高路 王乾生 林軍

[摘要]“以任務(wù)探索生成問題，以問題思考形成知識，以文化滲透豐富內(nèi)涵”的課堂教學(xué)模式，體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本的現(xiàn)代教育理念，可極大提高課堂教學(xué)效率。

[關(guān)鍵詞]任務(wù)，問題，文化，曲線與方程

[中圖分類號]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A [文章編號]1674-6058（2020）11-0005-03

廣西普通高中學(xué)科基地建設(shè)柳州高級中學(xué)數(shù)學(xué)課程基地自建成以來，以探索適合學(xué)生發(fā)展的、有數(shù)學(xué)味的高效課堂為建設(shè)目標(biāo)，形成了以“以任務(wù)探索生成問題，以問題思考形成知識，文化滲透豐富內(nèi)涵”的課堂教學(xué)模式（如圖1）。

2019年11月20日，我校高路老師參加柳州市青年教師賽教課，課題是《曲線與方程》，教學(xué)設(shè)計采用“基于問題和任務(wù)”的教學(xué)模式，得到評委及聽課教師的一致好評，獲得了柳州市青賽課一等獎，以下是本節(jié)課的課堂實錄，希望通過實錄這種形式，能更加直觀地讓一線教師了解此教學(xué)模式的基本步驟和實施路徑。

[課堂實錄]

一、創(chuàng)設(shè)情境，豐富內(nèi)涵

師：人類對曲線與方程的認(rèn)識經(jīng)歷了一個漫長的過程，下面請同學(xué)們觀看視頻，看看費(fèi)馬和笛卡爾研究曲線的方法，與阿波羅尼奧斯有什么不同。

（學(xué)生觀看視頻）解析幾何的發(fā)展史，

1.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法，得到了圓、橢圓、雙曲線、拋物線，并從純幾何的觀點研究了圓錐曲線的性質(zhì)，后人幾乎無法突破。

2.費(fèi)馬，17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家，通過引進(jìn)坐標(biāo)，從方程出發(fā)研究幾何曲線的軌跡。

3.幾乎同一時期，法國另一位數(shù)學(xué)家笛卡爾，引入坐標(biāo)法，從軌跡開始建立方程。

雖然費(fèi)馬的研究是從數(shù)到形，笛卡爾是從形到數(shù)，但他們都建立了坐標(biāo)系，引入坐標(biāo)，將方程與曲線聯(lián)系起來，創(chuàng)立了解析幾何。

設(shè)計意圖：將數(shù)學(xué)史融入課堂，鏈接了章導(dǎo)言，既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，又讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)家研究曲線的方法，使課堂的文化味更濃。

二、自主探究，生成概念

任務(wù)活動一：請在平面直角坐標(biāo)系中，畫出方程2x²-y=0（x≠0）對應(yīng)的曲線，并思考：

問題1：你用了什么方法畫曲線？

問題2：曲線上的點坐標(biāo)從何而來？

生：問題l是采用描點法，

生：問題2是從方程的解中選取，

師：剛才有些同學(xué)沒有在曲線中挖掉原點，為什么要挖掉原點？

生：因為題設(shè)要求x≠0.

師：若不挖掉原點，從圖形直觀來看，以方程的解為坐標(biāo)的點與曲線上的點相比，誰多誰少？

生：點多解少。

師：我們只是選取了幾個點描出曲線的大致圖形，是否可以認(rèn)為以這個方程的所有解為坐標(biāo)的點都在對應(yīng)曲線上，這樣的猜想合理嗎？

生：我們作圖都用描點法，這當(dāng)然是對的，

為了驗證猜想，學(xué)生給出方程的任一組解，教師用幾何畫板演示以這些解為坐標(biāo)的點都在曲線上，

師（追問）：若以方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上，則誰的點的個數(shù)有可能多？

生：曲線上的點有可能多。

師：此時，若把方程的解集和曲線上的點集分別用集合A、B表示，A、B有什么關(guān)系？

生：A是B的子集。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷描點法作圖，能更直觀地體會以方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上，實現(xiàn)從數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，為學(xué)生理解方程的曲線這一概念提供實例。

任務(wù)活動二：求如圖2所示的曲線對應(yīng)的方程，并思考：

問題3：你是用什么方法求方程的？

生：直線過（-2，0）和（0.2），我是將兩點代人斜截式求出直線方程x-y+2=0（x≠1）的，

師：你能否保證直線上所有點的坐標(biāo)都滿足你選用的這兩點所求的方程？

生（遲疑后）：應(yīng)該是吧。

教師操作幾何畫板，在曲線上任取一點，度量其坐標(biāo)，讓學(xué)生充分感知，不管點如何移動，點坐標(biāo)始終滿足所求方程。

師：如果所求方程沒有限制x≠-1.顯然，方程的解比曲線上的點多，若曲線上的點坐標(biāo)都是方程的解，則誰的個數(shù)有可能多？

生：解有可能多。

師（追問）：此時，若把方程的解集和曲線上的點集分別用集合A、B表示，A、B有什么關(guān)系？

生：B是A的子集。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷求直線方程的過程，學(xué)生能更直觀地體會曲線上的點坐標(biāo)都滿足方程，實現(xiàn)從形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，為學(xué)生理解曲線的方程這一概念提供實例。

任務(wù)活動三：請分別畫出曲線C：到坐標(biāo)原點距離為1的圓在y軸右側(cè)部分，和方程f（x，y）=O：x²+y²=1（y>0）表示的曲線，并思考：

問題4：曲線C上的點集A與方程f（x，y）=0的解集B有包含關(guān)系嗎？

生：沒有。

師：這樣兩者間不能建立某種對應(yīng)關(guān)系。

設(shè)計意圖：對概念的理解不光要深究其內(nèi)涵，還要明白其外延，提供方程的解集與曲線的點集間沒有相互包含關(guān)系的實例供學(xué)生辨析是很有必要的。

師：通過這三個例子，請大家想一想，要使方程與曲線能夠相互表示，以方程的解為坐標(biāo)的點與曲線上的點間應(yīng)該能夠建立怎樣的對應(yīng)關(guān)系？（學(xué)生小組討論）

生：方程的解與曲線上的點一樣多。

師：對，一點不多，一點不少，那么我們能否將“方程的解與曲線上的點一樣多”這一條件更加“數(shù)學(xué)化”

一點呢？（學(xué)生回答，互相補(bǔ)充）

（教師板書方程與曲線的定義）

設(shè)計意圖：通過提供豐富的實例去揭示概念的本質(zhì)屬性，從而促成概念的生成。

三、深化概念，鞏固內(nèi)化

任務(wù)活動四：判斷圖3的方程能否叫作曲線的方程，曲線能否叫作方程的曲線，并思考：

問題5：當(dāng)方程與曲線不一致時，你能否修改曲線或方程中的一個，使得方程變成曲線的方程，曲線變成方程的曲線？

設(shè)計意圖：通過修改方程或曲線中的一個，使二者能建立一一對應(yīng)關(guān)系，這是對方程與曲線概念的再認(rèn)識與升華。

師：任務(wù)活動四要判斷曲線與方程不對應(yīng)，只需舉反例，但要說明題（4）中方程與曲線是一一對應(yīng)的，就必須嚴(yán)格加以證明，那么如何證明呢？

生：從曲線和方程定義的兩個方面進(jìn)行，

師：請完成下列作業(yè)。

證明：以坐標(biāo)原點為圓心，半徑等于1的圓的方程是x²+y²=1.

（給學(xué)生充分的時間思考后，請一個學(xué)生展示其證明過程）

生（恍然大悟）：點（X₀，Y₀）到原點的距離等于1.所以方程的解為坐標(biāo)的點在圓上，

師：在上述證明過程中，無論是取圓上一個點，還是取方程的一組解都是任意的，并且都滿足曲線和方程定義的兩個方面，所以我們就嚴(yán)格證明了該命題，

設(shè)計意圖：本教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計，一是讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模?dāng)你肯定一個問題時，就要給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明;二是讓學(xué)生學(xué)會證明方程與曲線的關(guān)系，進(jìn)一步理解方程與曲線的概念，學(xué)會數(shù)與形間的轉(zhuǎn)化。

四、課堂小結(jié)，總結(jié)提升

師：本節(jié)課我們收獲了哪些知識？用到了什么思想方法？

（學(xué)生談體會談感受，相互補(bǔ)充，如圖4）

師：方程與曲線是整個解析幾何的基石，把曲線用方程表達(dá)，就為我們用代數(shù)方法研究幾何問題提供了有力的保障，為接下來進(jìn)一步研究圓錐曲線奠定了基礎(chǔ)。

設(shè)計意圖：課堂小結(jié)是對一節(jié)課的一個高度概括，有助于學(xué)生理順知識，形成方法，深化概念，提升能力。

五、作業(yè)布置（略）

[教學(xué)反思]

1.社會的發(fā)展帶來育人觀念的轉(zhuǎn)變，數(shù)學(xué)文化融入課堂成為必然，曲線與方程有著豐富的數(shù)學(xué)文化背景，以解析幾何發(fā)展史為素材引入新課，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)家研究手段的變遷，感知數(shù)學(xué)思想，

2.任務(wù)設(shè)計強(qiáng)調(diào)目的性與針對性，曲線與方程的概念是非常抽象的，學(xué)生難以理解，但這個概念兼具形與數(shù)的特征，所以設(shè)計任務(wù)活動一、任務(wù)活動二、任務(wù)活動三的目的就是實現(xiàn)從數(shù)到形、形到數(shù)、數(shù)形互化的轉(zhuǎn)變，實例典型豐富，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，利于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的養(yǎng)成，任務(wù)活動四通過辨析正、反兩方面的實例，不僅需要判斷，還需要嚴(yán)謹(jǐn)論證，這對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力意義重大。

3.問題設(shè)計有啟發(fā)性和思考價值，由任務(wù)引出的問題從學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，激發(fā)了探索欲望，啟發(fā)學(xué)生思考，充分暴露其思維過程，落實重點，化解難點，提高了課堂教學(xué)效率。