覃秀芬

[摘要]面積法是幾何中較為特殊的思想方法，該方法可用于解決一些與線段相關的幾何問題，探討面積法的解題思路及技巧，可以提高學生的解題能力。

[關鍵詞]面積法，幾何題，轉化

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A [文章編號]1674-6058（2020）11-0014-02

面積法是利用面積之間的相互轉化或利用面積與邊、角之間的關系來求解的一種方法，面積法在幾何問題中有著廣泛的應用，

一、用面積法求線段長

面積法可用于求線段長，求解時一般結合題干信息采用兩種思路：一是若圖形的面積已知，則可以結合面積公式直接轉化為關于線段長的乘積;二是若圖形中存在等面積關系，則可以利用等面積法完成線段乘積關系構建，

[例1]如圖1所示的△ABC為等腰三角形，其中AB=AC=13.BC=10.點D是腰AB上的中點，現(xiàn)過點D作AC上的垂線，垂足為點E，則線段DE的長為____，

分析：題干表明點D是AB的中點，若過點B再作AC的垂線，令垂足為點F，則DE就為△ABF的中位線，DE長就為BF長的一半，此時可利用面積法求出BF的長，

評析：上述面積法用到了等量轉化思想，該面積模型構建的思路是建立在對幾何三角形面積模型的充分認識上，也是等面積求線段長的常用方式，

二、用面積法證明線段和差問題

[例2]如圖3所示，△ABC為等邊三角形，設h表示其中一邊上的高，已知點P為三角形內的任意一點，分別過點P作三角形三邊上的垂線，垂足分別為點D、E、F試證明：PE+PF+PD=h。

分析：過點P作了三條垂線，若連接PA、PB、PC，則可以將△ABC分割為三個小的三角形：△APC、△APB和△BPC，三個小三角形的面積和等于△ABC的面積，

三、用面積法證明定理

幾何定理和公式之間存在一定的關聯(lián)，實際上也可以用面積法與角平分線判定定理之間的關聯(lián)完成相關問題解答，

[例3]如圖4所示的△ABM中，AE和BD分別是底邊BM和AM上的高，AE與BD相交于點C，已知AE=BE，且BD是∠ABM的角平分線，試證明∠BDE=∠MDE

分析：證明∠BDE=∠MDE就是證明ED是∠BDM的平分線，根據(jù)角平分線的判定定理可知，只需要證明點E到角兩邊的距離相等即可，

四、用面積法求最值

求最值是平面幾何常見的問題類型，對于一些線段、面積最值問題有時也可以采用面積法來求解，

[例4]如圖5所示的等腰△ABC中，已知AB=AC=5.BC=6.點P是邊AC上的一個動點，連接BP，試分析線段BP的最小值，

分析：本題看似是幾何動點問題，但結合“垂線段最短”知識可直接確定BP最短時的情形，即BP是邊AC上的垂線時就可以滿足條件，△ABC為等腰三角形，題干給出了三邊長，可以通過面積法來求解，

五、用面積法求比例

利用面積法可以構建關于線段長的比例關系，因此可以將面積法推廣到求證線段比例問題中，

分析：如圖6所示的三條直線為平行關系，需求證對應的線段比例式，實際上就是要證明平行線分線段的成比例，證明線段比例式一般有兩種思路：一是構建相似三角形，利用相似性質完成;二是借用面積法，通過等面積轉化來完成，本問題采用面積法。

評析：上述在求證比例式時將等面積作為中介，借用面積公式完成了比例式轉化證明，面積法的使用是建立在幾何圖形上的，因此，在求解線段比例問題時首先需要構建圖形，然后利用面積關系來轉化。