許海峰 ，祝昌軍 ，陳康華 ，劉力

(1. 中南大學(xué) 輕合金研究院，長(zhǎng)沙 410083；2. 中南大學(xué) 輕質(zhì)高強(qiáng)結(jié)構(gòu)材料國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410083；3. 中南大學(xué) 有色金屬先進(jìn)結(jié)構(gòu)材料與制造協(xié)同創(chuàng)新中心，長(zhǎng)沙 410083)

材料在服役期間受到各種復(fù)雜的應(yīng)力加載，使內(nèi)部產(chǎn)生殘余應(yīng)力。殘余應(yīng)力會(huì)影響材料的服役性能，有時(shí)甚至?xí)?lái)安全隱患，因此分析材料內(nèi)部殘余應(yīng)力情況成為研究材料力學(xué)性能的重要一環(huán)。目前衍射法探測(cè)材料殘余應(yīng)力的成熟手段有X射線衍射測(cè)量和中子衍射測(cè)量[1]。衍射法測(cè)量材料的殘余應(yīng)力是利用材料相關(guān)的晶面衍射彈性常數(shù)，結(jié)合胡克定律計(jì)算得到材料的殘余應(yīng)力。晶面衍射彈性常數(shù)通常通過(guò)相關(guān)實(shí)驗(yàn)設(shè)備測(cè)定，用理論模型計(jì)算材料的晶面衍射彈性常數(shù)相對(duì)較少，目前的研究方法例如Kroner方法[2]，往往都是將材料看做某一相的單相材料，而實(shí)際上多相材料的某一相在材料中顯然會(huì)受到其他相的影響，所以將材料作為某一相的單相材料來(lái)處理，對(duì)后續(xù)的理論計(jì)算等均有不同程度的影響。除此之外，實(shí)驗(yàn)測(cè)定的晶面衍射彈性常數(shù)大多是常溫下的，高溫下的晶面衍射彈性常數(shù)研究的報(bào)道很少，主要原因在于開展相關(guān)實(shí)驗(yàn)的條件苛刻。對(duì)于在高溫條件下服役的工程合金，若要測(cè)量高溫環(huán)境下材料內(nèi)部的殘余應(yīng)力情況等信息，需要獲得材料在高溫下的晶面衍射彈性常數(shù)。本文作者為了解決在高溫條件下材料晶面衍射彈性常數(shù)較難測(cè)試的問(wèn)題，以高溫鎳基合金為研究對(duì)象，將其看成是基體相γ相和γ′相的兩相復(fù)合材料，以準(zhǔn)諧德拜模型[3]和第一性原理為基礎(chǔ)，結(jié)合現(xiàn)已成熟的Eshelby等效夾雜模型[4]，建立計(jì)算不同溫度條件下材料晶面衍射彈性常數(shù)的兩相模型。通過(guò)模型的計(jì)算，得到高溫鎳基合金在不同溫度下的晶面衍射彈性常數(shù)，并將其與文獻(xiàn)報(bào)道的實(shí)驗(yàn)測(cè)定值進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性。通過(guò)此模型，可預(yù)測(cè)相關(guān)復(fù)合材料在不同溫度下的晶面衍射彈性常數(shù)，以便于進(jìn)一步計(jì)算材料內(nèi)部的殘余應(yīng)力，研究材料在不同溫度下相關(guān)的力學(xué)性能。

1 兩相復(fù)合材料晶面衍射彈性常數(shù)的模型構(gòu)建

1.1 研究背景

彈性常數(shù)為表征材料彈性性能的量，是用來(lái)聯(lián)系應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的一組獨(dú)立的常數(shù)。材料在彈性范圍內(nèi)，某一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)分別可用6個(gè)獨(dú)立的分量表示，6個(gè)應(yīng)力和6個(gè)應(yīng)變?cè)趶椥苑秶鷥?nèi)可用以下的線性關(guān)系式表示：式中：c11至c66這36個(gè)常數(shù)被稱為彈性常數(shù)。隨著各種測(cè)量材料應(yīng)力方法不斷出現(xiàn)，這種傳統(tǒng)的描述應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的線性彈性系數(shù)已不能滿足現(xiàn)在的科學(xué)研究，在用衍射法測(cè)量材料應(yīng)力的研究中，晶面衍射彈性常數(shù)的概念隨之被提出。用衍射法如X射線衍射，測(cè)量材料應(yīng)力時(shí)，通過(guò)對(duì)滿足布拉格衍射條件出現(xiàn)的晶面衍射信息分析，得出該晶面間距的變化，從而求解出該晶面法線方向的應(yīng)變，將得到的應(yīng)變與該晶面指數(shù)相關(guān)的晶面衍射彈性常數(shù)相乘即可得到材料的應(yīng)力[5]。目前關(guān)于晶面衍射彈性常數(shù)的研究中，較成熟的模型有應(yīng)變一定的Voigt模型[6]，應(yīng)力一定的Reuss模型[7]以及考慮材料之間相互作用的 Kroner模型[2]。林政等[8]通過(guò)將材料的宏觀性能和微觀相互作用機(jī)理聯(lián)系在一起，綜合分析，結(jié)合細(xì)觀力學(xué)[9]的相關(guān)知識(shí)，從理論上得到了研究單相多晶體晶面衍射彈性常數(shù)的計(jì)算模型。這些計(jì)算晶面衍射彈性常數(shù)的模型雖然考慮了材料的夾雜相，但在計(jì)算過(guò)程中依然把夾雜相和基體相看成一個(gè)整體，相當(dāng)于還是將材料看成單相材料來(lái)處理。用研究單相多晶體晶面衍射彈性常數(shù)模型去研究復(fù)合材料以及多相材料的晶面衍射彈性常數(shù)，忽略不同相之間的相互作用，這與實(shí)際情況相差過(guò)大，需要建立更科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠?jì)算多相多晶體材料晶面衍射彈性常數(shù)的理論模型。因此，本文作者將研究對(duì)象鎳基高溫合金看做是基體相γ相(Ni相)和γ′相(Ni3Al相)的兩相復(fù)合材料，已知Ni單晶體和Ni3Al單晶體均屬于立方晶系，建立計(jì)算立方與立方夾雜復(fù)合材料晶面衍射彈性常數(shù)的理論模型。

1.2 模型構(gòu)建

1.2.1 復(fù)合材料相關(guān)的宏觀彈性常數(shù)

運(yùn)用自洽理論結(jié)合 Eshebly等效夾雜模型得到復(fù)相材料相關(guān)的宏觀彈性常數(shù)。Eshebly等效夾雜是將復(fù)合材料看作是基體相中含有夾雜相的均質(zhì)材料，假設(shè)形狀相似并且取向相同的橢球形夾雜相在基體相中均勻分布。Eshebly等效夾雜模型如圖1所示。Eshebly等效夾雜模型基本思想是假設(shè)在基體相 D中有一個(gè)與基體相彈性常數(shù)不同且具有本征應(yīng)變的橢球夾雜相Ω，可用和基體相D相同的彈性常數(shù)、與Ω相同形狀且本征應(yīng)變不同的等效特征應(yīng)變來(lái)代替。

圖1 Eshebly等效夾雜模型Fig.1 Eshebly equivalent inclusion model

自洽理論[10-12]的中心思想為在計(jì)算夾雜相內(nèi)部的應(yīng)力分布時(shí)，為了考慮其他夾雜相的影響，認(rèn)為夾雜相單獨(dú)處于一有效介質(zhì)中，而夾雜相周圍有效介質(zhì)的彈性常數(shù)就是復(fù)合材料的彈性常數(shù)。定義ε1為復(fù)相材料中夾雜相的平均應(yīng)變，C1為夾雜相的彈性剛度系數(shù)矩陣，為復(fù)相材料的平均應(yīng)變，C為復(fù)相材料基體的彈性剛度系數(shù)矩陣，A為應(yīng)變集中因子張量，復(fù)相材料外加載荷為σ，則根據(jù)Eshebly等效夾雜以及自洽方法有：

對(duì)于橢球形夾雜相，夾雜相內(nèi)部的應(yīng)變和應(yīng)力場(chǎng)是均勻的，復(fù)合材料在宏觀上表現(xiàn)為各相同性，夾雜相在基體相中均勻分布。則有：

式(4)～(7)中：S為復(fù)合材料的Eshebly張量；K1和G1分別為夾雜相的體積模量和剪切模量；K和G分別為復(fù)合材料的平均體積模量和平均剪切模量。將應(yīng)變集中因子 A的表達(dá)式(7)代入夾雜相平均柔度張量μ1的表達(dá)式(6)中，得到夾雜相平均柔度張量μ1與K、G的關(guān)系式：

式(9)、(10)中：C為復(fù)合材料中夾雜相的體積分?jǐn)?shù)。至此，Eshebly等效夾雜模型結(jié)合自恰理論推導(dǎo)已得到復(fù)合材料宏觀彈性常數(shù)平均體積模量和剪切模量的表達(dá)式。

1.2.2 晶面衍射彈性常數(shù)

復(fù)合材料宏觀應(yīng)力應(yīng)變示意圖如下：

圖2 復(fù)合材料宏觀應(yīng)力分析圖Fig.2 Diagram of the macroscopic stress analysis of composite materials

根據(jù)圖2所示，材料宏觀各相同性，受單軸拉伸時(shí)，在L3方向的宏觀應(yīng)變?chǔ)咋爪艦椋?/p>

式中：l，m和n為L(zhǎng)3方向關(guān)于坐標(biāo)系的方向余弦。進(jìn)一步地，方向余弦為：

結(jié)合應(yīng)力-應(yīng)變的線性關(guān)系式，得到復(fù)合材料相晶面衍射彈性常數(shù)的表達(dá)式：

式中：υhkl和Ehkl分別為復(fù)合材料相(hkl)晶面的衍射彈性模量和泊松比。為了考慮復(fù)合材料中的第二相，需要分析復(fù)合材料中兩相之間的相互作用，即分析材料的微觀應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。這里的前提是基體材料中含有橢球形第二相夾雜，宏觀上表現(xiàn)為各相同性，復(fù)合材料在彈性范圍內(nèi)，因?yàn)榛w相和夾雜相(后稱為M相)的彈性常數(shù)不同會(huì)帶來(lái)應(yīng)變附加項(xiàng)ε0，即M相的應(yīng)變場(chǎng)為(以下公式中有上標(biāo)“M”的符號(hào)均為 M 相單晶體的參量，不加上標(biāo)的為復(fù)合材料參量)：

式中：CM為M相單晶體彈性常數(shù)；為復(fù)合材料的平均彈性常數(shù)；ε*為復(fù)合材料的固有應(yīng)變。

根據(jù)Eshebly等效夾雜理論有：

即：

式(18)中：SE為Eshebly張量。

又有復(fù)合材料負(fù)載應(yīng)變與負(fù)載應(yīng)力關(guān)系為：

至此，通過(guò)分析復(fù)合材料微觀應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，考慮不同相的相互作用，得到TM的表達(dá)式。TM類似于材料的彈性柔度張量，給定M相的彈性常數(shù)CM，即可得到M相的彈性柔度張量TM。

綜上，得到復(fù)合材料夾雜相與外加應(yīng)力的關(guān)系為：

夾雜相在基體相中相對(duì)均勻分布，當(dāng)材料僅受單軸拉伸載荷作用時(shí)，對(duì)夾雜相(h, k, l)晶面上的應(yīng)變?nèi)∑骄?，再將其與宏觀應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系比對(duì)，即可得到立方晶系復(fù)合材料晶面衍射彈性常數(shù)的表達(dá)式如下：

式(24)、(25)中：E與υ分別為復(fù)合材料的平均彈性常數(shù)和泊松比；是TM對(duì)應(yīng)矩陣i行j列的元素；Г為與晶面有關(guān)的參數(shù)。

至此，已經(jīng)建立立方晶系復(fù)合材料晶面衍射彈性常數(shù)模型，類似地，可以得到其他晶系的晶面衍射彈性常數(shù)模型，夾雜相換成基體相就可得到基體相晶面衍射彈性常數(shù)，這里不一一贅述。給定相關(guān)相在室溫的彈性常數(shù) C就可計(jì)算室溫下相的晶面衍射彈性常數(shù)。要計(jì)算不同溫度下的晶面衍射彈性常數(shù)，需要給出不同溫度下相的彈性剛度系數(shù)C，下面建立計(jì)算不同溫度下彈性剛度系數(shù)C的理論模型。

2 材料的彈性剛度系數(shù)矩陣

2.1 能量計(jì)算和彈性剛度系數(shù)計(jì)算

基于準(zhǔn)諧德拜模型和第一性原理，計(jì)算不同溫度下材料的剛度系數(shù)矩陣。利用第一性原理計(jì)算軟件Materials Studio軟件包中的Castep模塊[13]來(lái)計(jì)算電子結(jié)構(gòu)。關(guān)于Ni3Al金屬間化合物的計(jì)算，粒子間的相互作用用綴加投影波來(lái)表示，交換相關(guān)能用廣義梯度近似GGA和(PW91)函數(shù)來(lái)表示，采用15×15×15的K點(diǎn)對(duì)布里淵區(qū)進(jìn)行采樣，平面波函數(shù)的截?cái)嗄苓x擇460 eV，保證計(jì)算過(guò)程中達(dá)到收斂的要求。對(duì)于 Ni的計(jì)算，采用廣義梯度近似GGA和PBE函數(shù)表示交換相關(guān)能，利用15×15×15的K點(diǎn)對(duì)布里淵區(qū)進(jìn)行采樣，平面波函數(shù)的截?cái)嗄苓x擇600 eV，以保證計(jì)算過(guò)程中達(dá)到收斂的要求。計(jì)算Ni時(shí)考慮自旋極化。

2.2 熱力學(xué)參數(shù)計(jì)算

固相熱力學(xué)性質(zhì)可用準(zhǔn)諧近似的研究方法描述。借助于準(zhǔn)諧德拜模型和第一性原理計(jì)算，可得到單晶體在不同溫度下的平衡體積。

準(zhǔn)諧德拜模型計(jì)算方程如下：

式中：右邊第1項(xiàng)E(V)為體系靜態(tài)的總能量；第2項(xiàng)中的P和V分別為壓強(qiáng)和體積；第3項(xiàng)Fvib(V;T)為晶格振動(dòng)自由能；第4項(xiàng)Fel(V,T)為電子自由能(影響較小，可忽略)。由上式可知吉布斯自由能與壓強(qiáng)、體積及溫度有關(guān)。

準(zhǔn)諧德拜模型中，把Fvib(V;T)[14-15]表示為：

式中：Θ是德拜溫度；n為每個(gè)原胞中的原子數(shù)；k為波爾茲曼常數(shù)。德拜溫度Θ可表示為：

式中：M為相對(duì)分子質(zhì)量；Bs[3]為絕熱體積模量；σ為泊松比；f(σ)和Bs分別用以下的式(35)和式(36)表示[16-17]：

求解非平衡吉布斯函數(shù)G*(P,V,T)對(duì)體積的最小值，即：

已得到材料在不同溫度下的平衡體積，然后得出不同溫度下材料的彈性剛度系數(shù)矩陣。

3 計(jì)算結(jié)果與分析

討論Inconel 718合金的晶面衍射彈性常數(shù)，將其視作 80%Ni相(γ相)和 20% Ni3Al相(γ′相)的兩相合金，分別取一系列不同的晶格常數(shù)值，計(jì)算能量和體積，擬合得到Ni3Al和Ni的E-V曲線圖(圖3和圖4)，根據(jù)Birch-Murnaghan EOS[14]擬合，得到在0 K零壓下Ni和Ni3Al的體積V0，列于表1。

圖3 Ni3Al總能量與體積的關(guān)系圖Fig.3 Total energy of Ni3Al as a function of volume

圖4 Ni總能量與體積的關(guān)系圖Fig.4 Total energy of Ni as a function of volume

表1 Ni與Ni3Al平衡體積的計(jì)算值與文獻(xiàn)值Table 1 Calculation value and literature value of equilibrium volume of Ni and Ni3Al 10-3 nm3

從表 1看出，本文計(jì)算的平衡體積和文獻(xiàn)[18]報(bào)道的實(shí)驗(yàn)測(cè)量值很接近，說(shuō)明本文的計(jì)算結(jié)果可信。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)準(zhǔn)諧德拜模型進(jìn)一步得到不同溫度下的Ni相和Ni3Al相的平衡體積，進(jìn)而得到在不同溫度下這兩相的彈性剛度系數(shù)矩陣，立方晶系獨(dú)立的彈性剛度系數(shù)為C11,C12,C44。圖5和6所示分別為本文作者計(jì)算的Ni3Al相和Ni相在部分溫度范圍內(nèi)的彈性剛度系數(shù)與文獻(xiàn)[19-20]報(bào)道的實(shí)驗(yàn)測(cè)量值。從圖中可見，不同溫度下Ni3Al相和Ni相的彈性剛度系數(shù)理論計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值之間的偏差均在誤差允許范圍內(nèi)，表明計(jì)算結(jié)果可靠。將得到的彈性剛度系數(shù)代入晶面衍射彈性常數(shù)模型中，即可得到不同溫度下的晶體衍射彈性常數(shù)(彈性模量Ehkl與泊松比υ)，將其與文獻(xiàn)[21]報(bào)道的實(shí)驗(yàn)測(cè)量值(550 ℃下)進(jìn)行對(duì)比，如表2所列。

圖5 Ni3Al單晶體彈性剛度系數(shù)計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值[19]的對(duì)比Fig.5 Comparison between calculated and experimental values[19] of elastic stiffness coefficient of Ni3Al single crystal

圖6 Ni單晶體彈性剛度系數(shù)計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值[20]的對(duì)比Fig.6 Comparison between calculated and experimental values[20] of elastic stiffness coefficient of Ni single crystal

從表 2可見，本文通過(guò)模型計(jì)算得到的 Inconel 718合金的γ相晶面衍射彈性常數(shù)與文獻(xiàn)[15]報(bào)道的實(shí)驗(yàn)測(cè)量值進(jìn)行對(duì)比，其中只有{200}晶面的計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值偏差稍大，{311}晶面的泊松比υ在室溫下的計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值偏差稍大，其它晶面不同溫度下偏差均不超過(guò)10%，部分偏差更是在5%以內(nèi)，總體偏差較小。存在偏差的原因，一方面是本身實(shí)驗(yàn)測(cè)量時(shí)某些晶面存在一定誤，另一方面，理論模型是以橢球形等效夾雜為研究前提，而研究對(duì)象Inconel 718合金是兩相材料，夾雜相并不一定是理想的等效夾雜，且除了γ、γ′兩相外還有少量其他相(這里忽略不計(jì))，此外，兩相的體積分?jǐn)?shù)也不一定是完全準(zhǔn)確比例，不同溫度下彈性剛度系數(shù)矩陣的計(jì)算也存在一定偏差。綜合考慮，計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值有一定的偏差合乎情理。

表2 不同溫度下鎳基高溫合金晶面衍射彈性常數(shù)(彈性模量Ehkl與泊松比υ)的計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值[21]Table 2 The calculated and experimental[21] values of the diffraction elastic constants (elastic modulus Ehkl and poisson

4 結(jié)論

用Eshebly等效夾雜理論和自洽方法構(gòu)建計(jì)算立方與立方兩相材料晶面衍射彈性常數(shù)模型，并基于第一性原理和準(zhǔn)諧德拜模型得到材料在不同溫度下的晶面衍射彈性常數(shù)，計(jì)算出Inconel 718合金的γ相在不同溫度下晶面衍射彈性常數(shù)。計(jì)算值和文獻(xiàn)報(bào)道的實(shí)驗(yàn)測(cè)量值之間的偏差不超過(guò)10%，總體上驗(yàn)證了理論模型的可行性和準(zhǔn)確性。