李小林， 司登奎

一、引 言

選取合適的方法并對關(guān)鍵經(jīng)濟變量進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測不僅能夠預(yù)防各種外生沖擊帶來的不利影響，還能有效調(diào)控經(jīng)濟運行進(jìn)而維護經(jīng)濟平穩(wěn)健康發(fā)展，因而具有非常重要的理論價值及現(xiàn)實意義。在現(xiàn)有的理論研究與實踐應(yīng)用中，最為常用的預(yù)測方法是選取與目標(biāo)變量相關(guān)的預(yù)測因子，并采取相應(yīng)的計量方法(如OLS)實現(xiàn)。然而需要指出的是，現(xiàn)實中可獲得的經(jīng)濟變量的個數(shù)通常較多，甚至?xí)咏虺^目標(biāo)經(jīng)濟變量的樣本總數(shù)，這就容易導(dǎo)致基于大樣本理論的計量方法等性質(zhì)極其不穩(wěn)定甚至無法計算，從而導(dǎo)致預(yù)測精度降低甚至出現(xiàn)無效預(yù)測的情形。

如何從大量的可用經(jīng)濟變量中提取少量共同因子(Common Factors)是決定能否準(zhǔn)確預(yù)測的重要前提。實踐中，主成分回歸方法(Principal Component Regression，PCR)是主流的提取因子并對目標(biāo)經(jīng)濟變量預(yù)測的方法。(1)Stock,J. ,& Watson,M. ,“Forecasting Using Principal Components from a Large Number of Predictors”,Journal of the American Statistical Association,Vol. 97,2002,pp. 1167-1179.(2)Forni,M. ,& Reichlin,L. ,“Dynamic Common Factors in Large Cross-Sections”,Empirical Economics,Vol. 21,1996,pp. 27-42.(3)Bai,J. & Ng,S. ,“Forecasting Economic Time Series Using Targeted Predictors”,Econmetria,Vol. 146,2008,pp. 304-317.由于PCR方法的基本原理是從可用經(jīng)濟變量中提取因子，因此所提取的因子可以很好地解釋可用經(jīng)濟變量的共同變化。但需要注意的是，提取出來的因子來源于可用經(jīng)濟變量，并不能確保所有的因子都和目標(biāo)經(jīng)濟變量相關(guān)。因此，如果能夠提取出和目標(biāo)經(jīng)濟變量相關(guān)的因子無疑能夠提高預(yù)測精度。

目前，學(xué)界在如何提取和目標(biāo)經(jīng)濟變量相關(guān)的因子進(jìn)而提高預(yù)測績效上進(jìn)行了系列研究。Bai和Ng提出了一種統(tǒng)計門限方法(Thresholding Rule)，(4)Bai,J. & Ng,S. ,“Forecasting Economic Time Series Using Targeted Predictors”,Econmetria,Vol. 146,2008,pp. 304-317.該方法通過去除與目標(biāo)變量不相關(guān)的可用變量以提高預(yù)測精度，Mol等則使用貝葉斯縮減方法(Bayesian Shrinkage)進(jìn)行預(yù)測。(5)Mol,C. D. ,Giannone,D. ,& Reichlin,L. ,“Forecasting Using a Large Number of Predictors: Is Bayesian Shrinkage a Valid Alternative to Principal Components? ”,Journal of Econometrics,Vol. 146,No. 2,2008,pp. 318-328.門限方法和貝葉斯縮減方法主要適用于相關(guān)信息集中在一部分可用經(jīng)濟變量中的情況(Non-pervasive)，如果所有的可用經(jīng)濟變量都包含與目標(biāo)經(jīng)濟變量相關(guān)的信息(Pervasive)，那么這兩種方法的適用性明顯受限。

此外，不乏有學(xué)者開始對上述模型進(jìn)行拓展，特別是將不同模型有效結(jié)合以深入分析預(yù)測能效。如：結(jié)合變量選擇(variable selection)方法的橋方程(bridge model)模型、(6)Bulligan,G. ,Marcellino,& Venditti,F. ,“Forecasting Economic Activity with Targeted Predictors”,Journal of Forecasting,Vol. 31,No. 1,2015,pp. 188-206.單指標(biāo)混合頻率模型、(7)Kuzin,V. ,Marcellino,& Schumacher,C. ,“Pooling Versus Model Selection for Nowcasting GDP with Many Predictors: Empirical Evidence for Six Industrialized Countries”,Journal of Applied Eonometrics,Vol. 28,No. 3,2013,pp. 392-411.貝葉斯估計(8)Carriero,A. ,Clark,T. E. ,& Marcellino,M. ,“Real Time Nowcasting with a Bayesian Mixed Frequency Model with Stochastic Volatility”,Journal of the Royal Statistical Society,Vol. 178,2015,pp. 837-862.和混合頻率因子模型。(9)Giannone,D. ,Reichlin,L. ,& Small,D. ,“Nowcasting GDP and Inflation: The Real-Time Informational Content of Macroeconomic Data Releases”,Journal of Monetary Economics,Vol. 55,2008,pp. 665-676.其中，Barhoumi等比較了小型橋方程和預(yù)測方程，并通過對從大量月度數(shù)據(jù)集中提取的因素進(jìn)行回歸來實現(xiàn)月度和季度數(shù)據(jù)之間的橋接。(10)Barhoumi,K. ,Darne,O,& Ferrara,L. ,“Are Disaggregate Data Useful for Factor Analysis in Forecasting French GDP?”,Working Papers,2009,pp. 132-144.Angelini等拓展了Banbura和Runstler的研究，并將預(yù)測結(jié)果與從選定的橋方程中匯集的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在大樣本預(yù)測中，因子分析法能夠表現(xiàn)為較好的預(yù)測能效。(11)Angelini,E. ,Camba-Mendez,G. ,Giannone,D. ,Runstler,G. ,& Reichlin,L. ,“Short Term Forecasts of Euro Area GDP Growth”,Econmetrics Journal,Vol. 14,2011,pp. C25- C44.

在采用因子法預(yù)測的一支文獻(xiàn)中，我們還發(fā)現(xiàn)學(xué)者將混頻思想納入因子模型之中進(jìn)行拓展，即采用混頻因子模型對經(jīng)濟變量進(jìn)行預(yù)測。如：Banbura和Runstler允許非平衡數(shù)據(jù)納入模型并實現(xiàn)對傳統(tǒng)因子模型的拓展，結(jié)果發(fā)現(xiàn)改進(jìn)后的模型對于提高預(yù)測能效具有一定的促進(jìn)作用。(12)Banbura,M. ,& Modugno,M. ,“Maximum Likelihood Estimation of Factor Models on Data Sets with Arbitrary Pattern of Missing Data”,Journal of Applied Econometrics,Vol. 29,No. 1,2014,pp. 133-160.Marcellino等基于包含隨機波動的貝葉斯估計框架進(jìn)行預(yù)測。(13)Marcellino,M. ,Porqueddu,M. ,& Venditti,F. ,“Short-Term GDP Forecasting with a Mixed Frequency Dynamic Factor Model with Stochastic Volatility”,Journal of Business & Economic Statistics,Vol. 34,No. 1,2016,pp. 118-127.需要指出的是，上述研究的核心思想均是基于卡爾曼濾波理論進(jìn)行建模預(yù)測，盡管能夠表現(xiàn)為一定的預(yù)測績效(power)，但當(dāng)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)為高頻屬性及大數(shù)據(jù)特征時，基于卡爾曼濾波理論的預(yù)測將會失效。為克服這一缺陷，Marcellino和Schumacher提出了一種更簡單的替代方案，(14)Marcellino,M. ,& Schumacher,C. ,“Factor MIDAS for Nowcasting and Forecasting with Ragged-Edge Data: A Model Comparison for German GDP”,Oxford Bulletin of Economics and Statistics,Vol. 72,No. 4,2010,pp. 518-550.將不規(guī)則數(shù)據(jù)因素估計的期望最大化(EM)算法與Ghysels等使用的混合數(shù)據(jù)采樣(MIDAS)回歸技術(shù)(15)Ghysels,E. ,Gourieroux,C. ,& Jasiak,J. ,“Stochastic Volatility Duration Models”,Journal of Econometrics,Vol. 119,No. 2,2004,pp. 413-433.以及其不受限制的對象U-MIDAS結(jié)合起來。然而，需要提及的是，上述基于混頻數(shù)據(jù)的因子分析所隱含的經(jīng)濟學(xué)含義并未得到直觀解釋，且對計算要求較高，特別是基于大數(shù)據(jù)集的混頻模型中，上述模型并未體現(xiàn)較好的預(yù)測績效。

針對上述方法所隱含的潛在缺陷，Kelly和Pruitt 對因子模型的傳統(tǒng)設(shè)定進(jìn)行拓展與改進(jìn)，并創(chuàng)新地提出三步回歸濾波法(Three-Pass Regression Filter，3PRF)，(16)Kelly,B. ,& Pruitt,S. ,“The Three-Pass Regression Filter: A New Approach to Forecasting Using Many Predictors”,Journal of Econometrics,Vol. 186,No. 2,2015,pp. 294-316.該方法通過引入代理變量(Proxy Variable)并提取出與目標(biāo)經(jīng)濟變量相關(guān)的因子進(jìn)行經(jīng)濟預(yù)測，可以在普適性(Pervasive)和非普適性(Nonpervasive)兩種情況下使用，并進(jìn)一步提高預(yù)測精度。換言之，3PRF中的代理變量可以依據(jù)經(jīng)濟理論進(jìn)行篩選，或者通過對目標(biāo)經(jīng)濟變量的變換進(jìn)行構(gòu)造，因而具有較強的理論依據(jù)及適用性。

總的來看，關(guān)于預(yù)測因子的提取及模型參數(shù)的假設(shè)，學(xué)界已從不同維度展開相應(yīng)的研究并取得了富有價值的成果，這為本研究進(jìn)一步對上述理論進(jìn)行拓展并以此得到更為有效的預(yù)測結(jié)果提供了較好的基礎(chǔ)。然而，我們發(fā)現(xiàn)上述研究還存在如下待于突破之處：第一，對于存在大量可用經(jīng)濟變量情況下的預(yù)測，由于可用經(jīng)濟變量的數(shù)目一般接近目標(biāo)經(jīng)濟變量的樣本數(shù)量，因此會導(dǎo)致傳統(tǒng)的估計方法預(yù)測效果欠佳。盡管有學(xué)者在PCR模型中采用貝葉斯縮減技術(shù)去除不相關(guān)的因子以提高預(yù)測績效，但由于相關(guān)信息相對發(fā)散，進(jìn)而使得篩選出來的因子依然含有較多的不相關(guān)信息，從而導(dǎo)致預(yù)測績效較差。第二，在3PRF方法的預(yù)測應(yīng)用中，由于模型參數(shù)設(shè)定為常數(shù)，然而在不同的經(jīng)濟環(huán)境及區(qū)制下，預(yù)測因子很有可能會出現(xiàn)結(jié)構(gòu)性變動。與此同時，由于前瞻性變量往往具有較高的頻率，而3PRF方法在預(yù)測的過程中又依賴于同頻數(shù)據(jù)，因而無法滿足前瞻變量所呈現(xiàn)的時效性。第三，在上述模型的預(yù)測應(yīng)用中，通常設(shè)定參數(shù)服從隨機游走過程，且擾動項服從正態(tài)分布，這種假定存在局限性。在現(xiàn)實中，我們通常無法明確外生沖擊的分布，而依賴于正態(tài)分布的假設(shè)也會導(dǎo)致參數(shù)估計非一致性，從而無法實現(xiàn)更有效的預(yù)測。

有鑒于此，本研究將對3PRF方法沒有納入不同頻率預(yù)測因子的不足進(jìn)行改進(jìn)，并提出混頻參數(shù)三步回歸濾波法(Mixed Frequency Parameter Three-Pass Regression Filter，MF-3PRF)，旨在提高對目標(biāo)變量的預(yù)測績效。首先，本文提出的MF-3PRF模型允許提取的因子具有混頻屬性，從而彌補了3PRF模型沒有考慮混頻數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)性變化的缺陷，該模型不僅從理論上拓展了3PRF的適用范圍，而且擁有更高精度的預(yù)測“勢”(power)。其次，伴隨著我國步入新常態(tài)以及結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)型和產(chǎn)業(yè)升級的現(xiàn)實背景，由于MF-3PRF方法考慮到了經(jīng)濟系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性變動，預(yù)期MF-3PRF能夠較為貼近現(xiàn)實情境，并呈現(xiàn)較高的預(yù)測績效，從而可以為當(dāng)局和微觀經(jīng)濟主體的經(jīng)濟決策提供更為可靠的參考依據(jù)。最后，在對MF-3PRF進(jìn)行參數(shù)估計時，為了克服外生沖擊分布未知的情形，我們在加入系數(shù)離散變化的馬爾科夫區(qū)制轉(zhuǎn)換模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步采用貝葉斯非參(Bayesian Nonparametric)的方法結(jié)合無限混合正態(tài)分布(Infinite Mixture Normal)對未知外生沖擊的真實分布進(jìn)行逼近，從而對于預(yù)測績效的提高具有重要的理論價值與現(xiàn)實意義。

余文研究結(jié)構(gòu)安排如下：第二部分將傳統(tǒng)3PRF拓展為MF-3PRF形式，特別是對其理論建模進(jìn)行詳細(xì)概述。第三部分推算MF-3PRF的大樣本漸進(jìn)性質(zhì)，證明其在大樣本情況下會逼近最優(yōu)預(yù)測；第四部分為應(yīng)用分析，具體為采用混頻三步回歸濾波理論進(jìn)行建模并對人民幣匯率進(jìn)行預(yù)測，特別是對比了MF-3PRF與其他備擇方法的預(yù)測績效；第五部分為本文的結(jié)論。

二、混頻3PRF的理論建模

PCR方法的基本原理是從可用經(jīng)濟變量中提取因子，因此所提取的因子可以很好地解釋經(jīng)濟變量的共同變化。但需要注意的是，提取出來的因子來源于可用經(jīng)濟變量，這并不能意味著所有的因子都和目標(biāo)經(jīng)濟變量相關(guān)。因此，如果能夠提取出和目標(biāo)經(jīng)濟變量相關(guān)的因子無疑能夠提高預(yù)測精度。Kelly和Pruitt 提出了三步回歸濾波法(Three-Pass Regression Filter，3PRF)，該方法通過引入代理變量(Proxy Variable)提取出與目標(biāo)經(jīng)濟變量相關(guān)的因子進(jìn)行經(jīng)濟預(yù)測，并進(jìn)一步提高預(yù)測精度。(17)Kelly,B. ,& Pruitt,S. ,“The Three-Pass Regression Filter: A New Approach to Forecasting Using Many Predictors”,Journal of Econometrics,Vol. 186,No. 2,2015,pp. 294-316.特別地，在3PRF模型中，其模型設(shè)定形式具體如下：

(1)

zt=λ0+ΛFt+ωt

(2)

xt=φ0+ΦFt+εt

(3)

誠如前文所言，當(dāng)大型數(shù)據(jù)集xt的驅(qū)動因素超過目標(biāo)變量yt時，其漸進(jìn)性和強因子結(jié)構(gòu)特征并不會對預(yù)測結(jié)果產(chǎn)生明顯影響。對于式(1)而言，當(dāng)樣本有限時，也即當(dāng)ft較弱而gt較強時，使用和式(1)中所需的ft因子則相對有效。為此，Kelly和Pruitt針對ft的估計提出了如下簡易且有效步驟，(19)Kelly,B. ,& Pruitt,S. ,“The Three-Pass Regression Filter: A New Approach to Forecasting Using Many Predictors”,Journal of Econometrics,Vol. 186,No. 2,2015,pp. 294-316.具體如下：

第一步：在zt上對xt中的每個元素xi,t進(jìn)行時間序列回歸，即：

(4)

(5)

對每一個t=1,…,T，我們保留了t的OLS估計值。

yt=β0+β′t-1+ηt，t=1,…,T

(6)

(7)

由于本文所關(guān)注的對象是當(dāng)目標(biāo)變量yt(或代理變量zt)的頻率低于xt的頻率時，其抽樣預(yù)測績效呈現(xiàn)怎樣的特征。進(jìn)一步地，我們允許xt的分量(quantile)僅在低頻下有效，并假設(shè)xt中存在“不規(guī)則邊緣”的形式，并用τ表示聚合(低)頻率，用L表示高頻滯后算子t，用Z表示低頻滯后算子τ，且由Z=Lk可得Zyτ=yτ-1。

為體現(xiàn)時間聚合的特征，我們引入算子，

ω(L)=ω0+ω1L+…+ωk-1Lk-1

(8)

其中，對于代理變量zτ，有zτ=ωLzt。對于xt中的每一個高頻指標(biāo)，xi,t滿足xi,τ=ω(L)xi,t，τ=1,2,…,T/3(此處τ以低頻為單位，所以τ=1相當(dāng)于t=aτ，a=2,3,4,…，i=1,…,N。)運用上述定義的變量，我們首先基于低頻(季度)τ，在zτ上對xτ中的每個元素xi,τ進(jìn)行時間序列回歸，具體如式(9)所示：

(9)

(10)

對于每個高頻(月度)t=1,…,T，我們保留了t的OLS估計值。

(11)

為體現(xiàn)時間聚合后模型所呈現(xiàn)的靜態(tài)特征，本文對代理變量zt進(jìn)行時間聚合來刻畫xt高頻性質(zhì)。特別地，如果松弛參數(shù)ω(L)大于聚合頻率k，聚合模型的誤差將呈現(xiàn)序列相關(guān)性，但并不影響條件期望的靜態(tài)特征。然而需指出的是，如果采用ω1(L)表示zt的滯后，而用ω2(L)表示xt中其他元素的滯后，則時間聚合模型中可能存在動態(tài)因素，此時誤差項中也會存在序列相關(guān)。因此，在靜態(tài)聚合回歸模型中對斜率系數(shù)的估計，即在zτ上對xiτ的回歸，其參數(shù)估計結(jié)果將呈現(xiàn)非一致性，這將對預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性產(chǎn)生影響。

為進(jìn)一步刻畫時間聚合性質(zhì)，我們將預(yù)測重新表達(dá)為：

(12)

(13)

(14)

(15)

誠如前文所言，我們可以利用3PRF得出其二階段系數(shù)，具體如式(16)所示：

(16)

進(jìn)一步將參數(shù)和因子依概率收斂的形式表示如下：

(17)

(18)

(19)

(20)

xi,t=φ0,i+z*′tφi+vt+γi,t，t=1,…,T

(21)

再次用OLS進(jìn)行估計，由于誤差項為vt+γi,t，此時參數(shù)φi的估計值所具有的有效性將低于3PRF第一步估計值的有效性，但依然與其保持一致、無偏，且服從漸進(jìn)正態(tài)分布。

總的來看，MF-3PRF保持了3PRF每一階段參數(shù)估計一致性的特點。然而，誠如前文所言，MF-3PRF在有限樣本中與3PRF相比存在漸進(jìn)性的差異。因此，為了體現(xiàn)MF-3PRF在實時預(yù)報和短期預(yù)測實證應(yīng)用中所呈現(xiàn)的能效，我們還對其有限樣本屬性進(jìn)行模擬。

三、混頻3PRF的樣本性質(zhì)分析

在對混頻3PRF的樣本性質(zhì)進(jìn)行研究時，我們主要依據(jù)蒙特卡羅模擬技術(shù)對混頻3PRF在樣本有限情況下的預(yù)測精確度進(jìn)行檢驗。我們的模擬分析主要從其樣本外預(yù)測的結(jié)果和與其他三種備選預(yù)測方法(分別為DMA、DMS、TVP-VAR、BMA模型)的比較來展開。其中，依據(jù)Primiceri、Korobilis的研究，(20)Primiceri,G. E. ,“Time Varying Structural Vector Autoregressions and Monetary Policy”,The Review of Economic Studies,Vol. 72,No. 3,2005,pp. 821-852.(21)Korobilis,D. ,“ VAR Forecasting Using Bayesian Variable Selection”,Journal of Applied Econometrics,Vol. 28,No. 2,2013,pp. 204-230.設(shè)定TVP-VAR模型形式如下：

yt=ztθt+εt

(22)

θt=θt-1+ηt

(23)

其中，yt表示在t時刻的人民幣對美元匯率，zt=[1,xt-1,yt-1,…yt-p]表示預(yù)測因子，θt=[φt-1,βt-1,γt-1,…γt-p]為系數(shù)向量。式(22)、(23)所體現(xiàn)的一個優(yōu)點在于系數(shù)具有時變特性。為減少因冗余參數(shù)而對模型參數(shù)估計所造成的負(fù)面影響，Hoogerheide等(22)Hoogerheide,L. ,Kleijn,R. ,Ravazzolo,F. ,Van Dijk,H. K. ,& Verbeek,M. ,“Forecast Accuracy and Economic Gains from Bayesian Model Averaging Using Time-Varying Weights”,Journal of Forecasting,Vol. 29,2010,pp. 251-269.進(jìn)一步將TVP-VAR模型表示如下：

(24)

其中，yjt表示從j個模型中預(yù)測的結(jié)果，K表示總共的模型個數(shù)，θjt表示時變權(quán)重。此外，我們在采用式(24)中的TVP-VAR模型對人民幣匯率進(jìn)行預(yù)測時，主要采用兩種形式：第一種為包含截距項及匯率與預(yù)測因子均為時變參數(shù)；第二種是包含截距項及僅人民幣匯率存在滯后項，而預(yù)測因子不存在滯后項。

(25)

(26)

為較好地進(jìn)行描述，我們將DMA/DMS分別引入單一模型和多重模型進(jìn)行闡釋。在既定的Ht與Qt下，卡爾曼濾波可被用來進(jìn)行遞歸估計及預(yù)測。我們將卡爾曼濾波的初始及進(jìn)程表述如下：

θt-1yt-1～N(θ′t-1,Σt-1t-1)

(27)

θtyt-1～N(θ′t-1,Σt-1t-1)

(28)

其中，Σtt-1=Σt-1t-1，我們此時引入遺忘因子λ(0≤λ≤1)，此時我們得到：

(29)

同樣，我們也可得到：

θtyt～N(t,Σtt)

(30)

其中，

(31)

(32)

我們進(jìn)一步采用如下預(yù)測分布來實現(xiàn)遞歸預(yù)測，具體如下：

(33)

(34)

(35)

(36)

此外，我們還根據(jù)Raftery 等的研究，將遺忘因子納入到轉(zhuǎn)移矩陣之中，并設(shè)定兩個遺忘因子α,γ(0≤α≤1,0≤γ≤1)。本文設(shè)定兩個遺忘因子α,γ?(0.95,0.99)。

如前文所述，在進(jìn)行預(yù)測的過程中，實際上隱含著Lt=k的條件，接下來我們進(jìn)一步在模型中引入遺忘因子α以分析無條件的預(yù)測。值得注意的是，在預(yù)測方程中引入遺忘因子時，我們不再需要馬爾科夫鏈蒙特卡羅模擬進(jìn)行不同模型之間的轉(zhuǎn)換。依據(jù)卡爾曼濾波，當(dāng)觀測信息已知時，我們可通過如下DMA方式獲取結(jié)果：

(37)

其中，令πts=p(Lt=lys)，此時我們可將p(Lt-1=k,yt-1)重新寫為πt-1t-1,k，對于無約束的轉(zhuǎn)移矩陣而言，我們可將其元素pkl寫為：

(38)

進(jìn)一步根據(jù)Raftery等的研究，(29)Hansen,P. R. ,“ A Test for Superior Predictive Ability”,Journal of Business & Economic Statistics,Vol. 23,No. 4,2005,pp. 365-380.在上式中納入另一個遺忘因子α(0≤α≤1)，并以此構(gòu)建DMA模型的參數(shù)，因此式(38)可以重新寫為：

(39)

因此，我們可將更新之后的模型寫為：

(40)

其中，pl(ytyt-1)為模型l下對yt的預(yù)測密度。進(jìn)一步，我們采用πtt-1,k對每個模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行平均，因此基于模型平均法對匯率yt的預(yù)測前1期可表示如下：

(41)

值得注意的是，DMS是通過對單個模型的πtt-1,k進(jìn)行比較，并在每個點上選擇其最大值用來預(yù)測，因此DMS可看作DMA的一個特例。而對于遺忘因子α而言，當(dāng)α=0時，所有模型具有相同的權(quán)重，而當(dāng)α=1時，則意味著BMA模型可視為DMA模型的特例。ft=ρfft-1+uf,t表示在第i個觀察值之前呈現(xiàn)指數(shù)型衰減。在本文的研究中，我們所設(shè)定的α∈(0.95,0.99)略小于1，能夠較好地預(yù)測人民幣對美元匯率。此外，我們還對TVP-VAR模型在遺忘因子λ=0.99以及λ=0.95(作為DMA/DMS的特例)等不同的情況下進(jìn)行了檢驗。

(42)

(43)

當(dāng)然，在對模型進(jìn)行預(yù)測時，盡管損失函數(shù)可以被用來判斷模型在預(yù)測方面的績效，但并不能分辨出該模型是否顯著優(yōu)于其他模型。舉例而言，當(dāng)采用MAFE作為判斷標(biāo)準(zhǔn)時，如果模型甲比模型乙的預(yù)測損失值小，只能判斷在這樣一個特定的數(shù)據(jù)樣本中，采用該特定損失函數(shù)時，模型甲比模型乙的預(yù)測精度高。很明顯，這一判斷是不穩(wěn)健的，且無法推廣到其他類似的數(shù)據(jù)樣本或者其他的損失函數(shù)判斷標(biāo)準(zhǔn)。值得注意的是，數(shù)據(jù)樣本中存在的少數(shù)奇異點往往會嚴(yán)重影響損失函數(shù)的計算結(jié)果，從而引起損失函數(shù)值異常增加，進(jìn)而可能導(dǎo)致對模型優(yōu)劣的錯誤判斷。

基于此，Hansen提出了采用高級預(yù)測能力檢驗法(Superior Predictive Ability, SPA)來比較分析多步預(yù)測的能力。(30)Hansen,P. R. ,“ A Test for Superior Predictive Ability”,Journal of Business & Economic Statistics,Vol. 23,No. 4,2005,pp. 365-380.需要提及的是，雖然SPA模型比傳統(tǒng)的損失函數(shù)具有一定的優(yōu)越性，但它必須要求存在基準(zhǔn)模型時才能進(jìn)行比較，極易產(chǎn)生與對照組的多重比較問題。此外，SPA的原假設(shè)是復(fù)合假設(shè)，不僅會影響SPA檢驗統(tǒng)計量的漸進(jìn)分布，還會出現(xiàn)過度參數(shù)化的問題，從而很容易拒絕正確的原假設(shè)。為克服這一缺陷，Hansen等提出了模型可信集檢驗法(Model Confidence Set, MCS)，該統(tǒng)計量能夠較好地克服SPA等統(tǒng)計量所存在的缺陷，而且不需要選擇基礎(chǔ)模型，因此使得檢驗結(jié)果更具穩(wěn)健性和外延性。(31)Hansen,P. R. ,Lunde,A. ,& Nason,J. M. ,“The Model Confidence Set”,Econometrica,Vol. 79,No. 2,2011,pp. 453-497.對于MCS統(tǒng)計量而言，其原假設(shè)為所有模型具有相同的預(yù)測能力，且主要包含兩個統(tǒng)計量，分別為范圍統(tǒng)計TR與半二次方統(tǒng)計量TSQ，具體表達(dá)如下：

(44)

(45)

(46)

我們使用N=T=100或N=T=200的兩個數(shù)據(jù)集進(jìn)行模擬，其樣本外預(yù)測結(jié)果見表1所示。特別地，在構(gòu)造參數(shù)的過程中，我們進(jìn)行5 000次模擬抽樣，并將因子結(jié)構(gòu)強度劃分為三個類別：第一類為“正常因素”，其預(yù)測因子的百分比中值R2為30%；第二類為“中偏弱因素”，其R2為20%；第三類為“弱因素”，其中R2為10%。其中，正常因子結(jié)構(gòu)與Stock 和 Watson對宏觀經(jīng)濟數(shù)據(jù)的分析中所提到的共同因素變化的程度相一致。(35)Stock,J. ,& Watson,M. ,“Forecasting Using Principal Components from a Large Number of Predictors”,Journal of the American Statistical Association,Vol. 97,2002,pp. 1167-1179.參照Groen 和Kapetanios 以及Onatski的研究，(36)Groen,J. J. ,& Kapetanios,G. ,“Model Selection Criteria for Factor-Augmented Regressions”,Oxford Bulletin of Economics and Statistics,Vol. 75,No. 1,2013,pp. 37-63.(37)Onatski,A. ,“Asymptotics of the Principal Components Estimator of Large Factor Models with Weakly Influential Factors”,Journal of Econometrics,Vol. 168,No. 2,2012,pp. 244-258.我們對“中偏弱”因子結(jié)構(gòu)進(jìn)行相應(yīng)的設(shè)定。需要注意的是，由于因子載荷量在模擬過程中呈現(xiàn)潛在的隨機性特征，因此，受其自身異質(zhì)性的影響，各預(yù)測因子對目標(biāo)變量的預(yù)測績效也表現(xiàn)為明顯差異。特別地，在上述三類別中，本文模擬所有預(yù)測因子載荷量非零。對于“中偏弱非普適因素”而言，由于相關(guān)因素不具有普適性，我們將其中一半的預(yù)測因子對相關(guān)因素的因子載荷量設(shè)置為零。

表1 樣本外模擬預(yù)測績效

蒙特卡羅模擬結(jié)果表明，單因素混頻3PRF相較于其他因素而言，在不同參數(shù)下均表現(xiàn)出較好的預(yù)測績效。事實上，PCR5和PCLAR的預(yù)測績效也在部分情形下優(yōu)于混頻3PRF的預(yù)測績效，但其優(yōu)勢相對較弱。特別地，在較大的樣本中，強因子結(jié)構(gòu)的情況下，因子會迅速恢復(fù)至均值水平，且特征異質(zhì)性預(yù)測因子之間幾乎沒有序列或截面相關(guān)性。此外，混頻3PRF的能效往往遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過其他方案，尤其是小樣本情況下弱因子結(jié)構(gòu)的情況。此外，混頻3PRF的預(yù)測全部基于單一的估計因子，而備擇方案則在其預(yù)測方程中使用5或10個因子。由此，預(yù)測因子中的不相關(guān)因素對PCR5和PCLAR的預(yù)測績效產(chǎn)生了不利影響。

四、基于MF-3PRF模型的人民幣匯率預(yù)測

(一)預(yù)測因子篩選

接下來，本文將采用MF-3PRF方法對人民幣匯率的動態(tài)變化特征及波動成因再檢驗。需要注意的是，從理論上來看，有關(guān)決定或影響匯率水平及變動因素在學(xué)術(shù)上已產(chǎn)生了經(jīng)典理論，其中，購買力平價理論、利率平價理論是匯率決定的重要理論基礎(chǔ)，同時，彈性價格貨幣模型、粘性價格貨幣模型與巴拉薩—薩繆爾森匯率模型將購買力平價理論與貨幣數(shù)量論結(jié)合，形成由貨幣供給、國民收入、利率和物價等基本面因素共同決定的匯率決定模型。(38)Frenkel,J. A. ,“A Monetary Approach to the Exchange Rate: Doctrinal Aspects and Empirical Evidence”,The Scandinavian Journal of Economics,Vol. 78,No. 2,1976,pp. 200-224.(39)Dornbusch,R. ,“Expectations and Exchange Rate Dynamics”,Journal of Political Economy,Vol. 84,No. 6,1976,pp. 1161-1176.而且由于泰勒規(guī)則綜合了維克塞爾(Wicksell)的累積過程學(xué)說、費雪效應(yīng)、傳統(tǒng)貨幣數(shù)量論、凱恩斯貨幣理論及弗里德曼現(xiàn)代貨幣數(shù)量論等思想而形成了一個新的貨幣政策規(guī)則，因此，較多的學(xué)者開始采用泰勒規(guī)則匯率模型解釋匯率變動。(40)Frankel,J. A. ,“On the Mark: A Theory of Floating Exchange Rates Based on Real Interest Differentials”,The American Economic Review,Vol. 69,No. 4,1979,pp. 610-622.(41)Frankel,J. A. ,“In Search of the Exchange Risk Premium: A Six-Currency Test Assuming Mean-Variance Optimization”,Journal of International Money and Finance,Vol. 1,1982,pp. 255-274.(42)Mark,N. C. ,“Exchange Rates and Fundamentals: Evidence on Long-Horizon Predictability”,The American Economic Review,Vol. 85,No. 1,1995,pp. 201-218.(43)Groen,J. J. ,“The Monetary Exchange Rate Model as a Long-Run Phenomenon”,Journal of International Economics,Vol. 52,No. 2,2000,pp. 299-319.(44)Mark,N. C. ,& Sul,D. ,“Nominal Exchange Rates and Monetary Fundamentals: Evidence from a Small Post-Bretton Woods Panel”,Journal of International Economics,Vol. 53,No. 1,2001,pp. 29-52.(45)Engel,C. ,& West,K. D. ,“Exchange Rates and Fundamentals”,Journal of Political Economy,Vol. 113,No. 3,2005,pp. 485-517.為此，本文沿襲經(jīng)典理論，重點選擇了無拋補利率平價、購買力平價、彈性價格模型、粘性價格模型、巴拉薩—薩繆爾森模型、資產(chǎn)組合平衡模型以及泰勒規(guī)則匯率決定理論模型進(jìn)行比較分析。借鑒江春等的研究，(46)江春、楊宏路、李小林: 《基于泰勒規(guī)則的人民幣匯率預(yù)測研究: 兼論多種匯率決定模型預(yù)測比較》,《世界經(jīng)濟研究》2018 年第4 期。本文在對人民幣匯率進(jìn)行預(yù)測時，所依據(jù)的理論模型及基礎(chǔ)預(yù)測因子選擇整理如表2所示。

表2 理論模型及預(yù)測因子選擇

(二)變量選取及相關(guān)檢驗

結(jié)合前文理論分析并借鑒經(jīng)典文獻(xiàn)中變量的度量形式，對于人民幣匯率而言，本文采用直接標(biāo)價法下的人民幣對美元即期匯率(ER)，由于美國的聯(lián)邦基金利率被視為最能夠靈敏地反映銀行之間的資金短缺情況及資金供求狀況的基準(zhǔn)利率，因此采用美國聯(lián)邦基金利率(if)作為美元利率的代理指標(biāo)。相應(yīng)地，人民幣利率采取中國銀行間同業(yè)拆借隔夜利率(id)，同樣，中美兩國的通脹水平分別采用中國和美國的消費者價格指數(shù)的同比增長率(πd和πf)來衡量，而中美兩國物價水平則采用居民消費者價格指數(shù)(CPId和CPIf)表示。此外，對于產(chǎn)出而言，由于中國沒有對月度GDP進(jìn)行統(tǒng)計，因此我們采用季度GDP增長率衡量產(chǎn)出，同時我們對GDP增長率進(jìn)行HP濾波處理，從而得到產(chǎn)出增速缺口，因此中美兩國產(chǎn)出缺口之差采用兩國GDP增速缺口之差進(jìn)行表示。最后，對于生產(chǎn)率而言，我們借鑒Cheung等的研究，(47)Cheung,Y. W. ,Chinn,M. D. ,& Pascual,A. G. ,“Empirical Exchange Rate Models of the Nineties: Are Any Fit to Survive? ”,Journal of International Money and Finance,Vol. 24,No. 7,2005,pp. 1150-1175.采用人均GDP增長率進(jìn)行測度。而對于資產(chǎn)價格而言，我們采用股票市場綜合價格指數(shù)進(jìn)行衡量。緊接著，我們將除利率及通脹之外的其他原始時間序列數(shù)據(jù)全部進(jìn)行X-12季節(jié)調(diào)整及自然對數(shù)處理，并在此基礎(chǔ)上最終求得中美兩國的股價之差(SP)、息差(ID)、通貨膨脹之差(CPI)及產(chǎn)出缺口差(GDP)。上述數(shù)據(jù)來源于OECD數(shù)據(jù)庫、美國St.Louis聯(lián)邦儲備銀行數(shù)據(jù)庫、FRED及Wind數(shù)據(jù)庫，其中月度數(shù)據(jù)樣本期間為2005年7月至2018年12月，而季度數(shù)據(jù)樣本期間為2005年第3季度至2018年第4季度。

表3為本文研究變量的描述性統(tǒng)計結(jié)果。從該表中不難發(fā)現(xiàn)，股價的標(biāo)準(zhǔn)差最大，為33.582，意味著股票市場價格波動最為劇烈，而匯率的標(biāo)準(zhǔn)差最小為0.091，意味著人民幣匯率的波動相對較小。從J-B統(tǒng)計量中可以看出，除股價差與央行外匯干預(yù)之外，其余所有變量均在既定的顯著性水平下拒絕了“存在正態(tài)分布”的原假設(shè)，意味著股價差與央行外匯干預(yù)為正態(tài)分布，而其余所有變量均服從偏態(tài)分布。同時從偏度可以看出，除匯率、產(chǎn)出差、央行外匯干預(yù)與匯率預(yù)期大于0之外，其余變量均小于0，意味著匯率、產(chǎn)出缺口差、央行外匯干預(yù)及匯率預(yù)期服從右偏分布，而其余變量均服從左偏分布。

表3 描述性統(tǒng)計結(jié)果

在對變量間的關(guān)系進(jìn)行刻畫時，為避免出現(xiàn)虛假回歸并導(dǎo)致參數(shù)估計結(jié)果出現(xiàn)非一致情形，而且考慮到本文所涉及的經(jīng)濟金融變量易受非預(yù)期外部沖擊及政策調(diào)整的影響而具有結(jié)構(gòu)突變特征，特別是在不同的時間區(qū)間及區(qū)制環(huán)境下，上述變量的動態(tài)變化特征很有可能存在分異。鑒于此，我們借鑒司登奎等的研究，(48)司登奎、李小林、張倉耀: 《分位數(shù)單位根檢驗的拓展及其應(yīng)用研究》,《統(tǒng)計研究》2017 年第5 期。采用能同時捕捉結(jié)構(gòu)突變和平滑漸變的分位數(shù)單位根方法對變量的非線性動態(tài)變化進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗，結(jié)果如表4所示。

表4 含結(jié)構(gòu)突變與平滑漸變點的分位數(shù)單位根檢驗結(jié)果

從表4中的檢驗結(jié)果可以看出，QKS統(tǒng)計量在至少10%的顯著性水平下拒絕了“序列為非平穩(wěn)”的原假設(shè)，這意味著上述所有變量均為平穩(wěn)序列。從平滑漸變點檢驗結(jié)果(K)可以發(fā)現(xiàn)，中美通脹差含有3個平滑漸變點，國際資本流動與產(chǎn)出缺口均含有2個平滑漸變點，而匯率、中美利差及匯率預(yù)期均含有1個平滑漸變點。同時，結(jié)構(gòu)突變點檢驗結(jié)果表明，人民幣即期匯率、中美通脹差及匯率預(yù)期均含有5個結(jié)構(gòu)突變點，資本流動、利差均含有4個結(jié)構(gòu)突變點，而產(chǎn)出缺口差則含有2個結(jié)構(gòu)突變點。此外，所有變量的F統(tǒng)計量在至少10%的顯著性水平下拒絕了“變量為線性”的原假設(shè)，這意味著變量的數(shù)據(jù)生產(chǎn)過程(Data Generating Process，DGP)均呈現(xiàn)非線性特征，這在一定程度上印證了采用非線性方法刻畫變量間的動態(tài)關(guān)系的必要性。

考慮到單一模型不能兼顧不同經(jīng)濟狀態(tài)下人民幣匯率的變動特征，進(jìn)而使得預(yù)測結(jié)果面臨較大的不確定性。為克服這一不足，我們聯(lián)合采用DMA、DMS、TVP-VAR及BMA模型進(jìn)行預(yù)測。需要注意的是，不同的預(yù)測長度也會影響模型的預(yù)測能力，因此本文選擇了預(yù)測步長為1、2、3、6、12，并予以比較分析，旨在考察究竟哪種模型具有較好的預(yù)測績效。

(三)實證結(jié)果及分析

結(jié)合上述理論模型中的預(yù)測因子，我們進(jìn)一步采用多種計量模型對人民幣匯率進(jìn)行聯(lián)合預(yù)測，并采用MAFE與MSFE的損失函數(shù)來比較相應(yīng)的預(yù)測精度，其中MAFE與MSFE值越大意味著預(yù)測精度越差，同時也表明該模型的預(yù)測能力較弱。從表5中的預(yù)測結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，在所有的計量模型與理論模型中，MF-3PRF具有較小的預(yù)測誤差(MAFE與MSFE)。同時仍需注意的是，在本文所采用的多種計量模型對匯率進(jìn)行預(yù)測時，并非所有模型均優(yōu)于隨機游走(RW)模型，如：TVP-VAR(2)-X的MAFE與MSFE均大于RW模型，而DMA模型則優(yōu)于RW模型，且MF-3PRF模型在對人民幣匯率預(yù)測精度上優(yōu)于DMA(0.95，0.95)。值得注意的是，MF-3PRF模型預(yù)測的MAFE與MSFE值要小于其他情況下計量模型預(yù)測的MAFE和MSFE值，原因在于MF-3PRF模型對最佳方程外的其余方程所賦予的權(quán)重為0，而且由于MF-3PRF模型具有簡約特性且能夠充分利用混頻先行指標(biāo)的時效性，能夠有效避免過度識別的問題，這也進(jìn)一步使得MF-3PRF模型表現(xiàn)出較高的預(yù)測績效。

表5 不同模型的預(yù)測精度比較

(續(xù)上表)

(續(xù)上表)

誠如前文所言，盡管MAFE與MSFE能夠比較出不同模型對人民幣匯率的預(yù)測能力，但無法辨析出哪種模型顯著最優(yōu)。鑒于此，我們進(jìn)一步參照Hansen等所提出的模型可信集(MCS)檢驗方法，(49)Hansen,P. R,Lunde,A. ,& Nason,J. M. ,“The Model Confidence Set”,Econometrica,Vol. 79,No. 2,2011,pp. 453-497.并在不同理論與計量模型下對人民幣匯率的預(yù)測精度進(jìn)行比較，結(jié)果如表6所示。從表6中容易發(fā)現(xiàn)，MF-3PRF模型在預(yù)測人民幣匯率變動時，在所有的預(yù)測步長內(nèi)，其MCS檢驗的伴隨概率在所有模型中最大且均大于0.1，表明MF-3PRF模型是模型可信集檢驗過程中幸存的模型，其P值越大表明該模型的預(yù)測精度越高，也即表明MF-3PRF模型是預(yù)測能力較好的模型。因此，我們可以判定包含內(nèi)生特征的泰勒規(guī)則模型能夠較好地解釋人民幣匯率變動，同時MF-3PRF模型在預(yù)測人民幣匯率變動上表現(xiàn)出了較高的預(yù)測能力，這也進(jìn)一步表明運用MF-3PRF結(jié)合考慮了具有內(nèi)生特征的泰勒規(guī)則匯率模型能夠較好地解釋人民幣匯率變動的趨勢，而且圖1中MF-3PRF的MSFE與備擇模型MSFE比值的動態(tài)變化趨勢也進(jìn)一步印證了上述結(jié)論。

表6 不同模型的MCS檢驗

(續(xù)上表)

(續(xù)上表)

五、結(jié) 論

本文將混頻思想納入3PRF理論之中并提出混頻三步回歸濾波法(Mixed Frequency Three-Pass Regression Filter，MF-3PRF)，從而實現(xiàn)提高預(yù)測績效的目的。特別地，本文提出的MF-3PRF模型允許提取的因子具有混頻屬性，能夠解決3PRF模型沒有考慮混頻先行指標(biāo)時效性的缺陷?；跇颖拘再|(zhì)的理論模擬結(jié)果表明，MF-3PRF不僅能夠保持傳統(tǒng)3PRF的有效性與一致性，表現(xiàn)出較高的理論預(yù)測績效，而且，當(dāng)經(jīng)濟系統(tǒng)呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)性變動時，MF-3PRF呈現(xiàn)較優(yōu)的預(yù)測能效，因而具有較強的適用性。

進(jìn)一步地，文章基于MF-3PRF模型結(jié)合備擇模型(DMA、DMS、TVP-VAR、BMA、RW)并選取無拋補利率平價、購買力平價、彈性/粘性價格貨幣模型、巴拉薩—薩繆爾森模型、資產(chǎn)組合模型、泰勒規(guī)則等理論模型對人民幣匯率進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果表明無拋補利率平價模型、購買力平價模型、彈性價格貨幣模型、粘性價格貨幣模型、巴拉薩—薩繆爾森效應(yīng)模型、資產(chǎn)組合模型對人民幣匯率均具有一定的預(yù)測能力，但多種計量模型均表明其預(yù)測能力低于隨機游走模型。而當(dāng)采用泰勒規(guī)則模型對人民幣匯率進(jìn)行預(yù)測時，其樣本外預(yù)測能力顯著高于隨機游走模型。同時，在采用MF-3PRF、DMA、BMA以及TVP-VAR等多種模型進(jìn)行預(yù)測時，MF-3PRF模型具有較好的預(yù)測績效。鑒于MF-3PRF并結(jié)合泰勒規(guī)則能夠較好地捕捉人民幣匯率的動態(tài)變化特征，因而能為貨幣當(dāng)局穩(wěn)定人民幣匯率以及公眾在新的匯率形成機制條件下深入認(rèn)識人民幣匯率動態(tài)變化與波動成因提供啟示。

圖1 基于泰勒規(guī)則模型的人民幣匯率預(yù)測注：曲線的值表示MF-3PRF的MSFE與備選模型MSFE的比值