李曉靈

摘要：數(shù)形結(jié)合主要就是將數(shù)學知識與幾何關(guān)系相結(jié)合，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的思想。將數(shù)形結(jié)合應用于高中數(shù)學的具體教學中，不僅能使抽象的將數(shù)學問題更加直觀、形象的呈現(xiàn)，而且還能使高中生解決數(shù)學問題的思路得到有效開闊，從而使學生解題的準確性與解題效率得到有效提高。本文主要對數(shù)形結(jié)合的應用準則進行分析，并提出數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學實際教學中的應用策略，從而使高中數(shù)學的教學質(zhì)量得到有效提高。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學;數(shù)形結(jié)合;教學;應用

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2020）06-083-2

隨著新課改的進一步發(fā)展，高中數(shù)學的教學方法也實現(xiàn)了相應的優(yōu)化，數(shù)形結(jié)合的教學理念逐漸在高中教學領(lǐng)域中得到廣泛應用。高中數(shù)學實際教學中，通過數(shù)與形的結(jié)合，進行形的高效推理，通常能夠使復雜的解題方式變得更加簡單，并通過對數(shù)的高效運算，使抽象化的數(shù)學問題實現(xiàn)具體化。同時，數(shù)形結(jié)合運用于數(shù)學教學中，通常對數(shù)學教師具備的專業(yè)水平也有著較高的要求，這不僅要求數(shù)學教師在數(shù)形結(jié)合的應用中充分尊重數(shù)學的簡單性與實際性原則，而且還能使教師的教學方式備受學生喜歡，從而使數(shù)學教學質(zhì)量得到有效提高。

一、數(shù)形結(jié)合應用的基本準則

數(shù)形結(jié)合的應用基本準則具體包括：（1）等價性原則。數(shù)形結(jié)合的過程中，“數(shù)”表示的代數(shù)性質(zhì)和“形”表示的幾何性質(zhì)之間的轉(zhuǎn)換必須是等價的，也就是在對相關(guān)數(shù)學問題進行解決的時候，學生不僅需依據(jù)題意繪制出對應的示意圖，而且在繪圖的時候，還需要繪制出基本特征以及標注相應的關(guān)鍵點，如果繪制的圖較為粗糙或不準確，就會對數(shù)學問題的解決產(chǎn)生影響，并產(chǎn)生解題失誤或理解失誤的現(xiàn)象。（2）簡潔性原則。通過數(shù)形結(jié)合的方式進行構(gòu)圖，需在保證正確的基礎上，盡可能促使圖形的簡潔，對幾何圖像具備的優(yōu)勢進行充分發(fā)揮，并在代數(shù)的具體計算過程中，盡可能避免出現(xiàn)繁雜的計算，以此使解題的難度得到有效降低，并使繁、難的題目變得更加簡、易。如果在繪制圖形的時候沒有注意到該準則，不僅會影響到圖形優(yōu)越性的發(fā)揮，而且還會導致計算量的增加，同時，如果在進行代數(shù)計算的時候盲目計算，也會導致計算難度的增加，因此，在繪制圖形的時候需注重圖形的簡潔性。（3）雙向性原則。數(shù)形結(jié)合的應用，不僅需要對幾何圖形實施分析，而且還需要對相關(guān)數(shù)據(jù)實施研究，也就是通過代數(shù)抽象和幾何直觀相結(jié)合的方式進行探索，并通過二者之間的相互作用對數(shù)據(jù)或圖形進行修正，并通過圖形具備的直觀性對抽象數(shù)據(jù)進行分析，通過數(shù)據(jù)的精確性對圖形的誤差進行分析，通過對二者之間的優(yōu)勢充分發(fā)揮，使數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性得到充分體現(xiàn)。

二、數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學教學中的應用

1.在函數(shù)問題中的應用

函數(shù)作為高中教材當中較為重要的部分，其屬于高中數(shù)學各個知識點實現(xiàn)有效連接的主鏈，該章節(jié)運用數(shù)形結(jié)合通常表現(xiàn)在兩方面：（1）函數(shù)的性質(zhì)，如函數(shù)具備的奇偶性、單調(diào)性，以及函數(shù)的最值，數(shù)學教材中都對這些性質(zhì)給出了符號化概念，這些性質(zhì)的研究與探討也都通過函數(shù)圖像具備的直觀性，把代數(shù)解析式轉(zhuǎn)變成直角坐標系當中的函數(shù)圖像，并通過幾何圖像對抽象的函數(shù)概念進行體會，從而使高中學生實現(xiàn)更好的理解與學習。（2）函數(shù)與方程體現(xiàn)的方法為一元二次方程和其相對應的二次函數(shù)的圖像兩者的關(guān)系，其內(nèi)容主要是將函數(shù)圖像與方程的解與X軸的交點所構(gòu)建的對應關(guān)系，則是代數(shù)方式的“y=f（x）有零點”、“f（x）=0有實根”和幾何形式“y=f（x）的函數(shù)圖像和x軸的交點”之間的相互轉(zhuǎn)化，也就是“數(shù)”“形”互相轉(zhuǎn)化的形式，基于此，學生就能夠以數(shù)形結(jié)合的方式對“數(shù)”“形”的關(guān)系進行理解與掌握，并通過數(shù)形結(jié)合運用函數(shù)圖像的零點定性對無法有效解決的方程實數(shù)根進行判斷，并以根的方式對函數(shù)是否有零點進行判斷。

2.在概率問題中的應用

概率通常和集合有一定聯(lián)系，因此，不同的概率事件、概率間的基礎運算通常能夠與集合之間的關(guān)系、集合間的基礎運算處理的過程構(gòu)建相對應的關(guān)系。對于集合部分而言，其運用數(shù)形結(jié)合的方式通常是以Venn圖進行體現(xiàn)的，因此，不同事件之間的關(guān)系也能夠通過Venn圖進行處理，以便于概率的計算。另外，幾何概型通常是把事件之間的關(guān)系以幾何圖形的方式進行表示，然后，通過圖形的長度比、面積比以及體積比對概率進行表示，這也屬于數(shù)形結(jié)合的應用方法。

3.在解析幾何問題中的應用

所謂的“解析幾何”，主要是由數(shù)學專家笛卡爾所建立的。不論是一維的數(shù)軸，還是二維的直角坐標系，其都能實現(xiàn)“數(shù)”“形”的有機結(jié)合，這也屬于數(shù)形結(jié)合充分體現(xiàn)的部分。對幾何問題進行歸納總結(jié)成代數(shù)形式的相關(guān)問題，并通過定理或者公式的角度，對圖形問題進行解決的過程。例如，在對直線的斜率進行講解時，以代數(shù)計算的方式對直線之間垂直或平行的位置關(guān)系進行判斷，而通過對直線之間的位置關(guān)系進行直觀的觀察，也能獲得對應的代數(shù)間的關(guān)系式。同理可知，兩點之間的距離和點到直線之間的距離也能夠通過數(shù)形結(jié)合的方法進行解決。對于圓與方程的相關(guān)內(nèi)容而言，圓的方程式通常是通過平面直角坐標系當中的圓具備的幾何性質(zhì)和兩點之間的距離公式有機結(jié)合獲得。除此之外，對于點與圓、圓與圓、線與圓之間的位置關(guān)系而言，其不僅能夠從圖形上進行直接觀察，而且還能夠通過數(shù)字計算，如圓心到直線的實際距離和半徑r的關(guān)系、點的坐標是否符合方程代數(shù)式等，由此就能夠?qū)χ本€與圓、點與圓、圓與圓之間的位置關(guān)系進行有效判斷，其也屬于數(shù)形結(jié)合運用于數(shù)學教學中的體現(xiàn)。

4.在三角函數(shù)問題中的應用

通過幾何學中的平面直角坐標系以及單位圓，其不僅能夠通過任意角代數(shù)進行表示，而且還能夠?qū)Σ煌侵g的位置關(guān)系進行直觀觀察，同時，通過幾何學具備的圖形語言，還能獲得基本的代數(shù)表達式以及三角函數(shù)，或者是反過來通過三角函數(shù)值對三角函數(shù)的圖像進行構(gòu)造，從而充分表現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的運用。通過單位圓具備的特殊性對三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容進行探究，例如，三角函數(shù)中的和差運算以及誘導公式等，其通常也能夠有效呈現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的應用。最后，對函數(shù)y=Asin（ωx+φ）過控制變量法對A、ω、φ對函數(shù)圖像產(chǎn)生的影響進行獲得，相反的，通過函數(shù)圖像，就能夠得到代數(shù)解析式當中的A是振幅，周期是T=2πω，相位是ωx+φ，初相為φ。因此，該部分內(nèi)容也能夠充分體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的方法。

5.在方程問題中的應用

在方程相關(guān)的問題中，學生通常能夠?qū)σ阎獥l件當中的變量關(guān)系實施分析，并對方程當中所含有的等量關(guān)系進行提煉，以此在坐標系當中畫出變量與等量的關(guān)系，從而使問題的求解得到預測的結(jié)果。例如，在對方程零點的個數(shù)進行求解的問題中，學生事先通常是不知道方程的具體零點個數(shù)，為了避免少求或多求零點，教師可以依據(jù)方程具備的特征，將其轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)關(guān)系，并在坐標系中進行表示，這種解題方式雖然不能明確知道零點的具體位置，但是，卻能夠?qū)α泓c處于的區(qū)間和零點個數(shù)進行把握，這樣可以有效防止學生在求解中出現(xiàn)錯誤。

綜上所述，將數(shù)形結(jié)合運用于高中數(shù)學的具體教學中，不僅能夠使學生的學習質(zhì)量得到有效提高，而且還能豐富學生的解題思路，從而使學生全面、高效的掌握數(shù)學解題方法。對于數(shù)學教師而言，首先需要對數(shù)形結(jié)合理念具備的現(xiàn)實意義與教育價值進行明確，然后通過例題分析、合作學習等策略，高效的運用數(shù)形結(jié)合理念，從而確保數(shù)學教學目標的有效落實，并使高中生具備的學科能力得到有效發(fā)展。

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（作者單位：甘肅省靖遠縣第三中學，甘肅 白銀 730600）