裴德昭，李艷婷

(上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海200240)

多元控制圖是同時(shí)監(jiān)控多個(gè)質(zhì)量指標(biāo)的控制圖，很多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究。Hotelling[1]提出了Hotelling T2控制圖。Lowry等[2]提出多元指數(shù)移動(dòng)平均(MEWMA)控制圖。Croseier[3]提出多元累積和(MCUSUM)控制圖。Makis[4]提出一種尋找最小平均成本及最優(yōu)控制限的算法并設(shè)計(jì)了多元Bayesian控制圖。Qiu[5]對(duì)多元控制圖的研究進(jìn)行了總結(jié)。

大部分多元控制圖被設(shè)計(jì)用于具有正態(tài)分布數(shù)據(jù)的監(jiān)控，在非正態(tài)條件下監(jiān)控效果并不理想。根據(jù)Qiu[6]的分析，關(guān)于非正態(tài)分布監(jiān)控的研究主要分為2個(gè)方向。1)對(duì)傳統(tǒng)參數(shù)控制圖的改進(jìn)。一些學(xué)者(Borror等[7]，Stoumbos等[8]，Testik等[9])認(rèn)為若參數(shù)變換合理，基于正態(tài)分布的控制圖仍可用于非正態(tài)分布的監(jiān)控。2) 發(fā)展面向未知分布的多元非參控制圖。Qiu等[10]認(rèn)為傳統(tǒng)的參數(shù)轉(zhuǎn)換只能改善控制效果，在很多運(yùn)用中并不能達(dá)到理想的效果。同時(shí)，當(dāng)受控樣本過少時(shí)，參數(shù)估計(jì)準(zhǔn)確程度的下降也會(huì)影響最終監(jiān)控效率。因此，多元非參控制圖在應(yīng)對(duì)未知分布監(jiān)控的情況時(shí)更有潛力。

Liu[11]基于數(shù)據(jù)深度設(shè)計(jì)控制圖。Hawkins等[12]將未知參數(shù)向量轉(zhuǎn)化為已知參數(shù)向量，設(shè)計(jì)自啟動(dòng)結(jié)構(gòu)的EWMA控制圖。Deng等[13]運(yùn)用實(shí)時(shí)對(duì)比(RTC)的方法設(shè)計(jì)非參控制圖。Li等[14]基于空間符號(hào)和數(shù)據(jù)深度設(shè)計(jì)了多元CUSUM控制圖等。許多控制圖應(yīng)用需要一些前提條件。Sun等[15]運(yùn)用支持向量機(jī)計(jì)算核距離，在T2控制圖基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了K控制圖。Qiu[16]基于對(duì)數(shù)線性模型設(shè)計(jì)多元CUSUM控制圖。Zou等[17]通過構(gòu)造在橢球方向分布簇內(nèi)仿射不變的符號(hào)檢驗(yàn)，設(shè)計(jì)多元EWMA控制圖。這些控制圖需要足夠的受控樣本提取信息。Sullivan等[18]在Lowry等[2]的基礎(chǔ)上提出自啟動(dòng)結(jié)構(gòu)的多元EWMA控制圖。Zou等[19]將套索算法(LASSO)變量挑選與貝葉斯信息準(zhǔn)則(BIC)相結(jié)合設(shè)計(jì)多元統(tǒng)計(jì)控制方法。Zou等[20]基于空間秩設(shè)計(jì)多元EWMA控制圖。當(dāng)變量數(shù)過大時(shí)，這些控制圖的表現(xiàn)效果并不理想。Chen等[21]提出的面向分布未知的EWMA控制圖很好地解決了高維度監(jiān)控的問題。

已有的多元非參控制圖運(yùn)用了很多非參數(shù)檢驗(yàn)方法。Chen等[21]將Bickel[22]提出的多元經(jīng)驗(yàn)分布的檢驗(yàn)方式與Wilcoxon秩和檢驗(yàn)結(jié)合，設(shè)計(jì)了EWMA控制圖。Mukherjee等[23]提出了一種將Wilcoxon秩和檢驗(yàn)與Ansari-Bradley檢驗(yàn)相結(jié)合的Shewhart控制圖。Zou等[17]提出基于多元符號(hào)檢驗(yàn)的EWMA控制圖。Li等[14]在空間符號(hào)檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了CUSUM控制圖。Boone等[24]提出基于Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)的Shewhart控制圖。Zhou等[25]將多元擬合優(yōu)度檢驗(yàn)與最小生成樹結(jié)合，設(shè)計(jì)SMMST控制圖。Li等[26]基于Mann-Whitney雙樣本檢驗(yàn)設(shè)計(jì)CPDP控制圖。Chowdhury等[27]運(yùn)用Cucconi檢驗(yàn)設(shè)計(jì)Shewhart控制圖。然而，很多檢驗(yàn)對(duì)于小樣本、高維度的數(shù)據(jù)并沒有很好的檢出力。Biswas等[28]在2014年提出了在高維數(shù)據(jù)且未知分布情況下的一種基于游程檢驗(yàn)的雙樣本檢驗(yàn)方法，并證明該方法在面對(duì)小樣本、高維度數(shù)據(jù)時(shí)有很好的效果。

游程檢驗(yàn)是以游程個(gè)數(shù)或游程長度為統(tǒng)計(jì)量所做的兩分變量的隨機(jī)性檢驗(yàn)，用于檢驗(yàn)一組變量數(shù)列有無趨勢項(xiàng)，也可以檢驗(yàn)兩組變量有無顯著差異，在總體分布不明確時(shí)也有良好的檢驗(yàn)效果。在Nelson[29-30]之后，游程檢驗(yàn)用于控制圖設(shè)計(jì)的研究很少。Zhou等[25]運(yùn)用最小生成樹設(shè)計(jì)的自啟動(dòng)結(jié)構(gòu)控制圖，并論證了在較大漂移時(shí)比Zou等[20]的SREWMA控制圖效果好。

針對(duì)受控樣本少、高維度、分布未知、變量相關(guān)性未知等條件的數(shù)據(jù)監(jiān)控，本文結(jié)合Biswas等[28]的基于游程檢驗(yàn)的雙樣本檢驗(yàn)，提出了非參控制圖HAMEWMA。通過蒙特卡洛模擬，分析多種參數(shù)組合條件下平均運(yùn)行鏈長(ARL)的表現(xiàn)。對(duì)比Chen等[21]列舉的DFEWMA、SREWMA、SSEWMA和RTC控制圖，證明在較大漂移時(shí)本控制圖表現(xiàn)良好。選擇Chen等[21]作對(duì)比的原因：首先其選取的變量數(shù)多，受控樣本量少，變量之間有相關(guān)性，且選擇了多種分布，滿足橫向比較的條件；其次這篇論文是本領(lǐng)域較新的研究成果，對(duì)近幾年多個(gè)控制圖進(jìn)行比較總結(jié)，數(shù)據(jù)有很強(qiáng)的借鑒意義。

1多元非參控制圖HAMEWMA設(shè)計(jì)

1.1基于Kruskal的最短漢密爾頓路徑

設(shè)一個(gè)無向圖G中有N個(gè)頂點(diǎn)，漢密爾頓路徑H*是將N個(gè)頂點(diǎn)用N-1段連起來，且每個(gè)頂點(diǎn)的自由度不超過2。對(duì)于擁有N個(gè)頂點(diǎn)的圖G，共有N/2條漢密爾頓路徑。N-1段長度加和最小的路徑，即為最短漢密爾頓路徑。挑選最短漢密爾頓路徑的方法有很多，例如，遺傳算法[31]、粒子群算法[32]、隨機(jī)蛙跳算法[33]等。但通常情況下，啟發(fā)式算法得到漸優(yōu)的結(jié)果，形成的最短漢密爾頓路徑不唯一，導(dǎo)致檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量具有隨機(jī)性。

Biswas等[28]運(yùn)用Kruskal的思想得到最短漢密爾頓路徑。先對(duì)圖G中的所有邊從小到大進(jìn)行排列，以最小邊為最短路徑的入選段，依次入選；若之后的入選段與之前的段能形成環(huán)，或者加入后單個(gè)頂點(diǎn)的自由度大于2，則放棄該入選段；依次下去，直到遍歷圖G中所有邊；最終得到唯一的最短漢密爾頓路徑。

圖1展示了將6個(gè)樣本點(diǎn)排成最短漢密爾頓路徑的過程。(a)表示圖G中有A、B、C、D、E、F6個(gè)點(diǎn)，有21條邊。(b)～(d)表示依次選擇最短邊(A,C)、(D,F)和(B,E)作 為入選段。(e)表示選擇(C,F)作為入選段，與之前入選段不構(gòu)成環(huán)且最大自由度在C、F取得，均為2，滿足入選規(guī)則。(f)中(B,C)＜(A,B)，應(yīng)考慮入選(B,C)，但其加入導(dǎo)致C的自由度大于2，不滿足入選規(guī)則，故選擇(A,B)。

根據(jù)上述形成的最短漢密爾頓路徑設(shè)計(jì)游程檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并構(gòu)造多元非參控制圖。

圖1基于Kruskal的最短漢密爾頓路徑形成示意圖Figure 1 Schematic diagram of the shortest Hamiltonpath based on Kruskal

1.2多元非參控制圖HAMEWMA的構(gòu)造

原假設(shè)H0為所有的樣本點(diǎn)來自同一分布，備擇假設(shè)H1為S2中存在單個(gè)變點(diǎn)τ將S分為2部分，即前一部分樣本點(diǎn)x1,···,xτ來自分布F0，后一部分樣本點(diǎn)xτ+1,···,x m0+n來自分布F1，即

將S對(duì)應(yīng)到圖G中的m0+n個(gè)頂點(diǎn)，x i與x j之間的距離記為‖x i-x j‖，即樣本點(diǎn)x i與x j間的歐氏距離。運(yùn)用Kruskal方法得到最短漢密爾頓路徑 H*， H*有m0+n-1段，每段記為Ut(1≤t≤m0+n-1)，得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

其中,

因?yàn)門m0,n使用最短漢密爾頓路徑 H*中的秩，以及x1,···,x m0+n間的可交換性，所以高維和單維均與分布無關(guān)。參考Mood[34]，在H0成立的條件下

根據(jù)上述公式可得Tm0,n的概率分布。

若原假設(shè)H0成立，則 H*中會(huì)有2部分樣本點(diǎn)混合均勻的趨勢，導(dǎo)致T m0,n較大；若H0不成立，則H*中同一部分樣本點(diǎn)會(huì)相距很近，導(dǎo)致T m0,n較小。令控制限為hm0,n，當(dāng)T m0,n＜hm0,n時(shí)拒絕H0，表明存在變點(diǎn)且為檢測樣本中第n個(gè)樣本點(diǎn)。

控制圖常用的性能評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是平均運(yùn)行鏈長ARL(average run length)，設(shè)每個(gè)檢測樣本中數(shù)據(jù)的出界概率為Pα，則ARL=1/Pα，需要調(diào)節(jié)控制限hm0,n達(dá)到預(yù)期的Pα。hm0,n由T m0,n的分布決定，而Tm0,n的分布是離散的且隨著參數(shù)m0,n值的變化而變化，如表1所示。假設(shè)(m0,n)=(50,5)，Tm0,n最小為2，最大為11，共有10個(gè)可能值。根據(jù)式(5)和式(6)分別計(jì)算所取值的概率。當(dāng)hm0,n=4，有0.013%的概率出界；當(dāng)hm0,n=5，有0.160%的概率出界；當(dāng)hm0,n=6，有0.561%的概率出界；當(dāng)hm0,n=9，有33%的概率出界。

表1T m0,n的概率表Table 1 Probability table of T m0,n

本文考慮建立指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均(EWMA)控制圖，將歷史數(shù)據(jù)里蘊(yùn)含的過程信息累積，達(dá)到快速報(bào)警的目的。

根據(jù)式(7)得到EWMA統(tǒng)計(jì)量Zm0,n。E xm0,n(由式(5)和式(6)得到)為受控樣本為m0，檢測樣本為n時(shí)的Tm0,n的期望。λ為平滑系數(shù)，EWMA控制圖通常選擇λ為0.05，0.1或0.2。因?yàn)棣巳≈递^小時(shí)漂移更靈敏，同時(shí)參考Chen等[21]，本文取λ為0.05，0.1。

當(dāng)m0固定時(shí)，n過大會(huì)增加求取hm0,n的計(jì)算量，同時(shí)，時(shí)間軸上相距較遠(yuǎn)監(jiān)測點(diǎn)的影響研究價(jià)值不大。因此，考慮設(shè)置滑動(dòng)窗口，當(dāng)監(jiān)控樣本數(shù)大于滑動(dòng)窗口寬度時(shí)，新的樣本點(diǎn)會(huì)取代窗口中最久的樣本點(diǎn)形成新的檢測窗口。此外， H*是基于樣本點(diǎn)間的歐氏距離生成的，需要保證每個(gè)變量的改變對(duì)總體距離的影響相同。因此，在監(jiān)控前需依次對(duì)各變量歸一化。p維樣本向量根據(jù)式(8)、式(9)分別得到受控樣本m0的均值、標(biāo)準(zhǔn)差，根據(jù)式(10)歸一化。

基于上述分析，本文提出HAMEWMA控制圖。該控制圖的平均運(yùn)行鏈長計(jì)算方法如下。

步驟1S1={x1,···,xm0}為受控情況下的m0個(gè)p維樣本向量，對(duì)所有變量數(shù)據(jù)歸一化。

步驟2設(shè)定滑動(dòng)窗口寬度wmax以及平滑系數(shù)λ的值。

步驟3設(shè)定L的值并計(jì)算控制線

步驟4設(shè)定HAMEWMA控制圖統(tǒng)計(jì)量的初始值Zm0,0=0。

步驟5根據(jù)式(5)和式(6)計(jì)算樣本組成( m0,n)為(m0,1),···,(m0,wmax)時(shí) Tm0,n的期望，分別記為 E x1,···,

E xwmax。

步驟6根據(jù)式(12)得到Zm0,w。

步驟7將步驟6得到的Zm0,w與LCL比較。若Zm0,w＞LCL，則繼續(xù)計(jì)算 Zm0,w+1并比較其與LCL的大??；若Zm0,w≤LCL，記錄此時(shí)的w-1為RL1。

循環(huán)2 0 000次 得到RL1, ···,R L20000，根據(jù)式(13)計(jì)算當(dāng)前的平均運(yùn)行鏈長ARLnow。

2仿真檢驗(yàn)

因?yàn)镠AMEWMA控制圖的優(yōu)勢為對(duì)高維度、小樣本數(shù)據(jù)的監(jiān)控，所以比較對(duì)象為此條件下表現(xiàn)優(yōu)異的多元非參控制圖：MEWMA控制圖(Lowry等[2])，SSEWMA控制圖(Hawkins等[12])，RTC控制圖(Deng等[13])，MSEWMA控制圖(Zou等[17])，SREWMA控制圖(Zou等[20])和DFEWMA控制圖(Chen等[21])。

2.1仿真設(shè)定

本文仿真是對(duì)于均值漂移的監(jiān)控。漂移模型為

仿真過程中考慮6個(gè)因素的影響。

1)EWMA控制圖的平滑系數(shù)λ，分別取0.05和0.1；

2)受控樣本的數(shù)目m0，分別取15，25，50，75和100；

3)受控樣本的維度p，分別取10，20，30，40和50；

4)漂移量的大小δ，分別取0.5，1.0，2.0和4.0；

5) 滑動(dòng)窗口的寬度wmax，分別取5，10，15，20，25，30，35，40，45和50；

6)監(jiān)控?cái)?shù)據(jù)的分布類型，考慮3種分布。

①多元正態(tài)分布，記為Normp；

②多元t分布，自由度為ξ，記為 tp,ξ，ξ=5；

③多元Gamma分布。參照Stoumbos[8]的方法生成分布。令形狀參數(shù)為φ，尺寸參數(shù)為1，記為G amp,φ，φ=3。

這3種分布均值向量為 Xˉ=(0,···,0)T，協(xié)方差矩陣均設(shè)定為其中，σii=1，σij=0.5|i-j|(i,j=1,2,···, p;i ≠j)。

2.2仿真結(jié)果

通過蒙特卡洛模擬得到在受控和失控狀態(tài)下的平均運(yùn)行鏈長，分別記作IC ARL(ARL in control)和OC ARL(ARL out of control)。在IC ARL相同的情況下，OC ARL越小，表明控制圖性能越好。

2.2.1受控過程分析(IC ARL)

在設(shè)置初始平均運(yùn)行鏈長為200的前提下，比較HAMEWMA控制圖和一些具有代表性的多元非參控制圖(DFEWMA、SREWMA、SSEWMA、MSEWMA、MEWMA、RTC)在監(jiān)控受控?cái)?shù)據(jù)時(shí)的平均運(yùn)行鏈長表現(xiàn)(IC ARL)，結(jié)果如表2和表3所示。

表2受控情況下對(duì)于多元正態(tài)分布HAMEWMA,DFEWMA,SREWMA, SSEWMA,MEWMA以及RTC的控制圖表現(xiàn)Table 2 Control chart performance for the multivariate normal distribution of HAMEWMA,DFEWMA,SREWMA, SSEWMA,MEWMA and RTC under controlled conditions

可以看出，HAMEWMA控制圖的IC ARL可以控制在200左右，且標(biāo)準(zhǔn)差也在200左右，有部分SDRL稍微偏離，但橫向?qū)Ρ绕渌刂茍D，屬于正常現(xiàn)象。表2中的SEWMA、MEWMA、RTC控制圖的IC ARL明顯低于初始設(shè)定值，在實(shí)際監(jiān)控中會(huì)出現(xiàn)頻繁報(bào)警的情況，說明HAMEWMA控制圖在受控狀態(tài)下的監(jiān)控效果穩(wěn)定。

2.2.2失控過程分析(OC ARL)

在不同分布類型、漂移量、滑動(dòng)窗口寬度、數(shù)據(jù)維度、平滑系數(shù)及受控樣本量的條件下，各控制圖在受控狀態(tài)下的整體表現(xiàn)情況如下。

1)滑動(dòng)窗口寬度的影響。由圖2可知，對(duì)于多元正態(tài)分布和多元t分布，當(dāng)δ=0.5時(shí)，隨著滑動(dòng)窗口寬度的增加，ARL逐漸減小，窗口寬度為50的ARL是初始窗口寬度為5的ARL的70%，有大幅減??；當(dāng)δ=1.0時(shí)，ARL基本不受窗口寬度的影響；當(dāng)δ＞1.0時(shí)，隨著窗口寬度增加，ARL逐漸增大并有趨于平穩(wěn)的趨勢。對(duì)于多元Gamma分布，當(dāng)δ=0.5時(shí)，隨著滑動(dòng)窗口寬度的增加，ARL輕微減小后趨于平穩(wěn)；當(dāng)δ＞0.5時(shí)，隨著滑動(dòng)窗口寬度增加，ARL逐漸增大并趨于平穩(wěn)。

2)數(shù)據(jù)維度的影響。由圖3可知，對(duì)于多元正態(tài)分布和多元t分布，當(dāng)δ＜4.0時(shí)，隨著數(shù)據(jù)維度的增加，ARL逐漸減?。划?dāng)δ=4.0時(shí)，ARL逐漸減小并趨于平穩(wěn)。對(duì)于多元Gamma分布，當(dāng)δ＜2.0時(shí)，隨著數(shù)據(jù)維度的增加，ARL逐漸減??；當(dāng)δ≥2.0時(shí)，ARL基本不受數(shù)據(jù)維度的影響，說明對(duì)于多元Gamma分布，HAMEWMA控制圖對(duì)于低維度數(shù)據(jù)的較大漂移也有良好的監(jiān)控效果。

3)受控樣本量的影響。由圖4可知，對(duì)于3種分布，隨著受控樣本量從15增至25，不同漂移量下失控ARL均明顯減?。浑S著受控樣本量從25增至100，失控ARL變化不明顯。由此可得在一定的受控樣本量范圍內(nèi)，HAMEWMA控制圖的性能受樣本量大小的影響并不大，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)較小的受控樣本的監(jiān)控。

4)比較不同控制圖性能及分析平滑系數(shù)的影響。表4選擇m0=50,p=10進(jìn)行控制圖橫向比較，其中，HAMEWMA控制圖選擇滑動(dòng)窗口寬度為5。對(duì)表4的內(nèi)容進(jìn)行整理，得到圖5(a)～(f)。該圖展示了3種分布以及2種平滑系數(shù)時(shí)各控制圖的ARL隨漂移量變化的情況。分析3種數(shù)據(jù)分布，對(duì)于多元正態(tài)分布和多元t分布，當(dāng)δ＞1.0時(shí)，HAMEWMA控制圖表現(xiàn)最優(yōu)；對(duì)于多元Gamma分布，當(dāng)δ＞0.5時(shí)，HAMEWMA控制圖表現(xiàn)最優(yōu)。當(dāng)δ較小時(shí)，DFEWMA，SREWMA，SSEWMA控制圖在λ=0.05條件下表現(xiàn)更好；當(dāng)δ較大時(shí)，DFEWMA，SREWMA，SSEWMA控制圖在λ=0.1條件下表現(xiàn)更好。不同于上述現(xiàn)象，HAMEWMA控制圖在λ=0.05時(shí)的表現(xiàn)優(yōu)于λ=0.1時(shí)。

表3受控情況下對(duì)于多元t分布和多元Gamma分布HAMEWMA的控制圖表現(xiàn)Table 3 Control chart performance for multivariate t distribution and multivariate Gamma distribution of HAMEWMA under controlled conditions

圖2滑動(dòng)窗口寬度與OC ARL的關(guān)系Figure 2 The relationship between sliding window width and OC ARL

圖3數(shù)據(jù)維度與OC ARL的關(guān)系Figure 3 The relationship between data dimension and OC ARL

圖4受控樣本量與OC ARL的關(guān)系Figure 4 The relationship between controlled sample size and OC ARL

2.3仿真結(jié)果討論

結(jié)合2.2的結(jié)果，分析仿真的6個(gè)因素對(duì)監(jiān)控效果的影響。

1)平滑系數(shù)。不同于DFEWMA，SREWMA和SSEWMA控制圖在λ=0.05時(shí)控制大漂移效果好，在λ=0.1時(shí)控制小漂移效果好，HAMEWMA控制圖在λ=0.05時(shí)表現(xiàn)優(yōu)于λ=0.1時(shí)的表現(xiàn)。因此具有較小平滑系數(shù)的HAMEWMA控制圖監(jiān)控效果好。

表4受控樣本m0=50，數(shù)據(jù)維度p=10時(shí)HAMEWMA，DFEWMA，SREWMA，SSEWMA以及RTC的OC ARL比較Table 4 Comparison of OC ARL between HAMEWMA, DFEWMA, SREWMA,SSEWMAand RTC when m0=50 and p=10

圖5 m 0=50,p=10時(shí)HAMEWMA，DFEWMA，SREWMA，SSEWMA和RTC控制圖的OC ARL的比較Figure 5 Comparison of OC ARL between HAMEWMA, DFEWMA, SREWMA,SSEWMA and RTC when m0=50 and p=10

2)樣本量。當(dāng)受控樣本量較小時(shí)，監(jiān)控效果不佳，而隨著樣本量增大到一定范圍，監(jiān)控效果變優(yōu)且基本不受樣本量的影響。

3)窗口寬度。較大的窗口寬度會(huì)增強(qiáng)大漂移的監(jiān)控效果，但會(huì)減弱小漂移的監(jiān)控效果。結(jié)合具體分析，建議選擇較小的滑動(dòng)窗口寬度。

4)維度。數(shù)據(jù)維度越高，HAMEWMA控制圖監(jiān)控效果越好。

5)量。HAMEWMA控制圖與其他多元非參控制圖相比，對(duì)較小的漂移監(jiān)控效果優(yōu)勢不突出，對(duì)較大的漂移監(jiān)控效果良好，甚至達(dá)到參與比較的控制圖中的最優(yōu)水平。

6)分布。HAMEWMA控制圖對(duì)3種分布均有良好的控制效果，對(duì)Gamma分布有更突出的表現(xiàn)。因此，HAMEWMA控制圖對(duì)于未知分布的數(shù)據(jù)具有普適性，并推測對(duì)于非正態(tài)分布有更好的監(jiān)控效果。

3實(shí)例檢驗(yàn)

本文運(yùn)用半導(dǎo)體制造過程中的高維數(shù)據(jù)來說明HAMEWMA控制圖的有效性。采用的數(shù)據(jù)來源于Michael[35]的SECOM數(shù)據(jù)集，記錄區(qū)間為2008年7月到2008年10月，由半導(dǎo)體制造過程中多個(gè)測量點(diǎn)的傳感器采集得到。

數(shù)據(jù)集包含1 567個(gè)數(shù)據(jù)，每個(gè)數(shù)據(jù)由591個(gè)連續(xù)變量組成。數(shù)據(jù)集還提供了一個(gè)分類標(biāo)簽，表示經(jīng)過生產(chǎn)線測試后是否合格(±1)。在這個(gè)數(shù)據(jù)集中，經(jīng)過測試后合格的樣本量為1 463個(gè)，記為合格樣本；不合格的樣本量為104個(gè)，記為不合格樣本。數(shù)據(jù)分析的目標(biāo)是根據(jù)傳感器得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模并監(jiān)控生產(chǎn)質(zhì)量。

該問題屬于高維數(shù)據(jù)監(jiān)控，因此，考慮多變量統(tǒng)計(jì)過程控制(MSPC)的方法。預(yù)處理過程中移除117個(gè)不發(fā)生變化的變量和存在連續(xù)性缺失值的426個(gè)變量，剩余48個(gè)變量。在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行監(jiān)控分析前，判斷數(shù)據(jù)的相關(guān)性及正態(tài)性。以受控樣本為例，先將48個(gè)變量分別記作x1,···,x48，隨機(jī)選取3個(gè)變量評(píng)估其相關(guān)性和正態(tài)性。本文選擇x10、x20、x30進(jìn)行分析。圖6(a)～(c)分別為x10、x20、x30變量間的散點(diǎn)圖，說明任意2個(gè)變量的聯(lián)合分布不符合二元正態(tài)分布；圖6(d)～(f)分別為x10、x20、x30的正態(tài)QQ圖，表明邊際分布也不全是正態(tài)分布。因此，多元正態(tài)性假設(shè)無效，本文期望設(shè)計(jì)的與分布無關(guān)的HAMEWMA控制圖與傳統(tǒng)控制圖相比具有良好的魯棒性。

運(yùn)用HAMEWMA控制圖對(duì)該數(shù)據(jù)集進(jìn)行監(jiān)控。從合格樣本中隨機(jī)抽取m0=50作為受控樣本，設(shè)置控制圖的基本參數(shù)為λ=0.05，ARL0=200，wmax=5。首先根據(jù)參數(shù)設(shè)置仿真得到控制限，其次按順序依次監(jiān)控從剩余合格樣本中隨機(jī)抽取的15個(gè)樣本和不合格樣本，得到如下控制圖(圖7)。在第25個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)判定異常數(shù)據(jù)加入，控制圖報(bào)警。這表明HAMEWMA控制圖可以高效地監(jiān)控高維數(shù)據(jù)流，有很強(qiáng)的實(shí)用性。

圖6 x10,x20,x303變量的散點(diǎn)圖及正態(tài)Q-Q圖Figure 6 Scatterplots of x 10,x20,x30and normal Q-Q plots

圖7 HAMEWMA控制圖對(duì)SECOM數(shù)據(jù)的監(jiān)控效果Figure 7 Monitoring SECOM data by HAMEWMA control chart

4結(jié)論

針對(duì)受控樣本少、高維度、分布未知、變量相關(guān)性未知等條件的數(shù)據(jù)監(jiān)控，本文基于游程檢驗(yàn)的雙樣本檢驗(yàn)，設(shè)計(jì)了多元非參控制圖HAMEWMA。通過仿真和實(shí)例分析，證明其在選擇較小滑動(dòng)窗口寬度，較小EWMA平滑系數(shù)的情況下，對(duì)具有較大漂移的高維數(shù)據(jù)有卓越的監(jiān)控效果；對(duì)于非正態(tài)分布數(shù)據(jù)，HAMEWMA監(jiān)控表現(xiàn)良好甚至優(yōu)于對(duì)正態(tài)分布數(shù)據(jù)的監(jiān)控，例如對(duì)Gamma分布數(shù)據(jù)的監(jiān)控。此外，HAMEWMA控制圖對(duì)小漂移的數(shù)據(jù)監(jiān)控效果一般，需要后續(xù)的研究工作進(jìn)行改進(jìn)。與傳統(tǒng)多元非參控制圖相比，HAMEWMA控制圖有良好的魯棒性和監(jiān)控優(yōu)勢，可在實(shí)際生產(chǎn)控制中運(yùn)用。