李 鶴

(1. 中央民族大學 教育學院， 北京 100081； 2. 山西大學 教育科學學院， 山西 太原 030006)

一、問題提出

近年來國際上STEAM理念的研究已經(jīng)成為熱點，這種多學科融合的綜合教育理念也可以說是在國外推廣的理科的“核心素養(yǎng)”，其中M即數(shù)學(Mathematics)[1]。數(shù)學能力的培養(yǎng)也是我國核心素養(yǎng)理念中非常重要的內(nèi)容，而不同的年齡階段如何開展數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)也是我國的研究熱點。從理論的角度，兒童獲得數(shù)概念進而形成數(shù)學能力的過程是值得被研究的。皮亞杰在20世紀將數(shù)概念引入心理學，并不斷有研究者運用定性和定量的方式對此進行研究。隨著對文化因素的關注，人類學家提出數(shù)概念是與文化相關的。兒童數(shù)概念的研究領域中出現(xiàn)了兩種聲音——“先有原則”理論和“后有原則”理論，而近些年這兩種理論截然對立和界限分明的現(xiàn)象正在趨于淡化，隨著研究的深入，又出現(xiàn)了一種稱之為“雙邊發(fā)展觀”(Mutual-Development View)的觀點，這是一種融合的觀點，認為影響兒童數(shù)學能力發(fā)展的因素既有不完善的先天機制，同時又受到在不同的情境中學習經(jīng)驗的影響[2]。在此基礎上，研究者逐漸開始關注數(shù)概念的影響因素及教學方法。

關于數(shù)概念發(fā)展的關鍵期的研究，以往數(shù)概念的研究集中在學前階段的兒童，對學齡初期兒童關注較少。皮亞杰認為學齡前兒童對數(shù)概念的真正理解只伴隨著心智的發(fā)展，還指出兒童在具體行動成為可能之前，無法有意義地使用數(shù)字，直到7歲[3]。隨著兒童5歲到8歲，數(shù)概念的獲得越來越好[4]。這個不僅是兒童數(shù)概念發(fā)展的重要時期，也是兒童從學前進入學齡的過渡時期，所以本研究選擇6～8歲的兒童進行研究。因此，本研究調(diào)查通過差異檢驗和交互作用來探尋影響6～8歲兒童數(shù)概念發(fā)展的主要因素，并發(fā)現(xiàn)6～8歲兒童數(shù)概念的發(fā)展特點，提出發(fā)展策略。

二、研究方法

(一)研究對象

根據(jù)國家對東、中、西部的劃分，從三個地區(qū)中各選取部分省份，進行有目的抽樣。學生被試來自于14個省的6～8歲兒童，包括東部4省(遼寧、天津、浙江、上海)、中部6省(山西、河北、河南、黑龍江、安徽、湖南)和西部4省(四川、貴州、云南、陜西)。共562名學生，其中男生224名，女生338名，包括6歲兒童68名、7歲兒童238名和8歲兒童256名，如表1，總體樣本平均年齡為7.33歲。對被試學生采用一對一的方式進行測驗，實測565份，其中有效量表562份，有效率99.5%。家長部分共發(fā)放問卷350份，有效問卷310份，有效率88.6%。教師的問卷調(diào)查40份，有效問卷38份，有效率95%。并輔以非結構式訪談作為補充。

表1 6～8歲兒童被試分布情況表(個數(shù))

(二)研究工具

本研究使用的標準測驗是學生數(shù)概念測查量表，根據(jù)Ginsburg與Baroody(1990)所編制的幼兒數(shù)學能力測驗[5]、Malofeeva等人(2004)的數(shù)感測查工具[6]和趙振國(2006)使用的兒童估算和數(shù)感評價工具[7]改編而成，對兒童數(shù)概念進行測查，測驗時運用口語報告法，讓被試在解答數(shù)學問題的同時或剛剛完成題目之后，將自己頭腦中的思維活動的進程、各種心理操作等用口頭方式報告出來，記錄他們的口頭陳述和解題策略，并對其進行分析，然后據(jù)此揭示被試心理活動的過程及其規(guī)律。數(shù)概念測查量表共分為六個部分，分別為數(shù)算技能、基數(shù)概念、序數(shù)概念、比較能力、數(shù)量守恒概念、數(shù)的運算。另外，為了探究家庭因素的影響，自編了家長問卷和教師問卷。家長問卷包括家庭所在地、家庭結構、家庭教養(yǎng)方式、家庭學習環(huán)境、撫養(yǎng)人受教育程度等家庭信息。教師問卷包括教師基本情況、數(shù)學教學情況、學校情況等。本研究還結合了對家長和教師的非結構性訪談作為輔助。研究結果通過SPSS22.0進行分析。

(三)信度分析和效度分析

本研究屬于一份測試進行一次測查，所以適用于檢驗內(nèi)部一致性信度(internal consistency reliability)中的克龍巴赫Alpha系數(shù)?？她埌秃誂lpha系數(shù)(也稱Alpha系數(shù))估計方法是針對各種計分方式的題型進行估計，要求測驗對一批被試測試一次。通過SPSS22.0中的信度分析(Reliability Analyze)，總量表的信度系數(shù)α=0.845，說明測試題具有較高的信度。

采用“方差極大旋轉(zhuǎn)法”對數(shù)概念測查量表的30道題主成分因子分析，結果表明：KMO值為0.70，Bartlett球形檢驗的結果達到了顯著水平(p<0.001)，表明數(shù)據(jù)適合做因子分析，總體解釋率為69.78%。說明測試題具有較好的效度。

三、6～8歲兒童數(shù)概念測驗統(tǒng)計結果

(一)6～8歲兒童數(shù)概念測驗總分的描述性統(tǒng)計

本測驗的滿分為76分，在研究中，總均分為63.99分，有6.4%的兒童獲得了滿分76分，有0.4%的兒童得了最低分29分，如圖1，總分分布呈正偏態(tài)，說明6～8歲兒童數(shù)概念總體發(fā)展較好。

圖1 6～8歲兒童數(shù)概念分數(shù)分布表

(二)6～8歲兒童數(shù)概念測驗結果的比較分析

1.性別對6～8歲兒童數(shù)概念水平的影響

本研究中被試包括男生224名，占39.86%，女生338名，占60.14%。此部分運用獨立樣本T檢驗來考查性別對6～8歲兒童數(shù)概念水平是否有顯著影響。性別對6～8歲兒童數(shù)概念水平未表現(xiàn)出顯著影響(p>0.05)，即性別間方差不齊。在總分(T=1.298，df=560，p>0.05)、數(shù)算技能(T=-0.97，df=560，p>0.05)、基數(shù)概念(T=3.86，df=560，p<0.01)、序數(shù)(T=1.61，df=560，p>0.05)、比較(T=5.04，df=560，p<0.01)、數(shù)量守恒(T=-0.40，df=560，p>0.05)及數(shù)的運算(T=0.79，df=560，p>0.05)中只有基數(shù)概念和比較技能表現(xiàn)出顯著差異，在總分、數(shù)算技能、序數(shù)概念、數(shù)量守恒和數(shù)的運算方面都未呈現(xiàn)出顯著差異。從均分和標準差的數(shù)據(jù)來看，如表2和圖2，男生的分數(shù)在基數(shù)概念、序數(shù)、比較、數(shù)的運算和總分比女生的分數(shù)高，女生只在數(shù)算技能和數(shù)量守恒方面分數(shù)高于男生，而男生總分的標準差更大，說明男生整體分數(shù)高于女生，但個體差異較大。

表2 性別對6～8歲兒童數(shù)概念影響分析表

圖2 6～8歲男女兒童數(shù)概念分數(shù)分布表

2.年齡對6～8歲兒童數(shù)概念水平的影響

在樣本中，6歲兒童68名、7歲兒童238名和8歲兒童256名，通過單因素方差分析(One-Way ANOVA)分析年齡對6～8歲兒童數(shù)概念的影響，結果顯示：兒童數(shù)概念的年齡主效應顯著(F=22.99，p<0.01)，由表3可以看出，除了基數(shù)概念在年齡上沒有顯著差異外，其他五項和總分都表現(xiàn)出顯著差異。運用LSD多重事后比較，考察三個年齡之間的差異性，在總分中，6歲和7歲(MD(6-7)=-6.95，p<0.01)、6歲和8歲(MD(6～8)=-8.63，p<0.01)、7歲和8歲(MD(7-8)=-1.68，p<0.05)均存在顯著差異。說明兒童個體的成長可能對兒童數(shù)概念的發(fā)展起到促進作用，是否是決定性因素還需要進一步檢驗。

3.年級對6～8歲兒童數(shù)概念水平的影響

本研究中被試分布，學前兒童64名，占11.4%；小學一年級兒童380名，占67.6%；小學二年級兒童64名，占11.4%；小學三年級兒童54名，占9.6%。通過單因素方差分析(One-Way ANOVA)分析年級對6～8歲兒童數(shù)概念的影響，結果顯示，如表3：兒童數(shù)概念的年級主效應顯著(F=31.00，p<0.01)，六個項目和總分在年齡上都呈現(xiàn)顯著差異。運用LSD多重事后比較，考察四個年級之間的差異性，在總分中，學前兒童和小學一年級兒童(MD(學前兒童—小學一年級)=-7.47，p<0.01)、學前兒童和小學二年級兒童(MD(學前兒童—小學二年級)=-6.06，p<0.01)、學前兒童和小學三年級兒童(MD(學前兒童—小學三年級)=-15.91，p<0.05)、小學一年級兒童和小學二年級兒童(MD(小學一年級—小學二年級)=1.41，p<0.01)、小學一年級兒童和小學三年級兒童(MD(小學一年級—小學二年級)=-8.44，p<0.01)、小學二年級兒童和小學三年級兒童(MD(小學二年級—小學三年級)=-9.84，p<0.01)。說明學校教學確實會對兒童數(shù)概念的發(fā)展起到作用。

4.家庭所在地對6～8歲兒童數(shù)概念水平的影響

研究中家庭所在地為城市的兒童253名，占45.0%；家庭所在地為鄉(xiāng)鎮(zhèn)的為66名，占11.7%；家庭所在地為農(nóng)村的兒童為243名，占43.2%。通過單因素方差分析(One-Way ANOVA)分析家庭所在地對6～8歲兒童數(shù)概念的影響，結果顯示，如表3：兒童數(shù)概念的家庭所在地主效應顯著(F=16.54，p<0.001)，在總分、數(shù)算技能、比較技能、序數(shù)概念和數(shù)的運算上呈現(xiàn)顯著差異，在基數(shù)概念和數(shù)量守恒概念上未表現(xiàn)出顯著差異。運用LSD多重事后比較，考察三個家庭所在地之間的差異性，在總分中，城市和鄉(xiāng)鎮(zhèn)(MD(城市-鄉(xiāng)鎮(zhèn))=-1.31，p>0.05)差異不顯著，而城市和農(nóng)村兒童(MD(城市-農(nóng)村)=4.27，p<0.001)、鄉(xiāng)鎮(zhèn)和農(nóng)村兒童(MD(鄉(xiāng)鎮(zhèn)-農(nóng)村)=5.58，p<0.001)差異顯著。而在數(shù)量守恒方面均沒有顯著差異。說明不同地區(qū)的教育會對兒童數(shù)概念的發(fā)展起到作用。

5.家庭教養(yǎng)方式及家庭結構對6～8歲兒童數(shù)概念水平的影響

本研究中家庭教養(yǎng)方式為開明型的占75.2%，權威型的占18.2%，縱容型的占5.3%，冷漠忽視型的占1.3%。通過單因素方差分析(One-Way ANOVA)分析家庭教養(yǎng)方式對6～8歲兒童數(shù)概念的影響，結果顯示：兒童數(shù)概念的家庭教養(yǎng)方式主效應不顯著(F=1.77，p>0.05)。被試的家庭結構情況，雙親家庭(與孩子同住)占94.2%，單親家庭(父母一方與孩子同住)占2.6%，隔代撫養(yǎng)(祖父母或外祖父母撫養(yǎng)，不一定同住)占2.6%，寄養(yǎng)家庭(親戚或朋友撫養(yǎng)，雙親不與孩子同住)占0.6%。通過單因素方差分析(One-Way ANOVA)分析家庭結構對6～8歲兒童數(shù)概念的影響，結果顯示：兒童數(shù)概念的家庭結構主效應顯著(F=12.67，p<0.001)。由表3可以看出，在總分、數(shù)算技能、序數(shù)概念、數(shù)量守恒和數(shù)的運算都呈現(xiàn)顯著差異。說明雙親家庭和單親家庭的家庭結構對兒童數(shù)概念的發(fā)展都有促進作用，所以兒童與父母同住對兒童心理發(fā)展較好。

表3 兒童數(shù)概念差異分析表

注：*p<0.05;**p<0.01;***p<0.001。

(三)多因素交互作用對6～8歲兒童數(shù)概念水平的影響

通過交互作用，進一步說明性別在數(shù)概念發(fā)展中的差異。性別與年齡、性別與年級均存在交互作用，而性別與家庭所在地、性別與家庭結構之間不存在交互作用。具體分析如下：

1.年齡*性別的交互作用

對年齡主效應和性別主效應對兒童數(shù)概念總分進行分析，研究表明，年齡主效應差異顯著(F=24.13，p<0.05)，性別主效應差異顯著(F=7.07，p<0.05)，年齡*性別的交互作用差異顯著F=4.317，df=(2，1，562)，p<0.05，這說明6～8歲兒童的年齡和性別對其數(shù)概念成績有顯著的交互作用。如圖3，6歲和7歲時男生的數(shù)概念水平顯著高于女生，8歲時女生的數(shù)概念水平高于男生，但并不顯著。

圖3 6～8歲兒童年齡*性別的交互作用的邊際均值圖

2.年級*性別的交互作用

對年級主效應和性別主效應對兒童數(shù)概念總分進行分析，研究表明，年級的主效應差異顯著(F=32.99，p<0.05)，性別的主效應差異不顯著(F=2.09，p>0.05)，年級*性別的交互作用差異顯著(F=2.869，df=(1，3，562)，p<0.05)，這說明6～8歲兒童的年級和性別對其數(shù)概念成績有顯著的交互作用。如圖4，男生在學前階段時表現(xiàn)出數(shù)概念發(fā)展水平優(yōu)于女生，且差異顯著，而在進入小學之后，兩者之間差異不明顯，一年級的時候男生依然保持著優(yōu)于女生的發(fā)展水平，但在二年級時女生優(yōu)于男生，在三年級時基本無差異。

圖4 6～8歲兒童年級*性別的交互作用的邊際均值圖

綜上所述，6～8歲兒童的數(shù)概念發(fā)展的影響因素中，學校教育確實是重要的一環(huán)。一方面兒童要適應新的學習氛圍和學習方式，另一方面學校的教學也會影響學生的能力發(fā)展。同時父母在這個時期給予兒童陪伴能夠起到重要的促進作用。具體來說，說明個人成長和學校教育皆起到促進作用；不同地區(qū)的教育也會產(chǎn)生差異，在不同地區(qū)上產(chǎn)生差異的是學校教育；在家庭內(nèi)部，家庭的教養(yǎng)方式影響并不明顯，但家庭結構影響比較大，說明父母陪伴的重要性。

四、6～8歲兒童數(shù)概念的發(fā)展特點及影響因素

(一)個體差異較大

兒童學齡初期是數(shù)概念發(fā)展的一個關鍵時期。本研究總體樣本平均年齡為7.33歲，但本研究中仍有四分之一的6～8歲兒童100以內(nèi)的整數(shù)都沒有掌握，證明有些學生仍然沒有完成從形象思維到抽象思維的過渡。所以，根據(jù)研究可以看出6～8歲兒童的數(shù)概念水平整體發(fā)展較好，但個體差異較大。本研究中，差異檢驗的結果男生女生差異并不明顯，通過交互作用的對比，發(fā)現(xiàn)男生與女生數(shù)概念發(fā)展受到年齡和年級的影響。女生在數(shù)算技能和數(shù)量守恒方面分數(shù)高于男生。男生表現(xiàn)出了空間、圖像等方面的右腦優(yōu)勢，女生則表現(xiàn)出了理解符號、文字的左腦優(yōu)勢，可以看出生物因素起到的奠基作用。男生在6歲時表現(xiàn)出了優(yōu)于女生的數(shù)學學習能力，數(shù)概念發(fā)展優(yōu)于女生，女生發(fā)展較為平穩(wěn)，到了8歲左右就基本和男生沒有差距了。而生物因素也同時決定了每個兒童之間個體差異較大，大腦認知發(fā)展的快慢也造成了個體差異的現(xiàn)象。當然，在生物因素的奠基下，后天的培養(yǎng)和促進也至關重要，男生雖然在前期發(fā)展較好，但由于天性活潑，在學校里更容易感到被限制，所以在學校適應過程中，男生適應過程更長，更容易出現(xiàn)適應問題。所以并不能單一地判斷男生與女生的學業(yè)差異，要能夠看到男生與女生在不同年齡階段的差別，并分析產(chǎn)生差異的原因。綜上可見生物因素是兒童數(shù)概念發(fā)展的前提因素。

(二)陪伴促進成長

研究結果表明，家庭所在地和家庭結構對6～8歲兒童數(shù)概念發(fā)展有較明顯的影響。兒童在父母陪伴的狀態(tài)下，數(shù)概念發(fā)展得更好，而在家庭結構方面，雙親陪同的兒童和隔代撫養(yǎng)的兒童占多數(shù)，直系雙親比隔代雙親對兒童數(shù)概念的促進更大。在本研究中出現(xiàn)了有關“陪伴”的四個現(xiàn)象。首先，陪伴無關是否雙親。無論是父母任何一方，能夠給予兒童足夠多的陪伴，對于兒童智力因素與非智力因素都可能會有所促進，在數(shù)概念發(fā)展方面表現(xiàn)得十分突出，所以不能武斷地說單親會亞于雙親。即使是雙親，沒有給予兒童陪伴，兒童的數(shù)概念發(fā)展依然受到限制，所以研究結果也說明了父母的陪伴是重要因素，是否雙親并不是決定因素。第二個現(xiàn)象是社會壓力和陪伴時間的沖突。學齡階段的兒童，有34.8%的父親年齡在30～35歲之間，有43.2%的父親年齡在36～40之間，有41.3%的母親年齡在30～35歲之間，有35.5%的母親年齡在36～40之間。也就是說，將近80%的父母為80后和90后，這個階段的父母處于事業(yè)的上升期，多為獨生子女，處于“上有老下有小”的階段，隨著國家開放“二胎”政策的實行，一部分父母已經(jīng)或準備再生一胎，因此，這個階段的父母工作和生活壓力均較大。而有工作的女性因同時承擔工作和生活的壓力更難有時間和精力陪伴孩子，這也造成了陪伴的缺失。第三個現(xiàn)象是陪伴中的父親角色缺失。在本研究中，父親無業(yè)或待業(yè)的比例是1.9%，母親無業(yè)或待業(yè)的比例為21.9%，父親承擔了更多的家庭責任，但少有時間陪伴子女。第四個現(xiàn)象是陪伴需要知識儲備?；谏鐣?jīng)濟發(fā)展和社會壓力，父母因工作而無法陪伴子女的情況越來越多，隨之隔代撫養(yǎng)的比例也在增加，尤其在農(nóng)村地區(qū)，許多兒童因此失去了父母的陪伴。而陪伴他們的長輩還存在不識字的情況，只做到了保護其安全和維持其溫飽，教育方面表示力不從心。在研究中能夠有效陪伴子女的父母均能夠運用數(shù)學知識對子女進行指導，這個階段的父母是具有較好的知識基礎的，這對兒童數(shù)概念形成的幫助很大。而在訪談中有很多家長反映不知道如何指導孩子。這四種現(xiàn)象都使本研究結果突出了父母陪伴對兒童數(shù)概念發(fā)展的重要作用。

(三)地區(qū)差異明顯

城鄉(xiāng)之間教育資源分配的不均衡是當下社會亟待解決的教育問題之一，這也是兒童數(shù)概念發(fā)展過程中的重要的社會因素之一。本研究中地區(qū)差異體現(xiàn)在物質(zhì)資源和人力資源。在物質(zhì)資源方面，在訪談中，有些地區(qū)已經(jīng)開始實踐“互聯(lián)網(wǎng)+教育”和“人工智能+教育”的時候，農(nóng)村地區(qū)依然是黑板粉筆，即使配有現(xiàn)代化工具，很多教師也不會使用，物質(zhì)的差距也造成了教學質(zhì)量的差距。學生在6～8歲之間需要具體形象事物的刺激和抽象思維的培養(yǎng)，而許多地方因為物質(zhì)工具的缺乏，難以適應兒童認知的發(fā)展。在人力資源方面，地區(qū)間的教師資源差異也較大。通過教師問卷，30歲以下的教師占51.4%，教齡五年以下的教師占51.4%，說明年輕教師和教齡短的老師居多。有近四分之一的教師在執(zhí)教生涯中換過工作單位，其中更換單位的年齡在30歲以下的占67%，因此年輕教師的流動性較大。通過訪談得知，城鄉(xiāng)教師流動的原因并不相同，城鎮(zhèn)教師的流動主要與學校的人事政策有關，合同制的教師居多；而農(nóng)村教師的流動主要是由于生活方面的問題。由于社會因素引發(fā)的教師的流動性，導致兒童需要不斷適應不同教師的風格，這也會影響兒童數(shù)概念的發(fā)展，進而影響數(shù)學學業(yè)成績。兒童既要適應從幼兒園到小學的過渡，又要不斷適應不同教師的教學風格，這可能導致兒童產(chǎn)生心理適應的種種問題。另外，在學前階段也導致了地區(qū)差異。通過訪談得知，在學前階段，城市的兒童更早地接觸了數(shù)學教育，部分省份在幼兒園入園就已經(jīng)開始了以具體形象為主的數(shù)學教學。一些農(nóng)村的幼兒園由于教師缺乏、資源有限等原因，保育功能大于教育功能，教學質(zhì)量和教學內(nèi)容都相對滯后，這也是導致農(nóng)村兒童的數(shù)概念發(fā)展滯后于城市兒童的原因之一。

五、6～8歲兒童數(shù)概念的發(fā)展策略

(一)關注個體差異

要關注個體差異，首先要把握兒童數(shù)概念發(fā)展的“整體性”，從整體性中看到個體的差異。“整體性”體現(xiàn)在兩個方面：一方面是要把兒童視作一個發(fā)展的整體，兒童的各種能力是互相關聯(lián)的，而這些能力是蘊含在文化背景之中的。例如在數(shù)字詞語的知識和某種語言的詞匯之間存在一個顯著的相關，兒童擁有更大的詞匯量有助于學習數(shù)學[8]，而語言詞匯的學習不僅依靠先天的因素，也有賴于嬰兒早期父母與他們的互動[9]。兒童是在文化互動過程中成長起來的，所以6～8歲是兒童數(shù)概念發(fā)展的關鍵時期，這個時期的兒童會受到家庭、幼兒園和小學三個主要學習場地的共同影響，三種情境中蘊含的文化因素不盡相同，因此“整體性”要同時考慮兒童成長的縱向因素和文化情境的橫向因素。另一方面是在兒童個體發(fā)展過程中，家長和教師要能夠把握兒童數(shù)概念發(fā)展的整體狀態(tài)，并從整體中看到兒童個體在數(shù)概念發(fā)展的差異性，先確認兒童個體數(shù)概念發(fā)展水平處于整體的哪個階段，再詳細分析兒童的數(shù)概念各個維度的發(fā)展水平，通過正確分析兒童在數(shù)學方面表現(xiàn)出來的現(xiàn)象及問題，給予適合學生個體發(fā)展的指導。比如對于男生數(shù)學能力發(fā)展較早的現(xiàn)象，及時發(fā)現(xiàn)并給予更多數(shù)學方面的刺激；而對于女生的數(shù)學問題，可能剛開始接觸時表現(xiàn)不突出，但在培養(yǎng)過程中要保持積極的心態(tài)，耐心地教導，循序漸進地發(fā)展數(shù)概念。在教學中，教師能夠在入學初期充分了解學生，依照學生的差異而制定適合該班級兒童的教學策略，在教學和生活過程中，發(fā)現(xiàn)兒童表現(xiàn)出的不適應狀態(tài)，并及時幫助兒童度過心理適應期，在學習的態(tài)度和情感上給予幫助和鼓勵，這會促進兒童數(shù)概念的發(fā)展。

(二)實現(xiàn)有效陪伴

研究說明了有效陪伴對兒童數(shù)概念的影響。家庭內(nèi)部注重父母的陪伴，給予兒童更多的學習內(nèi)容和有效的指導，增加兒童接觸事物的機會，在生活中增加數(shù)學知識的滲透，給兒童創(chuàng)設一個良好的家庭環(huán)境和和諧的家庭氛圍，增加對兒童的有效陪伴。比如在陪伴子女玩積木時，會通過顏色和形狀的數(shù)量，引入數(shù)學的知識。20世紀中葉的“開端方案”的計劃，專教貧窮家庭中的媽媽怎樣和兒童講話、怎樣和兒童玩、怎樣把自發(fā)活動的機會多交給兒童等[10]。在家庭生活中，孩子健康并且能夠良好地與母親互動，母親可以準許孩子獲得非常多的機會來自主做各種事情。父母與兒童之間的交流不僅是提供一種知識的支架，也在分享共同的背景知識[11]193-195，這是陪伴兒童成長的要義。家庭中可以增加與兒童“談判式”的互動，在運用支架的形式進行親子互動時，通過在特定語境中運用語調(diào)、動作、詞匯等信號提出數(shù)學方面的問題，并把關注的焦點放在共同的環(huán)境上，將數(shù)學抽象的概念融入具體生活當中，建立其中的“關聯(lián)”，也就是說在親子交流時不僅建立了一個共同關注的內(nèi)容，還建立了共同預設的內(nèi)容[12]。

(三)文化社會因素

要解決社會文化因素對學校和家庭的影響，未來在社會治理研究領域可以關注幾個問題。第一是如何縮小城鄉(xiāng)差距，包括基礎設施建設和精神文化建設兩個主要的方面，讓更多地人愿意從“走出去”轉(zhuǎn)變?yōu)椤白呋貋怼?。第二是隨著現(xiàn)代化和信息化的進程不斷加快，如何利用科學技術促進“互聯(lián)網(wǎng)+教育”的發(fā)展。第三是如何發(fā)揮當?shù)匚幕姆e極功能，促進教育的發(fā)展，多角度地解決兒童數(shù)概念發(fā)展過程中的問題。第四是如何通過教育改善當?shù)亟?jīng)濟狀況，并提高當?shù)厝说慕逃庾R，通過意識促進實踐，使教育事業(yè)形成良性循環(huán)，實現(xiàn)教育脫貧。那么針對本研究，著眼點是教師，尤其是社會資源欠缺地區(qū)的教師培養(yǎng)機制的建設，首先要考慮年輕教師的職業(yè)發(fā)展和個人生活問題。如何建設良好的發(fā)展平臺，如何吸引優(yōu)秀的師范生來本地從教，如何幫助年輕教師解決工作與生活空間上和時間上相矛盾的問題。其次，在實現(xiàn)輪崗制度的基礎上，如何保證偏遠農(nóng)村地區(qū)的師資數(shù)量和教學質(zhì)量，根據(jù)地方需求配備教師。再次，是教師數(shù)學教學能力的培訓，內(nèi)容包括學生數(shù)學能力發(fā)展的特點、不同特點適合的教學方式、心理因素和社會因素的影響等。最后，要完善學前教育，尤其是偏遠地區(qū)，要解決學前教育規(guī)模有限、兒童可利用的教學資源比較匱乏、教師的教學水平也相對較低、兒童接受學前教育的覆蓋面較小等問題。

六、結語

本文研究結果驗證了“雙邊發(fā)展觀”。未來研究的方向：在個體層面，進一步找到促進兒童數(shù)概念發(fā)展關鍵期的積極因素，擴大研究的年齡范圍，結合縱向研究，找到兒童數(shù)概念的發(fā)展脈絡。在學校層面，關注到性別發(fā)展的區(qū)別，建立兒童數(shù)概念分級測評系統(tǒng)，細化評價標準，如何設計教學能夠適應兒童數(shù)概念發(fā)展特點。在社會層面，如何在已有社會現(xiàn)象的情況下，有效解決社會因素帶來的影響，并且如何辦面向未來的教育，如何根據(jù)未來的需求聚焦兒童數(shù)學能力的提高。希望能夠通過構建學術共同體，實現(xiàn)政策建設、理論建設和實踐教學的有機結合。