張令浩，張劍云，周青松

(國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院，安徽 合肥 230037)

0 引言

隨著民用通信技術(shù)的快速發(fā)展，為提高傳輸速率和傳輸數(shù)據(jù)量，通信業(yè)務(wù)占據(jù)越來越寬的頻帶。另一方面，為獲得高距離分辨率，雷達(dá)不斷拓寬探測信號的帶寬，這就使得原有的頻段劃分對雷達(dá)和通信業(yè)務(wù)來說可能會產(chǎn)生交疊。像雷達(dá)和通信這樣爭奪射頻資源的現(xiàn)象近年來日益增多，除此之外，雷達(dá)信號還需要避開某些專用頻段，例如用于導(dǎo)航、救援等。傳統(tǒng)的頻率劃分手段很難解決現(xiàn)有的頻譜環(huán)境擁堵問題，因此設(shè)計(jì)頻譜中特定頻段能量降低的雷達(dá)探測信號，對于提高頻譜利用率具有重要的工程意義。

為在頻譜擁擠環(huán)境下實(shí)現(xiàn)共享頻譜，希望在探測信號頻譜中生成某些凹槽，因而文獻(xiàn)[1]提出了一種設(shè)計(jì)單個頻率零點(diǎn)信號的算法。文獻(xiàn)[2]深入研究了一種同時生成多個頻譜零點(diǎn)的連續(xù)相位波形算法。文獻(xiàn)[3—4]又分別針對線性調(diào)頻信號設(shè)計(jì)單個和多個頻率零點(diǎn)，提出了一種有效的迭代投影算法。多個頻率零點(diǎn)靠近即可生成一個窄的阻帶，從而在這較窄的頻段上減少對其他服務(wù)的影響，但是該方法局限于線性調(diào)頻信號，或者說局限于一種自相關(guān)特性本身很好的信號，而且更重要的是該方法能夠設(shè)計(jì)的頻率窄阻帶是比較有限的，一般很窄，此外計(jì)算復(fù)雜度也較高。文獻(xiàn)[5]進(jìn)一步提出了一種設(shè)計(jì)多凹槽的計(jì)算復(fù)雜度更低的算法。文獻(xiàn)[6—8]引入了凸優(yōu)化方法解決重疊頻段共享頻譜設(shè)計(jì)波形的問題。該方法以雷達(dá)檢測性能指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)，對信號施加不同的約束，包括能量約束、自相關(guān)旁瓣約束、頻譜兼容性約束，最后將模型松弛求解，后經(jīng)過改進(jìn)并提出一種理論設(shè)計(jì)框架。該方法不針對恒定幅度信號設(shè)計(jì)問題，同時該團(tuán)隊(duì)指出，設(shè)計(jì)恒模信號將是重要的研究方向。針對設(shè)計(jì)任意幅度信號，不以雷達(dá)檢測性能作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，文獻(xiàn)[9]提出一種直接針對頻譜需求設(shè)計(jì)任意形狀的“整形”算法,該算法指出提供良好的初始信號是對算法十分重要。除此之外該團(tuán)隊(duì)在文獻(xiàn)[10]提出一種考慮自相關(guān)旁瓣約束的循環(huán)算法設(shè)計(jì)頻譜中帶有窄阻帶的波形序列，該方法基于FFT運(yùn)算，有效地提高了運(yùn)算效率。而后文獻(xiàn)[11]改變目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化過程中涉及分步優(yōu)化，同時為了獲得恒定幅度的波形，采用最速下降法生成優(yōu)化信號；該方法采用分步優(yōu)化的方法，給算法增加了計(jì)算復(fù)雜度。作為對比，首先借助文獻(xiàn)[6]的思想，利用凸優(yōu)化實(shí)現(xiàn)；而該方法效果理想，比文獻(xiàn)[11]的方法可以對信號自相關(guān)特性更加充分地控制，但是涉及高計(jì)算復(fù)雜度，并且已知信息中需要給定信號自相關(guān)特性的參數(shù)。針對雷達(dá)與通信頻譜交疊頻段設(shè)計(jì)阻帶波形涉及較高計(jì)算復(fù)雜度的問題，本文提出了基于改進(jìn)迭代算法的阻帶波形設(shè)計(jì)的方法。

1 阻帶波形設(shè)計(jì)模型構(gòu)建

本章將設(shè)計(jì)頻譜阻帶波形實(shí)現(xiàn)雷達(dá)與通信信號頻譜共存。作為對比，首先提出基于凸優(yōu)化方法的阻帶波形設(shè)計(jì)模型，然后對文獻(xiàn)[11]方法進(jìn)行改進(jìn)并提出改進(jìn)的迭代算法模型。

假設(shè)雷達(dá)發(fā)射的探測信號為離散的且s∈CM′×1，M′表示信號的長度。在工程上，雷達(dá)發(fā)射機(jī)一般不能進(jìn)行幅度調(diào)制，因此，設(shè)計(jì)恒模發(fā)射信號具有重要的工程意義。那么，可以假設(shè)信號具有下面的形式：

s=[ejφ1，…，ejφn，…，ejφM′]∈CM′×1,n∈(1,M′)

(1)

式(1)中，ejφn表示離散信號第n個采樣點(diǎn)的相位。

假設(shè)雷達(dá)與通信系統(tǒng)在某些頻段存在重疊，同時在該重疊頻段上，主用戶是通信，那么雷達(dá)信號在該頻段必須保證不能對通信產(chǎn)生過大干擾，同時雷達(dá)信號還要完成其自身的“千里眼”功能，這也就意味著雷達(dá)信號需要控制在該頻段的頻譜能量。同時信號的某些特性，比如距離分辨率也需達(dá)到一定的要求。在這里，假設(shè)雷達(dá)工作在實(shí)際環(huán)境中與通信容易產(chǎn)生交疊的X波段以下頻段。

(2)

可以得到：

s?RIs≤EI

(3)

另一方面，對雷達(dá)探測信號來說，為獲得較高的距離分辨率，需要對信號施加一些自相關(guān)旁瓣水平的約束。相似性約束是從信號整體相似程度進(jìn)行控制，合理調(diào)整相似性參數(shù)能夠很好地約束信號的變化[6]。通常令待求信號相似于已知自相關(guān)特性較好的信號，例如線性調(diào)頻信號，用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示為：‖s-s0‖2≤κ，其中κ≥0，s0為參考信號。那么，可以認(rèn)為相似度κ越小，信號的總體表現(xiàn)越好，自相關(guān)特性也就越好。

下面給出兩種思路建立模型，并在下一章中針對兩種模型給出具體求解思路。

首先考慮借助凸優(yōu)化尋找優(yōu)化解，該方法需要預(yù)先給定相似程度，將波形的相似性做約束條件。即建立模型：

(4)

此時，該模型需要給定已知參數(shù)κ來控制信號的自相關(guān)旁瓣水平，與此同時，另一種思路是希望自相關(guān)旁瓣水平應(yīng)盡可能地低而不是事先設(shè)置的約束。那么先令J1(x)=s?RIs，顯然，在重疊頻段上對信號來說，應(yīng)該滿足：

(5)

而抑制信號的自相關(guān)旁瓣水平最精確的體現(xiàn)應(yīng)當(dāng)是對信號的積分旁瓣水平(ISL)進(jìn)行抑制。

由維納-辛欽定理可知，信號的自相關(guān)函數(shù)(ACF)與其功率譜密度是一對傅里葉變換，即有：

(6)

(7)

以上是對信號s的積分旁瓣水平的定量分析，直接對ISL進(jìn)行優(yōu)化十分困難，文獻(xiàn)[11]利用一種等效的形式替代計(jì)算ISL，這也使得在后續(xù)的求解過程中引入了一個新的處理變量，必須進(jìn)行分步優(yōu)化。

本文則望使用相似性約束作為對信號的整體旁瓣水平的把握，從而實(shí)現(xiàn)降低計(jì)算復(fù)雜度的目的。將目標(biāo)函數(shù)ISL替換為相似性程度，即得到：

(8)

顯然，將問題(4)和問題(7)同時進(jìn)行考慮得到：

(9)

式(9)中，λ用于對兩部分目標(biāo)函數(shù)之間的平衡，且滿足0≤λ≤1。即:

(10)

以上是利用兩種思路建立設(shè)計(jì)恒模波形實(shí)現(xiàn)雷達(dá)發(fā)射信號頻譜阻帶的模型問題，給出了模型(4)和模型(10)，模型(10)主要是針對模型(4)涉及的計(jì)算復(fù)雜度較高的問題，提出的改進(jìn)迭代算法來提高運(yùn)算速率。

利用凸優(yōu)化的方法較為可靠，尋找到的優(yōu)化波形十分可信，往往凸優(yōu)化方法給出的是約束條件下的全局最優(yōu)解，因此在后面的內(nèi)容中會詳細(xì)說明該方法的優(yōu)缺點(diǎn)，并和文獻(xiàn)[11]方法一起主要用來作為改進(jìn)迭代算法的對比。

2 基于改進(jìn)迭代算法的阻帶波形設(shè)計(jì)方法步驟

本章將對模型 (10)進(jìn)行分析求解，給出具體的求解優(yōu)化信號的思路。作為對比方法，首先給出對比算法的具體實(shí)施步驟，即對模型(4)進(jìn)行分析，然后給出改進(jìn)的迭代算法的具體步驟。

2.1 凸優(yōu)化方法求解

對于模型(4)，該問題屬于非凸問題，主要是因?yàn)樾盘柡愣ǚ鹊募s束屬于非凸條件，進(jìn)一步得到：

(11)

式(11)中，σ=(1-κ/2)2,S=ss?,S0=s0s0?，S?=0表示S為半正定矩陣。求解該問題必須拋掉恒模約束，因此只對S的對角線元素作恒模約束，可得：

(12)

利用凸優(yōu)化工具可以解決問題(11)，得到一個半正定矩陣S′而不是s，因而需要選擇一種合理的方法恢復(fù)出一個優(yōu)化信號。本文采用隨機(jī)化方法，將S′看作隨機(jī)向量s的已知協(xié)方差矩陣，隨機(jī)生成N組信號s，選擇使得目標(biāo)函數(shù)最小的隨機(jī)向量，作為最終解。另一方面：

‖s-s0‖2=[2-2Re(s?s0)]

(13)

綜上，將凸優(yōu)化方法(方法1)總結(jié)得到具體算法(算法1)步驟如下：

1) 輸入s0、RI、κ、M′。

2) 利用凸優(yōu)化工具求解q″(12)模型并得到復(fù)矩陣S′，同時計(jì)算S′的秩。

3) 若rank(S′)=1,直接對S′進(jìn)行特征值分解即得到最優(yōu)解s′，跳到步驟5)。

4) 若rank(S′)>1，以均值為零，協(xié)方差矩陣為S′隨機(jī)生成N組隨機(jī)向量，同時代入信噪比表達(dá)式。

6) 輸出s″=s′ejarg(s′?s0)為優(yōu)化信號。

利用該方法必須依賴隨機(jī)方法恢復(fù)信號，隨機(jī)化次數(shù)越高，信號越接近模型(11)的真實(shí)解越更靠近模型(10)的真實(shí)解，而該方法在模型松弛過程中，拋掉了恒模約束，僅僅對優(yōu)化矩陣中對角線元素進(jìn)行約束，使最后得到的解帶有偏差，且偏差與參數(shù)設(shè)置相關(guān)。

解決模型(10)則是一種與此不同的思路，將κ作為優(yōu)化目標(biāo)的一部分，該方法是對文獻(xiàn)[11]中方法的一種改進(jìn)，同時，相對于算法一有獨(dú)特優(yōu)勢，既降低了計(jì)算復(fù)雜度，也不用考慮如何設(shè)置κ的問題。

2.2 改進(jìn)的迭代算法求解

對于模型(10)，利用迭代方式求得近似解，改進(jìn)后的方法相對于原文中文獻(xiàn)[11]中的方法，更為簡單，優(yōu)化步驟更少，有效地降低了算法復(fù)雜度。方法如下：

λs?RIs+(1-λ)‖s-s0‖2=
λs?RIs+(1-λ)(s?s-s?s0-s0?s+s0?s0)=
s?(λRI+(1-λ)I)s+(1-λ)(-s?s0-s0?s-s0?s0)=
s?R′s+(1-λ)(1-s?s0-s0?s)

(14)

式(14)中，R′=λRI+(1-λ)I，根據(jù)文獻(xiàn)[12]可得到信號s的相位可以生成為：

(15)

(16)

綜上所述，得到改進(jìn)的迭代算法(方法2)具體步驟如下：

2) 設(shè)定λ，p=0，計(jì)算R′=λRI+(1-λ)I。

3 實(shí)驗(yàn)仿真

本章主要工作是將改進(jìn)的迭代算法與方法1效果作對比，同時也將文獻(xiàn)[11]中方法進(jìn)行對比，全面分析各方法，利用仿真實(shí)例說明改進(jìn)迭代算法設(shè)計(jì)阻帶恒模波形的有效性。

在后文中算法1指的是方法1的步驟(方法2與算法2同理)。

設(shè)模型(4)的參考信號和模型(10)中初始信號滿足：

(17)

對于方法1，設(shè)定相似性為κ=0.31，利用式(4)得到仿真結(jié)果如圖1，圖2所示。

圖1 凸優(yōu)化方法得到信號的自相關(guān)函數(shù)Fig. 1 The autocorrelation function of the signal is obtained by using algorithm 1

圖2 凸優(yōu)化方法得到信號能量譜密度Fig.2 Energy spectral density obtained by algorithm 1

可以看到，當(dāng)κ=0.31，μ=0.01 由方法1求得的信號頻譜能量下降明顯，在指定頻段信號能量下降約為-20 dB。

圖3 算法2得到的信號自相關(guān)函數(shù)Fig.3 The autocorrelation function of the signal is obtained by using algorithm 2

圖4 算法2得到的信號能量譜密度Fig.4 Energy spectral density obtained by algorithm 2

為了說明方法的效果，本節(jié)還對文獻(xiàn)[11]中所提的迭代算法進(jìn)行對比，并在后面說明方法1和方法2之間以及各自相對于文獻(xiàn)[11]的方法所具有的優(yōu)劣勢。

圖5 自相關(guān)函數(shù)效果對比圖Fig.5 Comparison of autocorrelation fun

圖6 能量譜密度比較效果圖Fig.6 Comparison of energy spectral density

從以上的對比圖可以看出，方法1、方法2以及文獻(xiàn)[11]提出的方法，在以上仿真條件下頻譜能量控制幾乎相同，在指定的三個重疊頻段能量降低到-20 dB左右，這足以說明方法1和方法2效果明顯。但是從圖5中可以看出方法1得到的信號自相關(guān)特性整體上更優(yōu)一些。

圖7 自相關(guān)函數(shù)效果對比圖Fig.7 Comparison of autocorrelation functions

圖8 能量譜密度比較效果圖Fig.8 Comparison of energy spectral density

以上是對本文提出方法得到優(yōu)化信號效果進(jìn)行仿真，總體上看，方法1與方法2效果接近，方法1 對自相關(guān)特性總體控制較好，但也有其弱點(diǎn)，如前所述，在PSL控制方面表現(xiàn)欠佳。而在算法運(yùn)算速度方面，改進(jìn)的算法2則優(yōu)勢明顯。這主要是因?yàn)榉椒?涉及SDP求解過程，計(jì)算復(fù)雜度較高，運(yùn)算起來表現(xiàn)為速度較慢，而文獻(xiàn)[11]中方法在優(yōu)化過程中增加了新的中間變量，因而也較方法2較慢。

在運(yùn)行時間方面，各方法表現(xiàn)各不相同，制成下面運(yùn)行時間的表格如下(可供參考，運(yùn)行時間與計(jì)算機(jī)配置等因素相關(guān)，但同一臺計(jì)算機(jī)運(yùn)行三種方法，運(yùn)行時間大小排序是固定)。

表3 仿真相關(guān)參考數(shù)據(jù)

圖9 算法得到的信號在指定頻段頻譜能量隨算法執(zhí)行次數(shù)的變化比較Fig.9 Comparison of spectrum energy in specified frequency band of signal obtained by algorithms with the number of cycles of algorithms

此外，需要指出的是，盡管由文獻(xiàn)[11]方法改進(jìn)而來的方法2運(yùn)行計(jì)算復(fù)雜度低，且收斂更快，但該方法也有弱點(diǎn)，即最終收斂值相對于文獻(xiàn)[11]方法較高。另一方面，圖10給出了算法2與文獻(xiàn)[11]算法得到的信號ISL隨著執(zhí)行次數(shù)的變化，可以看出算法2在算法執(zhí)行一開始對信號ISL的控制不占優(yōu)勢，但隨著執(zhí)行次數(shù)的增加，該算法得到的信號ISL趨于穩(wěn)定。換句話說，文獻(xiàn)[11]的算法的最終收斂值之所以會比算法2更低是犧牲了信號的自相關(guān)旁瓣特性換取的。

圖10 算法得到的信號ISL隨算法執(zhí)行次數(shù)的變化比較Fig.10 comparison of the signal ISL obtained by the algorithm with the number of execution times of the algorithm

可以看出，算法2相對于文獻(xiàn)[11]算法、算法1計(jì)算復(fù)雜度低，能夠快地給出優(yōu)化解，在時效性方法優(yōu)勢明顯；而算法1相較于其他兩種算法對信號自相關(guān)整體特性控制得更好，但峰值旁瓣水平控制不夠。

4 結(jié)論

本文提出了在不考慮雷達(dá)檢測性能條件下，基于改進(jìn)迭代算法的阻帶波形設(shè)計(jì)方法。該方法利用梯度下降的思想，使用相似性約束與頻譜兼容性約束加權(quán)求和作為目標(biāo)函數(shù)，避免了分步優(yōu)化過程且不涉及半定松弛問題，因而計(jì)算復(fù)雜度更低，收斂速度更快。仿真結(jié)果表明，該方法能得到在指定頻段帶有阻帶的優(yōu)化波形，而該方法能夠更加快速地得到指定頻段有效降低的恒定幅度優(yōu)化信號，同時具有良好的自相關(guān)特性。下一步的研究方向?yàn)榈陀?jì)算復(fù)雜度算法，設(shè)計(jì)兼顧雷達(dá)高檢測性能和指定頻段頻譜共存的恒模波形。