阮祥燕

數(shù)學(xué)本質(zhì)是學(xué)科教學(xué)的底線，也是教學(xué)靈感的來(lái)源。由于認(rèn)知的階段性，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)知是隨著學(xué)習(xí)進(jìn)程而逐步逼近的。

知識(shí)發(fā)生、形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程，雖連續(xù)但需做必要的停頓。學(xué)生的認(rèn)知一般是由表及里、去粗取精、由此及彼的，自然表現(xiàn)出層次感。提升的關(guān)鍵往往處于由具體到抽象的環(huán)節(jié);教材的層次是教學(xué)設(shè)計(jì)、實(shí)施科學(xué)性和合理性的保證。

基本的數(shù)學(xué)思想方法：抽象、推理、建模。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的本質(zhì)和靈魂，是學(xué)科精神的集中體現(xiàn)。數(shù)學(xué)思想的教學(xué)形態(tài)是滲透，學(xué)生的數(shù)學(xué)思想是逐步感悟的;知識(shí)和技能的教學(xué)也是思想孕育的土壤。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是某個(gè)具體的概念、公式或技巧，而是在它們之間建立關(guān)聯(lián)。 基于聯(lián)系的結(jié)構(gòu)化具有生長(zhǎng)力、保存的持久性和應(yīng)用的靈活性，我們要鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，建立科學(xué)合理的聯(lián)系。

本文結(jié)合小學(xué)階段“圖形與幾何”領(lǐng)域編排結(jié)構(gòu)，嘗試從圖形特征、測(cè)量、觀察三個(gè)方面以本質(zhì)、層次、思想、聯(lián)系四個(gè)視角進(jìn)行解讀，敬請(qǐng)大家批評(píng)指正。

一、圖形的認(rèn)識(shí)

以一年級(jí)下冊(cè)《認(rèn)識(shí)圖形（二）》的教學(xué)為例，教師要明白直觀認(rèn)識(shí)是對(duì)圖形的整體性認(rèn)識(shí)，是以感知（尤其是觀察與操作）為主的認(rèn)識(shí)。直觀認(rèn)識(shí)的結(jié)果是在頭腦里形成圖形的表象，以此作為記憶圖形、識(shí)別圖形、區(qū)別圖形的主要依據(jù)。為了幫助學(xué)生建立長(zhǎng)方形、正方形、三角形和圓的表象，教材采用了“從體到面”的思路：選擇積木畫(huà)圖形→在積木的其他面上尋找同樣的圖形→出示標(biāo)準(zhǔn)的幾何圖形并給出圖形名稱(chēng)→在身邊的物體上找出圖形的實(shí)例，讓學(xué)生經(jīng)歷由幾何體到幾何體的面，再到平面圖形的抽象過(guò)程。這個(gè)思路就是標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)抽象方法——揭示了數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生經(jīng)歷“抽象”的過(guò)程，不僅認(rèn)識(shí)圖形，而且體悟數(shù)學(xué)思想方法。從具體到抽象，再回歸具體，符合學(xué)生形成圖形表象的一般規(guī)律，不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、抽象、概括等能力，而且對(duì)學(xué)生形成初步的空間觀念具有十分重要的意義。這就是這節(jié)課學(xué)習(xí)的本質(zhì)。

再比如幾何學(xué)里的“點(diǎn)”“線”“面”“體”是十分抽象的概念，反映了客觀世界中物體和現(xiàn)象在形方面的本質(zhì)特征。幾何學(xué)里的“線”是沒(méi)有寬度的，在生活中也沒(méi)有原型。因此，本冊(cè)教材中對(duì)“線段”的概念揭示采用了描述性的定義，“把線拉直，兩手之間的一段可以看成線段”，這是一種把具體的物體和現(xiàn)象進(jìn)行抽象的表達(dá)方式。

由此看出，圖形概念的建立，一般包括如下四個(gè)方面：圖形名稱(chēng)的理解、圖形表象的建立、圖形特征的發(fā)現(xiàn)和圖形的定義。這四個(gè)方面也構(gòu)成了對(duì)圖形認(rèn)識(shí)所特有的相互依存的整體。對(duì)這四個(gè)方面內(nèi)容的正確理解，是圖形概念教學(xué)的基礎(chǔ)。

二、圖形的測(cè)量

在我國(guó)，自古以來(lái)計(jì)量長(zhǎng)短稱(chēng)作“度”，計(jì)量容積稱(chēng)作“量”，計(jì)量輕重稱(chēng)為“衡”，計(jì)量長(zhǎng)度、容積、輕重就統(tǒng)稱(chēng)為“度量衡”。用一個(gè)計(jì)量單位去計(jì)量某一個(gè)量，得到的數(shù)值就叫作這個(gè)量的量數(shù)。例如，用“厘米”作單位去計(jì)量一個(gè)物體的長(zhǎng)度，是15厘米，那么15就是量數(shù)，厘米就是計(jì)量單位。

從三年級(jí)上冊(cè)《長(zhǎng)方形和正方形》的學(xué)習(xí)開(kāi)始，進(jìn)入認(rèn)識(shí)平面圖形的第二階段——學(xué)習(xí)常見(jiàn)平面圖形的特征和周長(zhǎng)、面積的計(jì)算。

周長(zhǎng)是對(duì)“一維空間（線）的度量”，可以是“直的”，也可以是“曲的”;面積是對(duì)“二維空間（面）的度量”，可以是“平的”，也可以是“曲的”。兩者的度量本質(zhì)與結(jié)構(gòu)完全相同，都是“度量單位的累加”。因此，建立周長(zhǎng)的概念，我們首先要明確度量的對(duì)象，即“封閉圖形的邊線”;同時(shí)，“一周長(zhǎng)度的度量”也緊扣概念的本質(zhì)，是理解周長(zhǎng)的核心和關(guān)鍵。關(guān)于面積教學(xué)，教材里，沒(méi)有出現(xiàn)面積的明確概念，“物體表面或封閉圖形的大小就是它們的面積”。雖然這樣的敘述表達(dá)了面積的意義，對(duì)學(xué)生形成面積概念有積極的作用，但面積和長(zhǎng)度一樣，也是人與生俱來(lái)的直覺(jué)。因此學(xué)生理解概念并不是知道并記住這句話(huà)，而是聯(lián)系具體材料，以豐富的感性認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)的自主抽象與概括。在教學(xué)平面圖形的面積時(shí)，特別重視“測(cè)量”這一活動(dòng)，這是因?yàn)榛氐矫娣e的本質(zhì)意義上來(lái)：面積是幾何學(xué)的一個(gè)重要的基礎(chǔ)概念，幾何學(xué)起源對(duì)圖形大小的度量。面積的教學(xué)，其核心是如何測(cè)量圖形的大小。如長(zhǎng)方形的面積計(jì)算，教材重在引導(dǎo)學(xué)生用“單位面積測(cè)量長(zhǎng)方形的面積”，感知面積也是可以測(cè)量的，嘗試用“數(shù)”描述“形”。在計(jì)量的過(guò)程中，探索發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)和寬與面積單位個(gè)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而抽象概括出公式。此外，“測(cè)量”作為一種教學(xué)方式的呈現(xiàn)，也能幫助學(xué)生更好地對(duì)面積進(jìn)行有意義的建構(gòu)。

三、圖形的觀察

教材在第一學(xué)段就已開(kāi)始引入確定位置，當(dāng)時(shí)的處理方式是結(jié)合生活實(shí)際，從兩個(gè)維度，用兩個(gè)“第幾”，來(lái)描述一個(gè)物體的位置。如用“我的座位是第幾組第幾個(gè)”來(lái)確定“我”在教室里的位置。到第二學(xué)段抽象出數(shù)對(duì)，學(xué)習(xí)用數(shù)對(duì)來(lái)描述物體在一個(gè)平面中的位置，并在方格紙上用數(shù)對(duì)來(lái)尋找和確定位置。這時(shí)，數(shù)對(duì)的認(rèn)識(shí)與折線統(tǒng)計(jì)圖定點(diǎn)、描點(diǎn)的學(xué)習(xí)可以起到相互促進(jìn)作用。從第一學(xué)段用兩個(gè)“第幾”來(lái)描述一個(gè)物體的位置，到第二學(xué)段用數(shù)對(duì)確定位置，再到第三學(xué)段建立平面直角坐標(biāo)系，正好構(gòu)成一個(gè)較為完整的螺旋上升的數(shù)學(xué)抽象過(guò)程。

關(guān)于平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)。平移和旋轉(zhuǎn)都是物體或圖形在空間變化其所在位置的運(yùn)動(dòng)方式;? 軸對(duì)稱(chēng)既是一類(lèi)平面圖形的性質(zhì)特征，也是圖形變換的一種方式，? 通過(guò)畫(huà)出一個(gè)平面圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形，? 原來(lái)的圖形發(fā)生了運(yùn)動(dòng)變化。運(yùn)動(dòng)之后圖形形狀和大小都保持不變-既不會(huì)放大或縮小，更不會(huì)變形走樣。

《總復(fù)習(xí)圖形與幾何》安排了圖形的認(rèn)識(shí)和測(cè)量、圖形的運(yùn)動(dòng)、圖形與位置等方面內(nèi)容的系統(tǒng)復(fù)習(xí)。通過(guò)復(fù)習(xí)，一方面，可以幫助學(xué)生對(duì)小學(xué)階段學(xué)習(xí)的“圖形與幾何”領(lǐng)域的知識(shí)獲得更深刻的認(rèn)識(shí)，建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu);另一方面，能促使學(xué)生積累更豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念。

【作者單位：句容市天王中心小學(xué)? 江蘇】