■福建省磁灶教委辦 陳清傳

“算理”，字面的理解就是計(jì)算的道理，為什么這樣算的理由。在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中，有的學(xué)生雖然懂得算，但卻不知道為什么這樣算，也就是對(duì)算理不甚了解，只知其然，不知其所以然，很多學(xué)生的計(jì)算只是機(jī)械地操練，學(xué)生的計(jì)算能力整體偏弱。

一、趣擺小棒，感悟算理

小棒是孩子們眼中非常熟悉的物品，既直觀(guān)又形象，是教材最常采用的教學(xué)方法之一。小棒好比是一把打開(kāi)數(shù)學(xué)大門(mén)的“金鑰匙”，實(shí)踐證明，巧妙地運(yùn)用“擺小棒”操作活動(dòng)，能使抽象的計(jì)算具體化、深?yuàn)W的算理形象化，又能使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得有趣。

如教學(xué)北師大版一年級(jí)上冊(cè)“一共有幾瓶牛奶（9+5=？）”時(shí)，一般學(xué)生都能正確得出14 這一結(jié)果，但是教學(xué)9+5 的目的不僅僅是讓學(xué)生口算得出結(jié)果，更重要的是要引導(dǎo)學(xué)生展現(xiàn)“湊十法”的思考過(guò)程，明白加法的計(jì)算規(guī)律。特別是低年級(jí)學(xué)生，合理有效地引導(dǎo)學(xué)生利用常見(jiàn)的小棒這一學(xué)具，“數(shù)形結(jié)合”顯得既有必要又有趣味。

教師引導(dǎo)學(xué)生分步、有序地操作：

1、照算式中的數(shù)擺2堆小棒，一堆9根，另一堆5根。提出問(wèn)題思考：怎樣操作，讓人一眼就看出有14根小棒？

2、邊操作邊口述，把5分成了1和4，再把1和9湊在一起得到10，10和4合起來(lái)共14根（圖1），再指定學(xué)生上臺(tái)現(xiàn)場(chǎng)操作，邊操作邊口述，其他學(xué)生認(rèn)真傾聽(tīng)。

3、在學(xué)生擺小棒這一操作探究的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，教師利用課件動(dòng)態(tài)展示從5 中“分”出來(lái)的1 根小棒和9根小棒“合”湊成10的過(guò)程，概括出“湊十法”，明白計(jì)算的道理（圖2）。

（圖1）

（圖2）

有的教師可能會(huì)認(rèn)為學(xué)生都會(huì)算了，還擺小棒會(huì)造成秩序混亂，浪費(fèi)寶貴的教學(xué)時(shí)間，可以省去操作過(guò)程，不用再讓學(xué)生操作小棒。其實(shí)“擺小棒”是一種行為操作，以直觀(guān)的方法獲得計(jì)算經(jīng)驗(yàn)和計(jì)算結(jié)果，是學(xué)生獲取直接經(jīng)驗(yàn)的重要渠道，學(xué)生在操作的過(guò)程中理解“湊十法”的整個(gè)思考過(guò)程。所謂“我經(jīng)歷了，我就懂了”，學(xué)生有了這種操作的經(jīng)歷，會(huì)在腦海中形成直觀(guān)的印象，當(dāng)下次教學(xué)8 加幾，7 加幾時(shí)，頭腦中就會(huì)自覺(jué)地再現(xiàn)“湊十法”的操作過(guò)程，從而達(dá)到培養(yǎng)遷移類(lèi)推能力的目的。

二、妙用點(diǎn)子圖，探究算理

點(diǎn)子圖也是教材常用的引導(dǎo)學(xué)生理解算理的一種教學(xué)方法，教材為什么要用點(diǎn)子圖？教材中提到：低年級(jí)學(xué)生的思維正處在由形象思維向抽象思維過(guò)渡的階段。點(diǎn)子圖是從形象思維到抽象思維的數(shù)學(xué)化過(guò)程，妙用“點(diǎn)子圖”的直觀(guān)載體幫助學(xué)生更好地理解算理、開(kāi)拓學(xué)生的思路，讓學(xué)生能夠運(yùn)用多元化的思維解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，有效提高學(xué)生理解問(wèn)題的能力。例如教學(xué)北師大版三年級(jí)上冊(cè)“一共有多少只螞蟻（兩位數(shù)乘一位數(shù)）12×4”計(jì)算時(shí)，提供給學(xué)生一張點(diǎn)子圖為研究素材，讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，在點(diǎn)子圖中充分暴露思維軌跡，呈現(xiàn)豐富的思考過(guò)程，體會(huì)不同的解題策略和個(gè)性理解。學(xué)生交流算理時(shí)，始終結(jié)合點(diǎn)子圖來(lái)解釋明理。

在利用點(diǎn)子圖充分理解口算算理的基礎(chǔ)上，教材繼續(xù)用點(diǎn)子圖來(lái)突出豎式加法里面兩個(gè)加數(shù)的意義，也揭示了豎式筆算兩個(gè)重要的計(jì)算步驟與口算的聯(lián)系。

學(xué)生通過(guò)觀(guān)察點(diǎn)子圖理解8和40分別在點(diǎn)子圖中的哪個(gè)位置？理解豎式表示的算理是先把12 看成10和2，4×2=8表示每排有4只，2排，就是2個(gè)4有8 只螞蟻，10×2=40 是每排有4 只，10 排表示10 個(gè)4，共40 只螞蟻，再加起來(lái)一共有48 只螞蟻。針對(duì)“4”為什么要寫(xiě)在十位上，8 寫(xiě)在個(gè)位上，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生在圖中找到它所表示的點(diǎn)子數(shù)并說(shuō)清理由。最后學(xué)生通過(guò)對(duì)比明白了兩種寫(xiě)法的道理其實(shí)是相同的，即：都是用一位數(shù)分別去乘另一個(gè)因數(shù)的每一位，再把所得的積相加，只是第二種寫(xiě)法比較簡(jiǎn)潔。

探索算理是為了更好地掌握算法，有數(shù)與形的巧妙結(jié)合，就能化抽象為直觀(guān)地理解算理。在點(diǎn)子圖的幾何直觀(guān)下能更好地把乘法意義從隱性轉(zhuǎn)化為顯性，為學(xué)生更好地理解搭建“腳手架”，直觀(guān)地解釋每一步的算理，溝通了口算和豎式計(jì)算相應(yīng)的聯(lián)系，“先分后合”的思路與乘法豎式計(jì)算的基本思路融為一體，突出了教學(xué)重點(diǎn)，突破了教學(xué)難點(diǎn)。

三、利用數(shù)線(xiàn)，理解算理

數(shù)線(xiàn)作為一種直觀(guān)工具，能幫助小學(xué)生理解數(shù)學(xué)算理。北師大版教材從一年級(jí)就開(kāi)始引入數(shù)線(xiàn)，類(lèi)似“尺子”的數(shù)線(xiàn)實(shí)際上是數(shù)軸的“雛形”，利用數(shù)線(xiàn)既可以體會(huì)數(shù)的順序和比較大小，又可以進(jìn)行計(jì)算：“順著數(shù)”相當(dāng)于加法，“倒著數(shù)”相當(dāng)于減法，可以幫助學(xué)生很好地理解加法和減法的計(jì)算道理，因此，數(shù)線(xiàn)具有重要的價(jià)值。在教學(xué)北師大版二年級(jí)《加與減》中有關(guān)三位數(shù)進(jìn)位或不進(jìn)位加減法時(shí)，如計(jì)算122+149=？，這里教材采用了畫(huà)數(shù)線(xiàn)、撥計(jì)算器、列豎式計(jì)算三種方式，啟發(fā)學(xué)生借助多種直觀(guān)方式獲得計(jì)算結(jié)果。在畫(huà)數(shù)線(xiàn)時(shí)把122作為起點(diǎn)，將149分為100、40、9，因?yàn)槭羌臃ㄋ浴跋蛴翼樦?huà)”，先整百加，再整十加，最后加個(gè)位得出271的結(jié)果。計(jì)算118-57 時(shí)，118 作為起點(diǎn)，因?yàn)槭菧p法所以“向左倒著畫(huà)”，整十、個(gè)位逐一減去，非常地直觀(guān)易懂。

經(jīng)過(guò)實(shí)踐，學(xué)生很喜歡這種方式，學(xué)生更容易依據(jù)數(shù)線(xiàn)理解算理得出結(jié)果，而且不易出錯(cuò)。數(shù)線(xiàn)是一種非常直觀(guān)易懂的方法，等同于分步計(jì)算，學(xué)生容易理解數(shù)的組成和意義，發(fā)現(xiàn)相同數(shù)位要對(duì)齊的計(jì)算道理。教材之所以大量采用畫(huà)數(shù)線(xiàn)的方法解決加與減的計(jì)算就是因?yàn)楫?huà)數(shù)線(xiàn)體現(xiàn)了口算過(guò)程的直觀(guān)化，它幫助學(xué)生直觀(guān)地展示和記錄了計(jì)算的過(guò)程，利于學(xué)生數(shù)感的形成。當(dāng)然，對(duì)于計(jì)算教學(xué)，教材還采用了很多直觀(guān)的方法，如表格、畫(huà)線(xiàn)段、計(jì)數(shù)器等，主要目的就是要讓學(xué)生在領(lǐng)悟算理的基礎(chǔ)上掌握算法，形成計(jì)算技能。不明白算理的算法是機(jī)械的，對(duì)計(jì)算技能的形成是不牢固的，其遷移能力就難以培養(yǎng)，無(wú)法靈活運(yùn)用。在計(jì)算教學(xué)要充分發(fā)揮這些直觀(guān)工具，注重“數(shù)形結(jié)合”幫助學(xué)生理解算理，做到“循理入法，以理馭法”，最終形成牢固靈活的計(jì)算技能。