劉 勇 沈 婕 傅 劍

2019 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）試卷（以下簡(jiǎn)稱“2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷”）以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》為依據(jù)，以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 版）》（以下簡(jiǎn)稱“《新課標(biāo)》”）為參考，堅(jiān)持能力立意的指導(dǎo)思想，將數(shù)學(xué)必備知識(shí)、關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查融為一體，試題設(shè)計(jì)注重基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性相互融合，充分考查了學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，充分考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平，也考查了學(xué)生發(fā)現(xiàn)提出問題和分析解決問題的能力。2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷保持了以往的框架結(jié)構(gòu)，突出主干知識(shí)與通性通法的考查，突出關(guān)聯(lián)情境的創(chuàng)設(shè)，突出源于教材的命題特點(diǎn)?？己髷?shù)據(jù)顯示，試卷難度為0.71，區(qū)分度為0.51，ALF 系數(shù)為0.86，試卷總體難度適當(dāng)且保持穩(wěn)定，具有較高的區(qū)分度和信度。采用安戈夫法，將考生分為精通水平（G4 組）、熟練水平（G3 組），基本水平（G2 組）以及基本水平以下（G1 組）四組，其分?jǐn)?shù)段分別為128-150 分、106-127 分、84-105 分、84 分以下；全體考生記為G5 組。

一、試卷特點(diǎn)分析

（一）突出數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查

2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷以高中數(shù)學(xué)內(nèi)容為主線，對(duì)高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)進(jìn)行了考查，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式、三角函數(shù)、概率、立體幾何、解析幾何等主干知識(shí)保持了較高的比例，既突出了基礎(chǔ)性，又達(dá)到了必要的深度。從試題的解題方法上看，全面考查了基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，引導(dǎo)教學(xué)要夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)、提高基本技能、提煉通性通法。

（二）突出數(shù)學(xué)思想方法的考查

試卷體現(xiàn)了基礎(chǔ)知識(shí)與思想方法相融合解決問題的特點(diǎn)。例如，第2 題關(guān)于線性規(guī)劃、第5 題關(guān)于雙曲線與拋物線、第8 題關(guān)于分段函數(shù)、第14 題關(guān)于平面向量、第18 題關(guān)于直線與橢圓，考查了數(shù)形結(jié)合思想；第10 題關(guān)于二項(xiàng)式展開式、第12 題關(guān)于參數(shù)方程、第17 題第（III）問關(guān)于求空間線段長(zhǎng)、第19 題關(guān)于數(shù)列的通項(xiàng)，考查了方程思想；第8 題考查了分類討論思想；第20 題考查了函數(shù)思想及轉(zhuǎn)化與化歸思想。這一特點(diǎn)引導(dǎo)了教學(xué)要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的提煉、總結(jié)與應(yīng)用，提高學(xué)生從數(shù)學(xué)思想方法的維度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力。

（三）突出基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查

試卷立足于學(xué)生較為熟悉的題型和方法，突出了對(duì)于學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查。試卷題目情境學(xué)生較為熟悉，有些題目是將教材中的例題、練習(xí)、習(xí)題、復(fù)習(xí)參考題融合、嫁接而成的，例如第1、2、3、6、7、9、10、11、12、15 題；有些題目是學(xué)生常用的解題方法的整合，例如第13、14、18、19 題；另外有些題目涉及的知識(shí)點(diǎn)與以往試卷具有較高的相似度。這說明學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與答題效果有著密切的關(guān)系。這一特點(diǎn)引導(dǎo)了教學(xué)中要注重幫助學(xué)生總結(jié)、積累、應(yīng)用和反思基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)要重視研究教材的學(xué)習(xí)功能，挖掘教材資源的多用價(jià)值。

（四）突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查

試卷以設(shè)計(jì)關(guān)聯(lián)情境為載體，全面考查了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的水平。試卷通過設(shè)計(jì)一些新情境，考查學(xué)生選擇和應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決問題的能力，從而考查出學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平。 例如第20題，需要考生從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系中抽象出概念之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律做出新的判斷，并用數(shù)學(xué)語言予以表征。試卷通過所設(shè)置的問題，考查了考生在探索與表達(dá)過程中重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的理性思維能力，體現(xiàn)了對(duì)邏輯推理素養(yǎng)的考查。再如第17 題證明線面平行、第20 題證明不等關(guān)系，均需要考生通過對(duì)條件與結(jié)論的分析，探索論證思路，選擇合適的論證方法和準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言予以證明。數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析的考查主要以第16 題為載體，考查了二項(xiàng)分布在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查了考生在實(shí)際問題情境中從數(shù)學(xué)視角發(fā)現(xiàn)問題和分析問題的能力，以及從數(shù)據(jù)中提取信息，運(yùn)用概率模型解決問題的能力。數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查貫穿試卷始終，既考查了學(xué)生對(duì)運(yùn)算對(duì)象的理解、運(yùn)算思路的探究、運(yùn)算方法的選擇能力，也考查了學(xué)生思維能力與運(yùn)算技能相結(jié)合的能力。例如第18 題，需要考生結(jié)合橢圓與直線的幾何特征，尋找和設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑。試卷以立體幾何、平面向量、解析幾何、函數(shù)的圖象等內(nèi)容為載體，考查了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)?？忌诮忸}中要利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系。這一特點(diǎn)引導(dǎo)了教學(xué)要將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿始終，不僅要重視如何教，更要重視如何學(xué)。

二、學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的過程及表現(xiàn)

（一）義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的整體水平分析

學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展不是一蹴而就的，它是從小學(xué)到高中逐步積累和連續(xù)發(fā)展的過程。義務(wù)教育階段通過設(shè)置“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”這四部分課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展到一定程度。例如：①在數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)方面，初中畢業(yè)生能從問題中抽象出數(shù)量關(guān)系，能根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行加減乘除、乘方、開方的運(yùn)算，能解較為簡(jiǎn)單的方程（組）和不等式，初步理解了運(yùn)算算理，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的估算，能嘗試尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑。但他們?nèi)狈?duì)含有字母的代數(shù)運(yùn)算程序的設(shè)計(jì)能力，不能駕馭較復(fù)雜的含有字母的運(yùn)算。②在直觀想象素養(yǎng)方面，初中畢業(yè)生能借助幾何直觀把較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，特別是能夠運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解決一次函數(shù)、反比例函數(shù)及二次函數(shù)的相關(guān)問題。此外，他們也具備了根據(jù)物體抽象出幾何圖形的能力，具有識(shí)別、畫出和想象簡(jiǎn)單的平面及立體圖形的能力，能夠解決一些圖形變化問題，能夠分析平面圖形中元素的相關(guān)關(guān)系。但通過圖形探索解決問題的思路較為狹隘，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解并不透徹，用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)分析圖形的能力欠缺，還不能建立圖形與數(shù)量之間的關(guān)系。③在邏輯推理素養(yǎng)方面，初中畢業(yè)生能進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納推理，能根據(jù)已知、定理、公理、運(yùn)算法則等進(jìn)行證明和計(jì)算的演繹推理；特別是平面幾何的證明問題培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力，但駕馭較復(fù)雜問題的推理能力較弱，推理中的轉(zhuǎn)化能力不強(qiáng)，不具備通過構(gòu)造中間量完成推理的能力。

（二）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析

2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷突出考查了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析及數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，試題所體現(xiàn)的核心素養(yǎng)既相對(duì)獨(dú)立又相互融合。其中，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的題目有 第 1、6、9、10、13、15_I、15_II、17_II、17_III、19_I、19_II（i）、20_I 題，共59 分，得分率為0.81，主要體現(xiàn)了“思維先導(dǎo)把控?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算”的特點(diǎn)，突顯運(yùn)算思路的探究與運(yùn)算程序的設(shè)計(jì)能力；考查直觀想象素養(yǎng)的題目有第2、5、7、8、11、12、14、18_I、18_II 題，共48分，得分率為0.68，主要體現(xiàn)了“直觀分析發(fā)現(xiàn)數(shù)形關(guān)系”的特點(diǎn)，突顯數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力；考查邏 輯 推 理 素 養(yǎng) 的 題 目 有 第3、4、17_1、19_II（ii）、20_II、20_III 題，共30 分，得分率為0.46，主要體現(xiàn)了“建立關(guān)系探究思路”的特點(diǎn)，突顯發(fā)現(xiàn)提出問題、分析解決問題能力；考查數(shù)據(jù)分析及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的題目是第16 題，共13 分，得分率為0.92，主要體現(xiàn)了“應(yīng)用模型與數(shù)據(jù)分析相結(jié)合”的特點(diǎn)，突顯數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用。

以試題特點(diǎn)及試題得分?jǐn)?shù)據(jù)作為評(píng)價(jià)高中畢業(yè)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平的依據(jù)，以考生高中入學(xué)時(shí)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平為參考，可分析學(xué)生在高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展情況。據(jù)此可評(píng)價(jià)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的得失，從中吸取經(jīng)驗(yàn)，對(duì)今后教學(xué)產(chǎn)生指導(dǎo)意義。

三、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)發(fā)展水平分析

學(xué)生進(jìn)入高中后，在不同的知識(shí)領(lǐng)域中提高了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，主要涉及集合運(yùn)算、解不等式、指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算、三角函數(shù)運(yùn)算、解三角形、數(shù)列、運(yùn)用空間向量解決立體幾何問題、解析幾何中的運(yùn)算、概率統(tǒng)計(jì)中的運(yùn)算等內(nèi)容，不同的知識(shí)點(diǎn)其運(yùn)算特點(diǎn)各有千秋。例如，解三角形的運(yùn)算特點(diǎn)有直接運(yùn)算、消去運(yùn)算、整體運(yùn)算等，函數(shù)運(yùn)算的特點(diǎn)有變量整理、解析式的整理與變形等，三角函數(shù)有三角公式、三角值運(yùn)算等，數(shù)列的運(yùn)算特點(diǎn)有構(gòu)造模型、基本量（方程思想）運(yùn)算等，解析幾何的運(yùn)算特點(diǎn)有消變量、解方程等。這些運(yùn)算均以加減乘除四則運(yùn)算為基礎(chǔ)。學(xué)生在高中學(xué)習(xí)過程中，不斷提高形成運(yùn)算思路和設(shè)計(jì)運(yùn)算程序的能力，同時(shí)運(yùn)算的準(zhǔn)確性也在提高。

例1：2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第6 題

已知a=log52，b=log0.50.2，c=0.50.2，則a、b、c 的大小關(guān)系為

A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b

【內(nèi)涵分析】本題考查指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算，及運(yùn)用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行估值。當(dāng)一次估算不能解決問題時(shí)，要提高估算的精確度，于是與二分法的相關(guān)思想關(guān)聯(lián)，進(jìn)行進(jìn)一步估值。此題需要考生會(huì)設(shè)計(jì)運(yùn)用估算比較大小的運(yùn)算程序，考查了考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

【考生表現(xiàn)】本題得分率為0.77，屬于簡(jiǎn)單題。

表1 2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第6 題各水平組得分

從考生答題情況看，G1 組考生對(duì)指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算及函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)知識(shí)理解不到位，部分G2 組和少數(shù)G3 考生不能正確比較出與的大小關(guān)系，即不能找到以為中間量，進(jìn)行比較大小。

【素養(yǎng)發(fā)展】學(xué)生在義務(wù)教育階段具備利用估值法比較實(shí)數(shù)的大小的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，也能運(yùn)用“中間量法”比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，例如比較兩個(gè)無理數(shù)（式）的大小。學(xué)生對(duì)比較大小的過程是從代數(shù)運(yùn)算的角度進(jìn)行的，并不能以函數(shù)的圖象與性質(zhì)作為工具。在高中的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)估值運(yùn)算發(fā)展到以熟悉的函數(shù)為工具，進(jìn)行適當(dāng)?shù)墓乐?，并能以“二分法的相關(guān)思想”探索估值的思路并設(shè)計(jì)估值程序。

【教學(xué)啟示】教學(xué)中要注重指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算，并能結(jié)合指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與單調(diào)性進(jìn)行估值，用“二分法的相關(guān)思想”提高估值的精確度，要使學(xué)生理解估值運(yùn)算的基本程序。

例2：2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第13 題

【內(nèi)涵分析】本題主要考查運(yùn)用基本不等式求最值。其中，基本數(shù)學(xué)運(yùn)算是解題的關(guān)鍵，考生需要熟悉基本不等式求最小值的“模型”，即通過數(shù)學(xué)運(yùn)算構(gòu)造“倒數(shù)關(guān)系”，這樣能產(chǎn)生積為“定值”，從而求最小值。

【考生表現(xiàn)】 本題得分率為0.51，屬于中等難度題。

表2 2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第13 題各水平組得分

【素養(yǎng)發(fā)展】學(xué)生在義務(wù)教育階段能夠運(yùn)用基本數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)代數(shù)式變形從而構(gòu)造“基本模型”是較為熟悉的，例如構(gòu)造平方關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系等。在高中的學(xué)習(xí)過程中，G3 和G4 組大部分考生運(yùn)用運(yùn)算變形代數(shù)式的能力日益增強(qiáng)，但G1 和G2 組考生對(duì)運(yùn)算的觀察能力仍然較弱，即事先預(yù)判運(yùn)算過程的能力沒能得到較好發(fā)展。

【教學(xué)啟示】教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)基本運(yùn)算在解題中的作用，特別是在構(gòu)造“基本模型”時(shí)的作用。教學(xué)中要通過設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)運(yùn)算與基本不等式、函數(shù)、數(shù)列等相關(guān)聯(lián)的問題情境，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)運(yùn)算是解題的重要工具，增強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算意識(shí)，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的觀察能力。

例3：2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第15 題

在△ABC 中，內(nèi)A，B，C 角所對(duì)的邊分別a，b，c為．已知b+c=2a，3csin B=4asin C．

（Ⅰ）求cos B 的值；

【內(nèi)涵分析】本題設(shè)計(jì)了正余定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和的正弦公式、二倍角公式的關(guān)聯(lián)情境，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平，特別是在運(yùn)用余弦定理求時(shí)，需要帶有變量進(jìn)行消去運(yùn)算，這是評(píng)價(jià)考生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平的重要依據(jù)。

【考生表現(xiàn)】本題得分率為0.91，屬于簡(jiǎn)單題。

表3 2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第15 題各水平組得分

從解題情況看，學(xué)生能夠結(jié)合定理及公式進(jìn)行求值運(yùn)算，基本達(dá)到了《新課標(biāo)》中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平二的要求。只有少部分G1 組的考生，缺乏對(duì)含有a，b，c 三個(gè)變量的運(yùn)算的規(guī)劃能力，也有個(gè)別考生在基本運(yùn)算上出現(xiàn)失誤。

【素養(yǎng)發(fā)展】學(xué)生在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)運(yùn)算發(fā)展到具體數(shù)值運(yùn)算、代數(shù)式整理的運(yùn)算水平，并不能對(duì)含有多個(gè)變量的代數(shù)式設(shè)計(jì)出消去運(yùn)算程序。通過高中的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠?qū)卸鄠€(gè)變量的代數(shù)式設(shè)計(jì)合理的運(yùn)算途徑，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)得到了提高。

【教學(xué)啟示】教學(xué)中，要幫助學(xué)生分析運(yùn)算的特點(diǎn)，從為何算、如何算、由何算的角度對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算進(jìn)行分析。

可見，學(xué)生在高中階段的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)明顯提高，主要表現(xiàn)在運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算解決問題的意識(shí)、數(shù)學(xué)運(yùn)算技能、數(shù)學(xué)運(yùn)算方法以及設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、調(diào)節(jié)運(yùn)算思路等方面的能力得到了提高。不過，學(xué)生對(duì)基本運(yùn)算有時(shí)會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，影響了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的表現(xiàn)水平，同時(shí)G1 組考生運(yùn)算程序的設(shè)計(jì)水平較低。

四、直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展水平分析

學(xué)生進(jìn)入高中后，直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展機(jī)會(huì)最多，也是最先發(fā)展起來的。特別是在高一學(xué)習(xí)函數(shù)概念與性質(zhì)及應(yīng)用和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用時(shí)，對(duì)直觀想象在解決問題中的作用有了較為系統(tǒng)的理解，同時(shí)對(duì)數(shù)形結(jié)合的思想方法的認(rèn)識(shí)也得到了提升。高二學(xué)習(xí)立體幾何，發(fā)展了學(xué)生的空間想象力；學(xué)習(xí)解析幾何，提高了學(xué)生幾何與代數(shù)之間的轉(zhuǎn)化能力，發(fā)展了分析圖形的能力；學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)時(shí)，學(xué)生再次體會(huì)函數(shù)圖象在解題中的作用，又一次提升了直觀想象素養(yǎng)。

例4：2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第11 題

【內(nèi)涵分析】本題主要考查棱錐的性質(zhì)和圓柱的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考生“識(shí)圖”、“畫圖”和“想圖”的空間想象能力。解題的關(guān)鍵在于正確理解并想象出題目中四個(gè)中點(diǎn)的外接圓，并求此圓的半徑和圓柱的高。

【考生表現(xiàn)】本題得分率為0.47，屬于中等難度題。

表4 2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第11 題各水平組得分

【內(nèi)涵分析】本題考查平面向量基本定理和平面向量的數(shù)量積運(yùn)算。運(yùn)用平面向量基本定理將所求向量用已知向量表示是解題的出發(fā)點(diǎn)，運(yùn)用平面幾何知識(shí)挖掘圖形中的幾何條件是解題的關(guān)鍵，上述

考生總體表現(xiàn)水平低于預(yù)期， 其中G1 和G2組考生不能想象出圖形的形狀，想象和構(gòu)建幾何圖形的能力較弱。 部分G3 組考生將棱錐看成實(shí)物，所以將題目想象成從棱錐中截取圓柱，即將四個(gè)中點(diǎn)的外接圓想象成了內(nèi)切圓，這部分考生對(duì)圖形的抽象能力有待提高。另外，有些考生在求圓柱的高時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，主要原因是沒能發(fā)現(xiàn)圓柱高與圓錐高的關(guān)系。

【素養(yǎng)發(fā)展】學(xué)生在義務(wù)教育階段建立了基本的空間觀念，認(rèn)識(shí)了簡(jiǎn)單的幾何體。在平面幾何的學(xué)習(xí)中，能夠分析平面幾何中圖形與圖形的關(guān)系、圖形與數(shù)量的關(guān)系。在高中階段，G3、G4 組考生已經(jīng)發(fā)展到具備想象并構(gòu)建立體幾何圖形的能力，并能發(fā)現(xiàn)空間圖形之間的關(guān)系，能分析立體圖形與平面圖形之間的關(guān)系。G1 和G2 組考生在關(guān)聯(lián)情境中想象和建構(gòu)空間的能力仍然較弱，未能達(dá)到《新課標(biāo)》中直觀想象素養(yǎng)水平二的要求。

【教學(xué)啟示】立體幾何的教學(xué)要進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，教學(xué)要在提高學(xué)生“識(shí)圖、畫圖、想圖”的能力上下功夫，在提高探索圖形與圖形之間關(guān)系上下功夫，在運(yùn)用平面幾何知識(shí)挖掘截面圖形的性質(zhì)上下功夫。

例5：2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第14 題兩點(diǎn)均需要學(xué)生達(dá)到《新課標(biāo)》中直觀想象素養(yǎng)水平二的要求。若本題運(yùn)用平面坐標(biāo)的坐標(biāo)運(yùn)算，通過挖掘幾何條件寫出坐標(biāo)仍然是解題的關(guān)鍵。

【考生表現(xiàn)】本題得分率為0.43，屬于中等難度題。

表5 2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第14 題各水平組得分

G1、G2 組考生對(duì)平面向量的理解不夠清晰，運(yùn)用平面向量基本定理解決問題的能力較差，解題也就無從入手。G3 組考生主要由于缺乏運(yùn)用平面幾何知識(shí)探索圖形中條件的經(jīng)驗(yàn)，沒能意識(shí)到可以求三角形中的邊和角，所以確定基底出現(xiàn)了困難。另外，在利用坐標(biāo)運(yùn)算解此題時(shí)，考生解題難點(diǎn)也在于運(yùn)用平面幾何知識(shí)探索出圖形的邊和角，進(jìn)而寫出點(diǎn)的坐標(biāo)。

【素養(yǎng)發(fā)展】學(xué)生在義務(wù)教育階段解決平面幾何問題時(shí)，能借助全等、等量代換等方法將線段和角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即能夠發(fā)現(xiàn)較為明顯的圖形與圖形間的關(guān)系，這反映出學(xué)生已達(dá)到了在熟悉的或關(guān)聯(lián)的幾何情境中發(fā)現(xiàn)三角形的邊的關(guān)系、角的關(guān)系的水平。高中階段通過平面向量基本定理與運(yùn)算的學(xué)習(xí)，G4 及部分G3 組考生能在向量與平面幾何的關(guān)聯(lián)情境中，探索出向量與向量的關(guān)系，能正確選擇基底，將向量進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，其直觀想象素養(yǎng)達(dá)到了在關(guān)聯(lián)情境中發(fā)現(xiàn)圖形與圖形、圖形與數(shù)量關(guān)系的水平。但G1 和G2 組考生在向量與平面幾何的關(guān)聯(lián)情境中，沒有達(dá)到正確選擇基底轉(zhuǎn)化向量的水平。

【教學(xué)啟示】向量的教學(xué)要以理解向量的概念為出發(fā)點(diǎn)，以平面向量的基本定理為抓手，以向量運(yùn)算為工具，提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。 教學(xué)中要將選擇基底并運(yùn)用基底表示向量作為重點(diǎn)和難點(diǎn)，要讓學(xué)生理解 “為何運(yùn)用基底”“如何選擇基底”“由何確定基底”等問題。同時(shí)，還要訓(xùn)練學(xué)生在平面幾何與平面向量的關(guān)聯(lián)情境中，注重平面幾何條件的挖掘和平面向量基本定理的應(yīng)用。對(duì)于G1 和G2 組考生還要落實(shí)向量的概念、 向量線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)， 循序漸進(jìn)地對(duì)平面向量進(jìn)行學(xué)習(xí)。

例6：2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第18 題：

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P 在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)M 為直線PB 與x 軸的交點(diǎn)，點(diǎn)N 在y 軸的負(fù)半軸上．若（O 為原點(diǎn)），且OP⊥MN，求直線PB 的斜率．

【內(nèi)涵分析】本題主要考查由橢圓性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與橢圓相交時(shí)，通過交點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的條件和直線與直線的垂直關(guān)系，列方程并求參數(shù)的方法。解答此題需要考生具備將幾何圖形及圖形之間的關(guān)系用代數(shù)形式表達(dá)的能力，還要具備用方程思想解決幾何圖形相關(guān)問題的能力。由于此題僅涉及一個(gè)參數(shù)，所以只需列一個(gè)方程即可解決，難度并不大。

【考生表現(xiàn)】本題得分率為0.69，屬于中等偏易題。其中第（Ⅰ）問占4 分，得分為率為0.93；第（Ⅱ）問占9 分，得分率為0.58。

表6 2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第18_Ⅱ問各水平組得分

從答題情況上看，考生基本掌握了橢圓的方程與性質(zhì)，以及用代數(shù)法表達(dá)直線與橢圓相交問題。在熟悉的情境中，大部分考生能通過列等式、解方程的方法求得參數(shù)。但部分考生未能求出交點(diǎn)坐標(biāo)，也有部分考生不能將圖形中的幾何條件用代數(shù)式正確表達(dá)，還有部分考生在運(yùn)算中出現(xiàn)錯(cuò)誤。

【素養(yǎng)發(fā)展】在義務(wù)教育階段，學(xué)生能從函數(shù)角度解決直線與直線、直線與拋物線相交時(shí)的相關(guān)問題，也能運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)中的參數(shù)，學(xué)生初步了解圖形與數(shù)量的關(guān)系，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想也有了初步的認(rèn)識(shí)。高中階段通過解析幾何的學(xué)習(xí)，學(xué)生從數(shù)學(xué)原理的角度認(rèn)識(shí)了曲線與方程的關(guān)系，大部分學(xué)生能夠掌握將圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的基本方法，理解并會(huì)運(yùn)用解方程來研究圖形問題的基本方法，形成了系統(tǒng)的數(shù)形結(jié)合思想，直觀想象的素養(yǎng)得到更為全面、細(xì)致、深入的發(fā)展。

【教學(xué)啟示】解析幾何的教學(xué)要使學(xué)生形成用代數(shù)法解決幾何問題的意識(shí)，強(qiáng)化學(xué)生將圖形轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的技能。要讓學(xué)生掌握“建參”與“消參”的技巧，理解圖形的特征與建立等式（或不等式）的關(guān)系，理解參數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)間的關(guān)系。還要讓學(xué)生能夠從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析圖形，進(jìn)而分析圖形中變量與變量之間的代數(shù)關(guān)系。

總之，學(xué)生在高中階段直觀想象素養(yǎng)有較大提升，無論是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)問題，還是運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題，學(xué)生均形成了一定的解題模式。不但數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用意識(shí)增強(qiáng)了，還能分析數(shù)與形為何能結(jié)合、如何進(jìn)行數(shù)形結(jié)合等問題。但部分考生的空間想象力還存在一定的差距，建立空間圖形間聯(lián)系的能力以及在較復(fù)雜的關(guān)聯(lián)情境中挖掘平面圖形幾何性質(zhì)的能力有待進(jìn)一步加強(qiáng)。

五、邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展水平分析

邏輯推理是數(shù)學(xué)的“靈魂”，也是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)能力的最重要的標(biāo)志。學(xué)生在義務(wù)教育階段，通過參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展了合情推理和演繹推理能力，并能較為清晰地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)自己的思考過程與結(jié)果。例如，在解決簡(jiǎn)單的探索規(guī)律問題、幾何證明問題和函數(shù)綜合問題時(shí)，學(xué)生能運(yùn)用合情推理和演繹推理的方法，也能運(yùn)用“分析法”尋找解決問題的思路；但不同水平組學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)水平的差異較大。

在高中階段，邏輯推理貫穿學(xué)習(xí)的始終，特別是含參的代數(shù)問題、幾何證明問題、轉(zhuǎn)化與化歸的問題等，均能提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。高中數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)在關(guān)聯(lián)的情境中通過分析問題的條件與結(jié)論的關(guān)系，以相關(guān)概念、命題、定理為工具，探索論證思路，并用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)。

例7：2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第19 題

設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列．已知a1=4，b1=6，b2=2a2-2，b3=2a3+4，．

（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

【內(nèi)涵分析】本題主要考查等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)。在第（Ⅱ）問的第（ii）小問中，需要考生將所研究的數(shù)列轉(zhuǎn)化為能求和的數(shù)列，這是一個(gè)具有創(chuàng)造性思維的推理過程，考查了數(shù)列求和的基本方法和化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，以及邏輯推理素養(yǎng)。

【考生表現(xiàn)】本題得分率為0.53，屬于中等難度題。其中第（Ⅰ）問占6 分，得分為率為0.93。第（Ⅱ）問的第（i）小問占3 分，得分率為0.46；第（ii）小問占5 分，得分率為0.08。

表7 2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第19_Ⅱ_i小問各水平組得分

考生的主要問題表現(xiàn)為沒有轉(zhuǎn)化的意識(shí)，即不能通過構(gòu)造的方法將所求數(shù)列與結(jié)論中的特殊數(shù)列建立聯(lián)系。

【素養(yǎng)發(fā)展】在義務(wù)教育階段，學(xué)生具有將所求轉(zhuǎn)化為熟悉“模型”從而解決問題的能力。通過高中階段的學(xué)習(xí)，大部分學(xué)生能在關(guān)聯(lián)情境下將所求與熟悉的概念、定理、結(jié)論和方法相聯(lián)系，通過邏輯推理的思考過程將問題進(jìn)行合理的化歸與轉(zhuǎn)化。但學(xué)生對(duì)于將所求問題轉(zhuǎn)化為一些不常見的“模型”缺乏經(jīng)驗(yàn)，特別是像本題中要綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理解決問題的情況，只有G4 組中三分之一的考生能夠達(dá)到該水平。

【教學(xué)啟示】教學(xué)中要提高學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸意識(shí)，提高學(xué)生用“分析法”探索解題方法的能力，讓學(xué)生分析或反思解題思路的形成過程，將思維的推理過程呈現(xiàn)出來。幫助學(xué)生積累轉(zhuǎn)化的“模型”和“經(jīng)驗(yàn)”，還要幫助學(xué)生理解并運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言求解或證明。

例8：2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第20 題

設(shè)函數(shù)f（x）=excosx，g（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．

（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

【內(nèi)涵分析】本題綜合考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，圍繞函數(shù)的單調(diào)性、最值和零點(diǎn)設(shè)計(jì)問題，三個(gè)設(shè)問間具有很強(qiáng)的層次性和關(guān)聯(lián)性。第（Ⅱ）問要建立不等關(guān)系與最值的聯(lián)系，轉(zhuǎn)化為運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值的問題。第（Ⅲ）問要通過換元與第（Ⅰ）（Ⅱ）問建立聯(lián)系，從而構(gòu)造出不等關(guān)系，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮?？疾榱撕瘮?shù)思想和化歸思想以及考生的邏輯推理素養(yǎng)水平。

【考生表現(xiàn)】本題得分率為0.13，屬于難題。其中第（Ⅰ）問占3 分，得分為率為0.47，第（Ⅱ）問占4分，得分率為0.10，第（Ⅲ）問7 分，得分率為0.00，本問G4 組得分率為0.01。第（Ⅰ）問，考生知道用求導(dǎo)數(shù)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，但部分考生未掌握求導(dǎo)公式，還有部分考生不會(huì)解三角不等式。第（Ⅱ）問，考生知道用求最小值的方法進(jìn)行證明，但考生不具備運(yùn)用抽象函數(shù)形式表達(dá)導(dǎo)數(shù)的能力，在用具體函數(shù)求導(dǎo)后分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)有些復(fù)雜。第（Ⅲ）問，由于問題形式較復(fù)雜， 考生沒能將所證問題與第（Ⅰ）（Ⅱ）問的結(jié)論建立聯(lián)系，對(duì)本問無從入手。

【素養(yǎng)發(fā)展】義務(wù)教育階段學(xué)生對(duì)不等式關(guān)系的證明，只能運(yùn)用“作差法”和解不等式的方法，推理的思路是將比較轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)運(yùn)算。高中階段學(xué)生對(duì)不等式證明的邏輯推理有了新的發(fā)展，其中有兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)、不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、求最值、放縮法等。在探究推理思路時(shí)，大部分學(xué)生能聯(lián)想到將所證轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值和函數(shù)單調(diào)性解決問題，但在較復(fù)雜的情境中，學(xué)生的論證思路就有些紊亂，不能將所證問題與已知的結(jié)論或方法等建立聯(lián)系，用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)的能力也存在問題。

【教學(xué)啟示】教學(xué)中要增強(qiáng)學(xué)生的“論據(jù)”意識(shí)，強(qiáng)調(diào)推理方法的形成過程，強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化思想在證明中的作用，幫助學(xué)生總結(jié)和體會(huì)證明方法的特點(diǎn)。G4組考生要厘清復(fù)雜情境中條件之間、結(jié)論之間的關(guān)系，要重視運(yùn)用“構(gòu)造法”建立條件與結(jié)論間的聯(lián)系，增強(qiáng)數(shù)學(xué)符號(hào)語言的表達(dá)能力。

高中階段，學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)得到了一定程度的提高，學(xué)生具有將所證與已知、定理、公理或數(shù)學(xué)思想方法建立聯(lián)系的意識(shí)，能將問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕瘹w與轉(zhuǎn)化。但在較為復(fù)雜的情境中，學(xué)生建立聯(lián)系的能力不能發(fā)揮出來，數(shù)學(xué)語言表達(dá)推理過程的能力較弱。對(duì)比各水平組發(fā)展空間，G4 組考生遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他水平組。

六、教學(xué)建議

（一）研讀“課程標(biāo)準(zhǔn)”，根據(jù)學(xué)生實(shí)際確定教學(xué)目標(biāo)

“課程標(biāo)準(zhǔn)”既是教學(xué)的依據(jù)，也是衡量教學(xué)質(zhì)量的工具。高中學(xué)習(xí)目標(biāo)的確定要以課程內(nèi)容相關(guān)要求為標(biāo)準(zhǔn)，突出重點(diǎn)問題與核心問題。為此，教師要能夠衡量“了解”“理解”“掌握”“運(yùn)用”等描述結(jié)果的行為動(dòng)詞所表示的程度，要反思“經(jīng)歷”“體驗(yàn)”“探索”等表述過程的目標(biāo)是否達(dá)成。教學(xué)目標(biāo)的制定既要關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能力，又要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法及基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)還要通過研讀課程內(nèi)容，提煉其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并融入到學(xué)生知識(shí)與技能的發(fā)展之中，逐步落實(shí)和滲透。教師還要認(rèn)真研究數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平劃分，以其中的“水平二”作為高考要求，用水平劃分的標(biāo)準(zhǔn)來衡量教學(xué)內(nèi)容和練習(xí)題目所達(dá)到的水平，分析每位學(xué)生的實(shí)際水平與高考要求的差距和問題所在。

教學(xué)目標(biāo)的制定還要依據(jù)學(xué)生的實(shí)際水平，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平，制定適合學(xué)生學(xué)習(xí)又接近課程要求的目標(biāo)。達(dá)到高考要求的教學(xué)目標(biāo)不是一步到位的，要以學(xué)生實(shí)際水平為起點(diǎn)，著眼于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，關(guān)注主干知識(shí)的學(xué)習(xí)效果，關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的落實(shí)。教學(xué)目標(biāo)的制定，要注重分析情境與問題的水平，即學(xué)生可以解決什么水平的情境與問題；要注重分析知識(shí)與技能的達(dá)成程度，即學(xué)生可以運(yùn)用什么知識(shí)與技能解決問題；要注重分析思維與表達(dá)所要達(dá)到的水平，即學(xué)生思考問題的能力與表述過程的水平；要注重分析交流與反思的水平，即對(duì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言解釋、交流、反思問題的水平進(jìn)行評(píng)價(jià)。根據(jù)上述四個(gè)方面學(xué)生的表現(xiàn)水平，評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平。

（二）以落實(shí)“四基”為抓手，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

高中學(xué)習(xí)以高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)為載體，全面落實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，即以建立主干知識(shí)結(jié)構(gòu)為核心，梳理基礎(chǔ)知識(shí)，培養(yǎng)基本解題技能，反思知識(shí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，并從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度審視知識(shí)的特點(diǎn)及學(xué)生學(xué)習(xí)水平。教學(xué)中既要從知識(shí)層面對(duì)主干知識(shí)進(jìn)行細(xì)致學(xué)習(xí)，又要從數(shù)學(xué)思想方法的角度分析知識(shí)與練習(xí)題目的特點(diǎn)。

1.梳理框架，創(chuàng)設(shè)適宜的問題情境

教師要梳理主干知識(shí)框架，形成思維導(dǎo)圖，并在學(xué)習(xí)過程中不斷充實(shí)思維導(dǎo)圖。幫助學(xué)生在教師的引領(lǐng)下，最終形成個(gè)人的思維導(dǎo)圖。教師要經(jīng)常思考知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，將單元內(nèi)部和單元之間的知識(shí)關(guān)聯(lián)起來創(chuàng)設(shè)問題情境，幫助學(xué)生理解并找到解決關(guān)聯(lián)問題情境的要點(diǎn)，使學(xué)生達(dá)到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平劃分中“水平二”的要求。教學(xué)中，教師把握好試題的難度及容量，適當(dāng)引入一些具有應(yīng)用性、開放性、探究性的問題，不可走入“題海戰(zhàn)術(shù)”的誤區(qū)。

2.夯實(shí)基礎(chǔ)，提高技能

基礎(chǔ)知識(shí)一直是高考主要的考查內(nèi)容。2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷考后數(shù)據(jù)顯示，容易題共99分，占試卷總分值的三分之二。這些題目涵蓋高中數(shù)學(xué)的每個(gè)主題，因此，掌握基礎(chǔ)知識(shí)、提高解題基本技能是高中學(xué)習(xí)的重中之重，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的保障與途徑。

基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)要全面、有效。以課標(biāo)要求為依據(jù)，對(duì)相關(guān)概念、定理、公式的學(xué)習(xí)要厘清其脈絡(luò)，讓學(xué)生能夠理解知識(shí)的來龍去脈，形成探究知識(shí)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和典型題目的解題經(jīng)驗(yàn)?；A(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)要全面，不能存在盲區(qū)，對(duì)教材中例題、習(xí)題、學(xué)習(xí)參考題等提到的問題，均要重視起來，以免造成學(xué)生遇到問題感到陌生，對(duì)解題無從入手?；A(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)還要追求高效，教學(xué)中要直擊主題，題目設(shè)計(jì)以課標(biāo)要求為依據(jù)，不偏不怪，幫助學(xué)生融會(huì)貫通地理解知識(shí)，特別是對(duì)基本水平及以下的學(xué)生，要做好面向全體教學(xué)與個(gè)別輔導(dǎo)相結(jié)合，對(duì)最重要的知識(shí)點(diǎn)要逐個(gè)落實(shí)，逐人幫扶。

高三學(xué)習(xí)是形成解題基本技能的關(guān)鍵時(shí)期。教學(xué)中要讓學(xué)生理解并體會(huì)基本技能在解題中的作用。學(xué)生基本技能的形成不是一蹴而就的，要在各個(gè)單元的學(xué)習(xí)中螺旋式地提高。教師也要根據(jù)單元特點(diǎn)提前做好規(guī)劃，循序漸進(jìn)地提升學(xué)生的基本技能。例如運(yùn)算求解能力，首先要讓學(xué)生要理解并體會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算在解題中作用，體會(huì)運(yùn)算過程的表現(xiàn)形式，再結(jié)合單元知識(shí)特征分析本單元運(yùn)算的特點(diǎn)，逐步積累運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷并體驗(yàn)運(yùn)算程序的設(shè)計(jì)、運(yùn)算思路的探究以及運(yùn)算過程執(zhí)行過程。在各單元的教學(xué)中都要訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)算的準(zhǔn)確率，讓學(xué)生積累運(yùn)算技巧的經(jīng)驗(yàn)。這樣就能系統(tǒng)地培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算求解能力。提高解題基本技能要根據(jù)學(xué)生特點(diǎn)嘗試運(yùn)用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，例如“點(diǎn)播總結(jié)”“練習(xí)體驗(yàn)”“誤試”“反思”等方法，讓學(xué)生親身經(jīng)歷解題過程，形成基本技能，積累解題技巧和經(jīng)驗(yàn)。

3.提煉數(shù)學(xué)思想方法，知識(shí)與思想方法相互融合

數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的精髓，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的抓手。學(xué)生要達(dá)到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平劃分中“水平二”的要求，就必須能夠從數(shù)學(xué)思想方法的維度分析和解決問題。滲透數(shù)學(xué)思想方法，首先，教師要幫助學(xué)生進(jìn)行提煉，使學(xué)生理解思想方法表現(xiàn)的形態(tài)，并體會(huì)其在解題中的作用。其次，要讓學(xué)生將知識(shí)與思想方法相結(jié)合，體會(huì)思想方法在每個(gè)單元內(nèi)容中的特點(diǎn)。例如，數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)與解析幾何單元中的表現(xiàn)特點(diǎn)不同，教學(xué)中要讓學(xué)生理解其在解決函數(shù)問題中“以形助數(shù)”的功能，在解決解析幾何問題中“由形到數(shù)”的轉(zhuǎn)化功能，最后還要幫助學(xué)生整體地理解數(shù)形結(jié)合，提高學(xué)生的直觀想象能力，這樣就能讓學(xué)生逐步深入、層層遞進(jìn)地理解和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。再有，教學(xué)中要經(jīng)常開展解題反思活動(dòng)，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)思想方法的維度分析題目，從“為何用”“如何用”“由何用”等方面分析數(shù)學(xué)思想方法在解題中的作用。

4.積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成“模型”思想

積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志，也是學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界的基礎(chǔ)。高三學(xué)習(xí)中，學(xué)生養(yǎng)成積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的良好習(xí)慣是提高學(xué)習(xí)效率的有效途徑。幫助學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)要做好以下三個(gè)方面。第一，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)靠教師 “點(diǎn)撥”。即教師要對(duì)基本圖形、基本題型、常見條件、常見問題的處理方法輕車熟路，教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)其重要性，并指導(dǎo)學(xué)生把這些活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)納入到認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，形成基本的解題“模型”。第二，運(yùn)用活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)要靠學(xué)生“嫁接”。即在關(guān)聯(lián)情境中將不同的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)嫁接在一起，找到情境之間的關(guān)聯(lián)，發(fā)揮每種經(jīng)驗(yàn)的作用。第三，豐富活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)要靠學(xué)生“轉(zhuǎn)化”。即增強(qiáng)學(xué)生將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉經(jīng)驗(yàn)的意識(shí)，教師可通過提問引導(dǎo)的方式，幫助學(xué)生將新問題轉(zhuǎn)化為熟悉的“模型”。另外，活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累要呈螺旋式上升的結(jié)構(gòu)。即由積累解決單一知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)，逐步發(fā)展到積累解決知識(shí)點(diǎn)交匯問題的經(jīng)驗(yàn)，由積累解決簡(jiǎn)單問題方法的經(jīng)驗(yàn)，逐步發(fā)展到積累復(fù)雜問題方法的經(jīng)驗(yàn)，這樣知識(shí)與方法層面的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)逐步提升、相互整合，最終形成高中數(shù)學(xué)整體的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（三）以單元教學(xué)思想為指導(dǎo)，形成高中數(shù)學(xué)整體知識(shí)結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是逐漸建構(gòu)起來的一個(gè)整體，高中學(xué)習(xí)要著眼于此整體結(jié)構(gòu)的建構(gòu)過程。該結(jié)構(gòu)可分為函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)四大主題，每個(gè)主題又可分成若干個(gè)單元。高考所考查的內(nèi)容以創(chuàng)設(shè)單元內(nèi)或單元之間的關(guān)聯(lián)情境為載體，考查學(xué)生抽象概念、推理論證、數(shù)形結(jié)合、空間想象、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)分析等解題能力，以及發(fā)現(xiàn)提出問題和分析解決問題的能力，從而考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平。由此可見，高中學(xué)習(xí)要以單元教學(xué)思想為指導(dǎo)，即將高中數(shù)學(xué)知識(shí)中“具有某種內(nèi)在關(guān)聯(lián)性”的內(nèi)容進(jìn)行分析、重組、整合，有目標(biāo)、有計(jì)劃、有控制地組織整體性教學(xué)。這種學(xué)習(xí)具有知識(shí)的整體性、問題的關(guān)聯(lián)性、目標(biāo)的規(guī)劃性、難點(diǎn)的分散性、結(jié)構(gòu)的彌漫性等特點(diǎn)，體現(xiàn)出高中學(xué)習(xí)要在學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)上進(jìn)行遞進(jìn)式、螺旋式、交織式的建構(gòu)。

1.注重單元內(nèi)整體性的教學(xué)

高三學(xué)習(xí)要以主題為單位，整體布局內(nèi)容，突出知識(shí)間的聯(lián)系性和主題的整體性。教學(xué)中要將以往教學(xué)設(shè)計(jì)的“線性結(jié)構(gòu)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤熬W(wǎng)狀結(jié)構(gòu)”，將關(guān)注課時(shí)的局部化設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)注全局的整體式設(shè)計(jì)。教學(xué)中要找到單元的核心內(nèi)容和核心數(shù)學(xué)思想方法，找出一條串聯(lián)整個(gè)單元的“邏輯線”。通常以知識(shí)結(jié)構(gòu)圖為工具，根據(jù)結(jié)構(gòu)圖分解單元內(nèi)容，合理布局、布點(diǎn)，將知識(shí)目標(biāo)及數(shù)學(xué)思想方法目標(biāo)合理地分布在各課時(shí)中，時(shí)刻關(guān)注分解后的知識(shí)間的關(guān)聯(lián)。另外，教學(xué)中例題和練習(xí)題的選取要體現(xiàn)單元內(nèi)容交匯的關(guān)聯(lián)情境，圍繞“交匯點(diǎn)”設(shè)計(jì)問題，以點(diǎn)帶面，強(qiáng)化訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生綜合解決問題的能力。

2.注重單元內(nèi)關(guān)鍵數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升

高三學(xué)習(xí)中，各單元內(nèi)容所要培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)往往具有共性和一致性。教學(xué)中首先要提煉教學(xué)內(nèi)容所要培養(yǎng)的關(guān)鍵數(shù)學(xué)素養(yǎng)，然后依據(jù)學(xué)生已有的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平，設(shè)計(jì)遞進(jìn)式的培養(yǎng)計(jì)劃，即從縱向聯(lián)系的角度規(guī)劃課時(shí)之間的關(guān)系，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的起點(diǎn)和目標(biāo)間的關(guān)系，通過適當(dāng)問題的探究、反思等活動(dòng)，有計(jì)劃有目的地提高學(xué)生在單元學(xué)習(xí)中的關(guān)鍵數(shù)學(xué)素養(yǎng)。例如，解析幾何單元所培養(yǎng)的關(guān)鍵素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象素養(yǎng)。教師要從整體設(shè)置好直線、圓和圓錐曲線三個(gè)小單元的“職能”。在直線學(xué)習(xí)中，學(xué)生要體會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算解決幾何問題的作用，體會(huì)解析幾何中運(yùn)算的特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生簡(jiǎn)單的“由形到數(shù)”的轉(zhuǎn)化能力；在圓的學(xué)習(xí)中，學(xué)生要再次體會(huì)圖形與方程的關(guān)系，提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合分析問題的能力，進(jìn)一步理解運(yùn)算中“消參”的方法及意義。在圓錐曲線的學(xué)習(xí)中，再次提高學(xué)生運(yùn)用代數(shù)法解決幾何問題的意識(shí)，提高學(xué)生運(yùn)算程序的設(shè)計(jì)及運(yùn)算思路的探究能力，理解運(yùn)用“建參”和“消參”解決解析幾何問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)較復(fù)雜問題的“由形到數(shù)”的轉(zhuǎn)化能力。這樣在此單元的學(xué)習(xí)中，就有計(jì)劃地提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象素養(yǎng)。

總之，高三學(xué)習(xí)要以學(xué)生已具備的認(rèn)知水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平為出發(fā)點(diǎn)，以達(dá)到課標(biāo)中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平劃分的“水平二”的要求為目標(biāo)，以鞏固“四基”、提高“四能”為抓手，以單元教學(xué)思想為指導(dǎo)，通過創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫?，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，提高解題技能，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而有計(jì)劃有目的地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平。