秦凈凈，王 宇

（黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 開(kāi)封 475004）

0 引言

振動(dòng)系統(tǒng)包括振動(dòng)源、 振動(dòng)傳遞路徑和振動(dòng)接受結(jié)構(gòu)3 部分［1-3］。研究表明，控制振動(dòng)的噪聲源、切斷傳遞路徑、保護(hù)接受體是減振降噪的3 種措施。因此，研究振動(dòng)傳遞系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型和動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)，可以為解決工程中的振動(dòng)和噪聲問(wèn)題提供有效的途徑，但是清晰地闡述多維路徑的貢獻(xiàn)量并不是一件容易的事情［4-5］。目前，關(guān)于振動(dòng)源、傳遞路徑和接受結(jié)構(gòu)的交互作用的研究還處于初級(jí)階段， 主要集中于實(shí)驗(yàn)方法和能量傳遞方法上［6-8］。張義民等基于隨機(jī)攝動(dòng)法和振動(dòng)系統(tǒng)傳遞路徑靈敏度分析， 提出了一種時(shí)域內(nèi)計(jì)算系統(tǒng)參數(shù)靈敏度和傳遞路徑靈敏度的有效方法， 定義了相應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)和傳遞路徑靈敏度指標(biāo)［9］。 趙薇等建立了具有路徑質(zhì)量的振動(dòng)傳遞路徑系統(tǒng)模型， 將矩陣微分理論與振動(dòng)力學(xué)理論結(jié)合起來(lái)， 對(duì)頻域內(nèi)振動(dòng)傳遞路徑系統(tǒng)的參數(shù)靈敏度進(jìn)行了論述， 探討了接受體頻域動(dòng)力學(xué)響應(yīng)對(duì)路徑參數(shù)靈敏度的影響［10］。但是，受制造環(huán)境、技術(shù)水平、安裝條件等因素的影響，工程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的材料特性、幾何尺寸和邊界條件等參數(shù)變化具有隨機(jī)性［11］。鑒于此，筆者基于一般概率攝動(dòng)有限元法和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)響應(yīng)的隨機(jī)性理論， 試運(yùn)用MATLAB 的一個(gè)附加組件SIMULINK，把傳遞率作為度量指標(biāo)，描述振動(dòng)傳遞路徑系統(tǒng)的路徑傳遞率的排列順序， 并對(duì)其進(jìn)行靈敏度分析， 以期為識(shí)別各傳遞路徑參數(shù)的貢獻(xiàn)度提供理論支持。

1 振動(dòng)系統(tǒng)傳遞路徑分析的理論基礎(chǔ)

1.1 路徑模型

在分析振動(dòng)對(duì)噪聲的影響時(shí)， 常常需要分析激勵(lì)（輸入）和響應(yīng)（輸出）之間的關(guān)系。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，本文選取圖1 所示的單激勵(lì)有阻尼的兩自由度的傳遞路徑系統(tǒng)模型進(jìn)行分析。

根據(jù)牛頓定律，模型的表達(dá)式如式（1）所示。

圖1 振動(dòng)傳遞系統(tǒng)路徑系統(tǒng)模型Fig.1 Vibration transmission system path system model

設(shè)穩(wěn)態(tài)響 應(yīng)為Xs（w）＝Xsei（wt-φ），Xr（w）＝Xrei（wt-φ）。這里Xs和Xr是決定激勵(lì)頻率ω 和系統(tǒng)參數(shù)的實(shí)數(shù)。 將Xs和Xr代入式 （1）， 得到相應(yīng)的特征行列式，如式（2）所示。

經(jīng)過(guò)一系列推導(dǎo)， 將傳遞率定義為實(shí)際傳遞力的力幅與激勵(lì)力幅之比，如式（3）所示。

1.2 路徑傳遞度

考慮到系統(tǒng)參數(shù)的隨機(jī)性，設(shè)隨機(jī)參數(shù)向量b＝（kp1kp2kp3cp1cp2cp3）T代表路徑的隨機(jī)性， 則傳遞力FTpj（j＝1，2，3）為隨機(jī)變量，X（b，w）為外激勵(lì)頻率w和設(shè)計(jì)參數(shù)b 的函數(shù)。

由于X（w）＝Xei（wt-φ），則方程（2）可表示為式（5）。

式（3）兩邊同時(shí)對(duì)b 求導(dǎo)，得式（6）。

2 數(shù)值算例

某振動(dòng)傳遞路徑系統(tǒng)的模型如圖1 所示， 其振源系統(tǒng)的質(zhì)量ms＝8 kg、 阻尼系數(shù)cs＝0.5 N·s／m、剛度ks＝10 N／m，接受系統(tǒng)的質(zhì)量mr＝8 kg、阻尼系數(shù)cs＝1.0 N·s／m、剛度kr＝180 N／m，激勵(lì)幅值（確定性變量）F0＝100 N、頻率w＝100 rad／s。 隨機(jī)路徑以隨機(jī)參數(shù)向量b＝（kp1kp2kp3cp1cp2cp3）T為代表， 路徑的隨機(jī)阻尼系數(shù)和彈性剛度分別服從方差為0.05 的正態(tài)分布，3 個(gè)路徑的阻尼系數(shù)和彈性剛度的均值分別為：cp1＝0.5 N·s／m，cp2＝0.75 N·s／m，cp3＝0.25 N·s／m，kp1＝450 N／m，kp2＝225 N／m，kp3＝300 N／m， 分析此振動(dòng)傳遞系統(tǒng)的各路徑的傳遞率和參數(shù)敏感性。

2.1 數(shù)值模型的建立

對(duì)于振動(dòng)問(wèn)題的求解，傳統(tǒng)計(jì)算模式多借助于數(shù)值方法， 但這種方法需要編制復(fù)雜的計(jì)算程序。SIMULINK 是MATLAB 的一個(gè)附加組件， 也是一種用來(lái)實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)仿真的軟件工具， 可用于實(shí)現(xiàn)各種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（包括連續(xù)系統(tǒng)、離散系統(tǒng)和混合系統(tǒng)）的建模、分析和仿真。

運(yùn)用SIMULINK 建立如圖2 所示模型， 則得到該系統(tǒng)兩個(gè)振型的時(shí)程曲線(xiàn)，如圖3 所示。該系統(tǒng)的固有頻率為w1＝3.939 7 rad／s，w2＝15.308 3 rad／s。

圖2 SIMULINK 模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of SIMULINK model

圖3 穩(wěn)定位移響應(yīng)時(shí)程曲線(xiàn)Fig.3 Stable displacement response time history curve

2.2 路徑傳遞靈敏度分析

分別計(jì)算3 種路徑狀況下各路徑的傳遞率，并繪出路徑傳遞率與激勵(lì)頻率ω 的關(guān)系曲線(xiàn)， 如圖4所示。

圖4 路徑傳遞率關(guān)于激勵(lì)頻率的特性曲線(xiàn)Fig.4 Characteristic curve of path transfer rate with respect to excitation frequency

從圖4 中可以看出，在兩個(gè)固有頻率（w1和w2）處，3 種路徑的傳遞率都很高。 其中，路徑1 對(duì)接受結(jié)構(gòu)振動(dòng)的貢獻(xiàn)度最大，其次是路徑2，最后是路徑3。 因此，在實(shí)際中，應(yīng)更多地關(guān)注路徑1 的參數(shù)變化，以便為抑制振動(dòng)和控制噪聲提供度量依據(jù)。

2.3 振動(dòng)系統(tǒng)路徑阻尼和剛度對(duì)位移響應(yīng)參數(shù)的敏感度分析

為了研究系統(tǒng)振動(dòng)中路徑阻尼和剛度對(duì)位移響應(yīng)的參數(shù)敏感度，以便有效進(jìn)行低振動(dòng)與噪聲設(shè)計(jì)，以及通過(guò)采取相應(yīng)技術(shù)措施把系統(tǒng)的振動(dòng)噪聲降低到符合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的范圍內(nèi)。 分別計(jì)算在3 種路徑情況下，在頻域響應(yīng)過(guò)程中，位移響應(yīng)對(duì)路徑剛度和路徑阻尼的影響程度，結(jié)果如圖5 和圖6 所示。

從圖5 和圖6 可知， 路徑剛度和路徑阻尼對(duì)接受體位移的震蕩趨勢(shì)與系統(tǒng)路徑傳遞率在頻域內(nèi)的振蕩趨勢(shì)相同， 路徑阻尼對(duì)接受體頻域響應(yīng)的影響程度大于路徑剛度的影響程度。 因而路徑阻尼的靈敏度大于路徑剛度的靈敏度， 成為系統(tǒng)重要的路徑參數(shù)。

圖5 位移響應(yīng)對(duì)路徑剛度的靈敏度Fig.5 Sensitivity of displacement response to path stiffness

圖6 位移響應(yīng)對(duì)路徑阻尼的靈敏度Fig.6 Sensitivity of displacement response to path damping

3 結(jié)語(yǔ)

綜上所述， 本文采用基于一般概率攝動(dòng)有限元法和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)響應(yīng)的隨機(jī)性分析方法， 對(duì)頻域內(nèi)振動(dòng)傳遞路徑系統(tǒng)的路徑傳遞率進(jìn)行了探索， 以確定各路徑對(duì)接受結(jié)構(gòu)振動(dòng)的貢獻(xiàn)量， 并對(duì)振動(dòng)傳導(dǎo)路徑系統(tǒng)進(jìn)行了靈敏度分析， 得出以下結(jié)論：（1）SIMULINK 計(jì)算方法簡(jiǎn)單、快捷，其過(guò)程是建立數(shù)學(xué)及仿真模型，并不需要編輯大量的復(fù)雜程序，且所得結(jié)論可靠。（2）路徑剛度和路徑阻尼對(duì)接受體位移的震蕩趨勢(shì)與系統(tǒng)路徑傳遞率在頻域內(nèi)的振蕩趨勢(shì)相同， 路徑阻尼對(duì)接受體頻域響應(yīng)的影響程度大于路徑剛度的影響程度。因而，路徑阻尼的靈敏度大于路徑剛度，是系統(tǒng)路徑的重要路徑參數(shù)。