蔣詩(shī)泉，劉思峰，劉中俠

(1.銅陵學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，安徽 銅陵 244000；2.南京航空航天大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，江蘇 南京 210016)

一、引 言

自從Zadeh于1965年提出模糊集理論以來(lái)，該理論在各個(gè)領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用[1]。Atanassov等拓展了傳統(tǒng)的模糊集理論，提出直覺(jué)模糊集(intuitionstic fuzzy set，IFS)和區(qū)間直覺(jué)模糊集[2]。隨著對(duì)直覺(jué)模糊集理論研究的深入，成果越來(lái)越豐碩。廖虎昌等對(duì)直覺(jué)模糊信息的集成理論進(jìn)行了系統(tǒng)研究，其研究成果在多屬性決策問(wèn)題中得到廣泛應(yīng)用[3-4]。隨著理論研究和應(yīng)用研究不斷擴(kuò)展，學(xué)者們提出了猶豫模糊集(Hesitant fuzzy set，HFS)和區(qū)間猶豫模糊集(Interval hesitant fuzzy set，IVHFS)[5]?；依碚撝饕浴安糠中畔⒁阎糠中畔⑽粗钡摹吧贁?shù)據(jù)、貧信息”不確定性系統(tǒng)為研究對(duì)象[6]。由于實(shí)際問(wèn)題的背景、獲取信息手段和方法等具有復(fù)雜性，所以獲取信息同時(shí)包含模糊性和灰性等復(fù)雜不確定性。為此有研究者試圖將灰理論與模糊理論進(jìn)行有機(jī)融合與集成。現(xiàn)有研究集中在兩個(gè)方面：一是直覺(jué)模糊理論與灰色關(guān)聯(lián)度模型有機(jī)集成構(gòu)建決策模型，劉勇等構(gòu)建了一種動(dòng)態(tài)的區(qū)間直覺(jué)模糊數(shù)的灰色關(guān)聯(lián)度決策模型，李鵬等針對(duì)決策信息為直覺(jué)模糊數(shù)時(shí)，提出一種基于灰色關(guān)聯(lián)分析和MYCIN不確定因子灰色直覺(jué)模糊的決策方法[7-8]。Zhang提出了一種基于梯形直覺(jué)模糊數(shù)的灰色關(guān)聯(lián)投影決策方法[9]。二是將直覺(jué)模糊理論與灰色預(yù)測(cè)和灰色聚類(lèi)模型進(jìn)行集成，向鵬成等將直覺(jué)模糊層次分析法和灰色聚類(lèi)方法結(jié)合，提出基于灰色直覺(jué)模糊層次分析法的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)模型[10]。李鵬等基于灰數(shù)“核”與“灰度”的內(nèi)涵，將直覺(jué)模糊數(shù)的猶豫度和記分函數(shù)結(jié)合構(gòu)建了直覺(jué)模糊數(shù)序列GM(1，1)預(yù)測(cè)模型，從而實(shí)現(xiàn)了直覺(jué)模糊數(shù)的預(yù)測(cè)[11]。這些研究不但不成體系而且處于初級(jí)階段，沒(méi)有實(shí)現(xiàn)理論的深度融合，很多理論有待進(jìn)一步探究。在實(shí)際決策問(wèn)題中猶豫模糊信息、灰信息和模糊信息往往相互滲透，很難準(zhǔn)確界定。為此，Li等提出了灰色猶豫模糊集，把灰集看作是灰色猶豫模糊集的一個(gè)拓展[12]。由于信息受多源因素的影響，常表現(xiàn)為復(fù)雜不確定性，為精確描述復(fù)雜不確定信息，劉思峰教授提出了一般灰數(shù)的概念，從而解決復(fù)雜信息的準(zhǔn)確表征問(wèn)題，但是由于一般灰數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，所以其運(yùn)算法則、距離測(cè)度和排序等問(wèn)題都沒(méi)有得到很好的解決[13]。也有學(xué)者基于灰數(shù)的內(nèi)涵和產(chǎn)生的背景，構(gòu)建了一般灰數(shù)距離測(cè)度公式及相應(yīng)的決策模型[14-16]。為有效克服一般灰數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)沒(méi)有被滿意解決這一現(xiàn)狀，本文試圖規(guī)避一般灰數(shù)的運(yùn)算，利用灰數(shù)可能度函數(shù)和模糊集成理論等方法，定義直覺(jué)灰數(shù)(intuitionstic grey number，IGN)和直覺(jué)灰數(shù)集(intuitionstic grey set，IGS)，將一般灰數(shù)中每個(gè)小區(qū)間灰數(shù)用一個(gè)直覺(jué)灰數(shù)來(lái)表征，一般灰數(shù)就被等值轉(zhuǎn)換為一個(gè)直覺(jué)灰數(shù)集。為此，本文定義了兩個(gè)直覺(jué)灰數(shù)集之間的運(yùn)算，以便實(shí)現(xiàn)一般灰數(shù)運(yùn)算的轉(zhuǎn)換，在此基礎(chǔ)上分析了直覺(jué)灰數(shù)的運(yùn)算法則、集成算子、距離測(cè)度等內(nèi)容。最后，利用一個(gè)實(shí)際決策案例，通過(guò)方法比較，驗(yàn)證了該方法的科學(xué)性、合理性和可行性。

二、一般灰數(shù)及直覺(jué)灰數(shù)基本理論

定義4：用來(lái)描述一個(gè)灰數(shù)取某一數(shù)值的“可能性”，或某一具體數(shù)值為灰數(shù)真值的“可能性”的連續(xù)函數(shù)稱為灰數(shù)可能度函數(shù)。其中，取某個(gè)值的可能性大小習(xí)慣記為P(?i)，常用一個(gè)規(guī)定起點(diǎn)、終點(diǎn)確定左升、右降的連續(xù)函數(shù)為典型可能度函數(shù)。

在實(shí)踐運(yùn)用時(shí)，為了編程和計(jì)算方便，多數(shù)情況下L(x)和R(x)簡(jiǎn)化為直線方程，所以其典型灰數(shù)可能度函數(shù)如圖1所示：

圖1 典型灰數(shù)可能度函數(shù)

其一般的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

定義5建立了一般灰數(shù)與一個(gè)直覺(jué)灰數(shù)集等值轉(zhuǎn)換的方法，也表明可以將直覺(jué)灰數(shù)看作一般直覺(jué)模糊數(shù)的擴(kuò)展，直覺(jué)灰數(shù)集理論也是一般直覺(jué)模糊理論的拓展。從而實(shí)現(xiàn)了灰理論與模糊理論的有機(jī)融合，利用灰理論來(lái)解決模糊理論中“少數(shù)據(jù)、貧信息”的不確定性問(wèn)題。

三、直覺(jué)灰數(shù)的運(yùn)算法則與集成算子理論

利用t-conorm公式Sp(x1，x2)=x1+x2-x1x2和t-norm公式Tp(y1，y2)=y1y2具有單調(diào)遞增性有界性等和灰數(shù)的灰度不減原則，定義直覺(jué)灰數(shù)的運(yùn)算法則與直覺(jué)灰數(shù)的集成算法理論。

定義6：設(shè)α=(P(?i)，go(?i))，α1=(P(?1)，go(?1))，α2=(P(?2)，go(?2))為直覺(jué)灰數(shù)，則

1.α1∩α2=(min(P(?1)，P(?2))，max(go(?1)，go(?2))

2.α1∪α2=(max(P(?1)，P(?2))，max(go(?1)，go(?2))

3.α1⊕α2=(P(?1)+P(?2)-P(?1)P(?2)，go(?1)go(?2))

4.α1×α2=(P(?1)·P(?2)，go(?1)+go(?2)-go(?1)·go(?2))

5.λα=(1-(1-P(?))λ，go(?)λ)，λ>0

6.αλ=(P(?)λ，1-(1-go(?))λ)，λ>0

定理2：經(jīng)過(guò)由IGWA的算子作用后的直覺(jué)灰數(shù)滿足廣義灰度不減公理。

四、基于直覺(jué)灰數(shù)集的一般灰數(shù)距離測(cè)度

通過(guò)定義5實(shí)現(xiàn)一般灰數(shù)與直覺(jué)灰數(shù)集之間的等值轉(zhuǎn)換，以此為基礎(chǔ)定義一般灰數(shù)間的距離測(cè)度的一般性公式。

證明：(略)。

五、基于直覺(jué)灰數(shù)集的灰色多屬性決策方法步驟

在一般灰數(shù)代數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)還沒(méi)有滿意解決的前提下，通過(guò)把一般灰數(shù)等值轉(zhuǎn)換為直覺(jué)灰數(shù)集，實(shí)現(xiàn)科學(xué)決策，提高決策的精準(zhǔn)度。同時(shí)，該方法可以規(guī)避一般灰數(shù)間比較和指標(biāo)規(guī)范化處理等運(yùn)算問(wèn)題。

STEP1：基于灰數(shù)可能度函數(shù)構(gòu)造原理，并結(jié)合實(shí)際問(wèn)題背景，構(gòu)建灰數(shù)可能度函數(shù)；

STEP2：將一般灰數(shù)表征的決策信息等值轉(zhuǎn)換為含直覺(jué)灰數(shù)的直覺(jué)灰數(shù)集表征；

STEP3：將每個(gè)屬性指標(biāo)的直覺(jué)灰數(shù)集轉(zhuǎn)換為一個(gè)直覺(jué)灰數(shù)；

STEP4：求出最優(yōu)理想方案及相應(yīng)各屬性的直覺(jué)灰數(shù)值；

STEP5：求每個(gè)方案與最優(yōu)理想方案的距離，并進(jìn)行排序，距離值越小，方案越優(yōu)。

六、應(yīng)用案例分析

隨著人們對(duì)物質(zhì)生活和健康的意識(shí)提升，老年保健品生產(chǎn)企業(yè)現(xiàn)有產(chǎn)品功能已經(jīng)不能滿足中老年人群需求，出現(xiàn)了難于銷(xiāo)售，經(jīng)濟(jì)效益下降等現(xiàn)象，經(jīng)公司高層研究決定，擬準(zhǔn)備研發(fā)功能齊全的保健品，在產(chǎn)品研發(fā)之前，首先，公司確定由市場(chǎng)部進(jìn)行研發(fā)前的市場(chǎng)前期調(diào)研。為了保證調(diào)研數(shù)據(jù)真實(shí)性，分兩隊(duì)人員對(duì)擬開(kāi)發(fā)的三種類(lèi)型產(chǎn)品進(jìn)行獨(dú)立前期調(diào)研。其次，組成專(zhuān)家論證組將兩隊(duì)調(diào)研結(jié)果進(jìn)行綜合分析后。最后，用產(chǎn)品銷(xiāo)售量、產(chǎn)品市場(chǎng)占有率、產(chǎn)品開(kāi)發(fā)成本三個(gè)指標(biāo)對(duì)三種類(lèi)型產(chǎn)品進(jìn)行評(píng)價(jià)，根據(jù)評(píng)價(jià)排序結(jié)果，選擇一種產(chǎn)品進(jìn)行投資。由于不同調(diào)研隊(duì)對(duì)同一指標(biāo)所獲得結(jié)果不一致，為了精確地表達(dá)這些決策信息，本文采用一般灰數(shù)將其信息表征出來(lái)。為了簡(jiǎn)化起見(jiàn)，將案例簡(jiǎn)述為：一家企業(yè)，現(xiàn)要在這三種產(chǎn)品A1，A2，A3中選擇一種產(chǎn)品進(jìn)行開(kāi)發(fā)投資，其評(píng)價(jià)指標(biāo)分別為：S1表示產(chǎn)品銷(xiāo)售量，S2表示產(chǎn)品市場(chǎng)占有率，S3表示產(chǎn)品開(kāi)發(fā)成本，指標(biāo)權(quán)重為W=(w1，w2，w3)，經(jīng)專(zhuān)家評(píng)價(jià)三個(gè)指標(biāo)的權(quán)重范圍為w1∈[0.2，0.4]，w2∈[0.2，0.5]，w3∈[0.1，0.3]，具體指標(biāo)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1，三個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)的討論域分別是[0，20]，[5，25]，[80，130]。分析該企業(yè)如何在這三個(gè)產(chǎn)品中選擇一款產(chǎn)品進(jìn)行開(kāi)發(fā)投資。

表1 決策矩陣

STEP1：根據(jù)本問(wèn)題的實(shí)際情況，結(jié)合可能度函數(shù)的構(gòu)造原理，通過(guò)多輪專(zhuān)家討論，確定三個(gè)屬性指標(biāo)的可能度函數(shù)分別為：

STEP2：將方案的每個(gè)指標(biāo)的一般灰數(shù)值轉(zhuǎn)換為直覺(jué)灰數(shù)集。

項(xiàng)目(方案)A1中的S1={〈0.916，0.1〉，〈0.833，0.1〉}，S2={〈0.938，0.05〉，〈0.889，0.1〉}，S3={〈0.934，0.06〉，〈0.7，0.1〉}；

項(xiàng)目(方案)A2中的S1={〈0.75，0.1〉，〈1，0.1〉}，S2={〈0.75，0.1〉，〈0.909，0.1〉}，S3={〈0.652，0.2〉，〈0.9，0.1〉}；

項(xiàng)目(方案)A3中的S1={〈0.792，0.15〉，〈0.833，0.1〉}，S2={〈0.75，0.1〉，〈0.818，0.1〉}，S3={〈0.435，0.2〉，〈0.913，0.12〉}。

項(xiàng)目A1的各屬性集成為直覺(jué)灰數(shù)分別為：

S1=〈0.916，0.1〉⊕〈0.833，0.1〉=〈0.882，0.099〉，S2=〈0.938，0.05〉⊕〈0.889，0.1〉=〈0.917，0.071〉，S3=〈0.934，0.06〉⊕〈0.7，0.1〉=〈0.896，0.077〉。

類(lèi)似地，項(xiàng)目A2中的各屬性集成為直覺(jué)灰數(shù)分別為：

S1=〈0.5，0.099〉，S2=〈0.849，0.099〉，S3=〈0.814，0.099〉。

項(xiàng)目A3中的各屬性集成為直覺(jué)灰數(shù)分別為：

S1=〈0.814，0.122〉，S2=〈0.787，0.099〉，S3=〈0.902，0.155〉。

將各方案指標(biāo)屬性的直覺(jué)灰數(shù)值用一個(gè)矩陣表示，詳見(jiàn)表2。

表2 集成直覺(jué)灰數(shù)信息矩陣

STEP4：求出理想方案及相應(yīng)各屬性的直覺(jué)灰數(shù)值。按照可能度值取最大，灰度值取最小確定理想方案，并記為A+。

A+=(〈0.882，0.099〉，〈0.917，0.071〉，〈0.902，0.077〉)

STEP5：求每個(gè)方案與理想方案的Euclidean距離，把每個(gè)方案的所有指標(biāo)屬性的直覺(jué)灰數(shù)值看作一個(gè)直覺(jué)灰數(shù)集，利用直覺(jué)灰數(shù)集之間的Euclidean距離公式進(jìn)行計(jì)算，即

計(jì)算各方案與理想方案的距離：

同理，可以計(jì)算出d(A+，A2)=0.162 1；d(A+，A3)=0.069 4。按照與理想的距離對(duì)各方案進(jìn)行排序?yàn)椋篈1?A3?A2。

為了說(shuō)明該方法的科學(xué)性和合理性，本文利用劉中俠等人的廣義灰數(shù)的雙向投影灰靶決策方法對(duì)方案也進(jìn)行排序選優(yōu)。他們的方法排序?yàn)锳1?A2?A3，本文中利用各備選方案與理想之間的距離排序?yàn)锳1?A3?A2。本文與劉中俠等人研究中排序不完全一致，但是兩種方法的最優(yōu)方案是完全一致的。他們是以基于“核”與“灰度”，構(gòu)建一般灰數(shù)距離及的運(yùn)算規(guī)則。本文是基于灰數(shù)“核”的可能度函數(shù)和“灰度”理論，構(gòu)建直覺(jué)灰數(shù)和直覺(jué)灰數(shù)集，計(jì)算各方案與理想方案的距離并按距離進(jìn)行排序，避免了一般灰數(shù)的運(yùn)算[16]。

七、結(jié)論及啟示

復(fù)雜不確定性問(wèn)題的研究是灰色理論研究的熱點(diǎn)領(lǐng)域，主要包括復(fù)雜不確定信息的表征、復(fù)雜不確定信息的運(yùn)算、灰色不確定信息下的建模技術(shù)、幾類(lèi)不確定性理論的深度融合等問(wèn)題。本文將灰理論與模糊理論兩個(gè)不確性理論進(jìn)行融合研究，將灰數(shù)“核”的可能度函數(shù)與“灰度”的理論和直覺(jué)模糊理論與集成理論進(jìn)行深度融合，構(gòu)建直覺(jué)灰數(shù)和直覺(jué)灰數(shù)集，并構(gòu)建一般灰數(shù)與直覺(jué)灰數(shù)集等值轉(zhuǎn)換的方法、直覺(jué)灰數(shù)的運(yùn)算法則、直覺(jué)灰數(shù)的集成算子、距離測(cè)度等內(nèi)容。在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了基于直覺(jué)灰數(shù)的灰色多屬性決策模型及決策步驟，并利用一個(gè)實(shí)際應(yīng)用案例驗(yàn)證了該決策模型可行性與合理性。本文中直覺(jué)灰數(shù)(集)理論既能利用一般灰數(shù)在信息表征上的優(yōu)點(diǎn)，又規(guī)避一般灰數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)不完善所產(chǎn)生的計(jì)算誤差和信息丟失等問(wèn)題，為研究一般灰數(shù)信息下決策、預(yù)測(cè)、控制、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、聚類(lèi)評(píng)估、博弈等模型提拱了一個(gè)全新研究視角。