度小于1.0×1023cm-3時(shí)，德拜模型和自洽場(chǎng)離子球模型所描述的等離子體屏蔽強(qiáng)度是相近的；但當(dāng)電子密度大于1.0×1023cm-3時(shí)，德拜模型所描述的等離子體屏蔽強(qiáng)度偏低；因此，對(duì)于1s3p(1P1)原子態(tài)，須用自洽場(chǎng)離子球模型描述等離子體的屏蔽效應(yīng).