葉純寶，李學(xué)超，張糧成，牛牧文

(安徽理工大學(xué) 力學(xué)與光電物理學(xué)院，安徽 淮南 232001)

近年來，由于低維半導(dǎo)體材料生長技術(shù)的快速發(fā)展，低維半導(dǎo)體材料的非線性光學(xué)性能受到了理論和實(shí)驗(yàn)物理的廣泛關(guān)注，比如光吸收系數(shù)，折射率變化，光整流和二次諧波等[1-7]。這是因?yàn)橄啾扔趥鹘y(tǒng)的體材料，低維的半導(dǎo)體材料擁有更好的非線性光學(xué)性能。良好的非線性光學(xué)性能對(duì)于研究光電器件的發(fā)展有一定的參考意義。

對(duì)于低維半導(dǎo)體材料的非線性光學(xué)性能，很多的研究者做了相關(guān)的工作。2015年，Shojaei研究了一個(gè)、兩個(gè)以及三光子共振對(duì)于量子點(diǎn)折射率的影響[8]。研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)：在共振情況下，折射率的變化很大程度上受到了量子點(diǎn)大小和光照強(qiáng)度的影響。2016年，袁研究了在電場(chǎng)的影響下，半拋物量子阱的二次諧波和光整流[9]。研究發(fā)現(xiàn)：隨著電場(chǎng)的增加，二次諧波的峰值在不斷的減小，光整流的峰值逐漸地增加，都向著低能量的區(qū)域移動(dòng)。2017年，李研究了在電場(chǎng)作用下，三角形量子點(diǎn)的二次諧波和光整流[10]。研究結(jié)果表明：在外加電場(chǎng)的影響下，二次諧波和光整流的峰值都得到了很大的提高，并且在相同的位置取得了峰值。2018年，劉研究了量子線中的光吸收系數(shù)[11]。計(jì)算的結(jié)果發(fā)現(xiàn)：通過調(diào)節(jié)耦合狀態(tài)可以有效地改變光吸收系數(shù)的峰值和位置。我們可以發(fā)現(xiàn)，二次諧波和光整流主要受到系統(tǒng)中的對(duì)稱性的影響。

在本文中我們對(duì)正切平方勢(shì)V0tan2(πz/L)量子阱中的二次諧波進(jìn)行相應(yīng)的討論。在文中第二部分我們推導(dǎo)求解了正切平方勢(shì)的能級(jí)與波函數(shù)以及二次諧波的表達(dá)式。第三部分引入相應(yīng)的數(shù)值進(jìn)行模擬和討論。最后對(duì)本文作了一個(gè)簡單的總結(jié)。

1 基本原理

在有效質(zhì)量近似的條件下，系統(tǒng)的哈密頓量可以表示為[12]：

其中V(z)=V0tan2(πz/L)。表示普朗克常量，z表示量子點(diǎn)的生長方向，m*表示電子的有效質(zhì)量，L和V0是限制勢(shì)的參數(shù)，L表示限制勢(shì)的寬度，V0表示限制勢(shì)的高度。

通過求解系統(tǒng)的薛定諤方程我們可以得到系統(tǒng)的能級(jí)與波函數(shù)分別表示為：

其中n=0，1，2，3…，fn(t)分別表示為：

為了得到系統(tǒng)的二次諧波表達(dá)式，我們假設(shè)系統(tǒng)受到形如E(t)=E0cos(ωt)電磁場(chǎng)的激發(fā)。我們定義ρ作為密度矩陣，我們可以得到密度矩陣的運(yùn)動(dòng)方程為：

其中H0是沒有電磁場(chǎng)的哈密頓量，ρ(0)表示無電場(chǎng)的密度矩陣，Γij表示弛豫率。我們利用迭代方法求解上式，可以得到[13]：

系統(tǒng)中電子的極化強(qiáng)度可以表示為：

其中，V表示相互作用的體積，Tr表示跡。因此我們可以得到二次諧波的表達(dá)式為[14,15]：

其中σv表示量子阱中電子密度，ωij=(Ei-Ej)/表示電子的轉(zhuǎn)換頻率，Mij=|〈ψi|z|ψj〉|表示非對(duì)角矩陣元。

2 分析與討論

在計(jì)算正切平方勢(shì)量子阱二次諧波的過程中，我們選用的參數(shù)如下：m*=0.067m0(m0表示自由電子的質(zhì)量)，Γ=5×1012Hz，σv=5×1024m-3，ε0=8.85×10-12[16,17]。

圖1為當(dāng)限制勢(shì)高度為40 meV，寬度分別為35 nm、40 nm、50 nm時(shí)，二次諧波隨著入射光能量變化的曲線。從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)，隨著限制勢(shì)寬度L的不斷增加，二次諧波的峰值逐漸的增加。并且在限制勢(shì)寬度增加的過程中，二次諧波的曲線逐漸向著低能量的方向移動(dòng)，出現(xiàn)了紅移現(xiàn)象。從二次諧波的公式我們可以發(fā)現(xiàn)，二次諧波的峰值主要由矩陣元乘積|M01M12M20|決定的。為此，我們做出了矩陣元乘積與限制勢(shì)寬度之間的變化曲線，如圖2所示。從圖2中我們可以發(fā)現(xiàn)，隨著限制勢(shì)寬度L的不斷增加，矩陣元乘積不斷地增加，這也表明二次諧波的峰值逐漸地增加。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的物理解釋是：隨著限制勢(shì)寬度的不斷增加，不同的電子態(tài)逐漸地增加。

圖1 對(duì)于不同的限制勢(shì)寬度，二次諧波與入射光能量之間的變化關(guān)系

圖2 矩陣元乘積與L之間的變化關(guān)系

圖3 對(duì)于不同的限制勢(shì)高度，二次諧波與入射光能量之間的變化關(guān)系

圖3給出了當(dāng)限制勢(shì)寬度為40 nm，高度分別為40 meV、50 meV、60 meV時(shí)，二次諧波隨著入射光能量變化的曲線。從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)，隨著限制勢(shì)高度的不斷增加，二次諧波的峰值逐漸減小，并且二次諧波的曲線逐漸地向著高能量的方向移動(dòng)，出現(xiàn)了藍(lán)移現(xiàn)象。為了進(jìn)一步研究二次諧波峰值的變化原因，我們?cè)趫D4中做出了矩陣元乘積與V0之間的變化關(guān)系。從圖4中我們可以發(fā)現(xiàn)，隨著限制勢(shì)高度的增加，矩陣元乘積不斷的減小，表明二次諧波的峰值逐漸的減小。

圖4 矩陣元乘積與V0之間的變化關(guān)系

3 結(jié)論

本文主要研究了正切平方勢(shì)中的限制勢(shì)寬度以及高度對(duì)于二次諧波的影響。在我們的研究中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)限制勢(shì)寬度L增加時(shí)，二次諧波的峰值逐漸的增加，并且向著低能量方向移動(dòng)。對(duì)于限制勢(shì)高度V0，當(dāng)限制勢(shì)高度V0增加時(shí)，二次諧波的峰值逐漸的減小，并向著高能量的方向移動(dòng)，與限制勢(shì)寬度L的變化呈現(xiàn)出了相反的變化。通過選取合適的限制勢(shì)高度與寬度，我們可以獲得恰當(dāng)?shù)亩沃C波。