楊 杰，石 恒，胡海林，黃 晨

(江西理工大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院， 江西 贛州 341000)

磁懸浮可以用于實(shí)現(xiàn)各種機(jī)械結(jié)構(gòu)的高速、無(wú)摩擦運(yùn)轉(zhuǎn)，比如運(yùn)用到高速磁浮列車、高速磁懸浮電機(jī)、磁懸浮軸承等[1]。單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)是一個(gè)非常典型的非線性系統(tǒng)，并且是磁浮列車懸浮控制的基礎(chǔ)，盡管在較長(zhǎng)時(shí)期里有過(guò)諸多智能控制算法在單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)的控制中的技術(shù)嘗試，但是在工程實(shí)踐中，由于難以實(shí)現(xiàn)磁浮列車受到軌道不平順、乘客上下車和在車廂走動(dòng)的影響而引起的磁浮間隙隨機(jī)性的即時(shí)跟蹤，最終此類算法均表現(xiàn)得不盡人意。目前磁浮列車基本上還是依靠PID控制算法實(shí)施行駛控制。

1999年韓京清教授提出了具有抗干擾且不依賴被控對(duì)象模型的“自抗擾控制”[2](ADRC,Auto Disturbance Rejection Control)，經(jīng)過(guò)近20年的發(fā)展，ADRC算法已經(jīng)在坦克炮控系統(tǒng)、導(dǎo)彈姿態(tài)控制、機(jī)器人控制等系統(tǒng)中廣泛運(yùn)用。

本文針對(duì)單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，將ADRC算法應(yīng)用于磁浮控制，并與PID進(jìn)行比較，從中探索出適用于磁浮列車行駛控制的技術(shù)特點(diǎn)。

1 系統(tǒng)模型與問(wèn)題描述

1.1 單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)模型

本文以常導(dǎo)磁吸式(EMS)磁浮列車為例，參見(jiàn)圖1(a)所示。

為了保證這種懸浮的可靠性和列車運(yùn)行的平穩(wěn)性，使直線電機(jī)具有較高的功率，必須精確地控制電磁鐵中的電流，使磁場(chǎng)保持穩(wěn)定的強(qiáng)度和懸浮力，使車體與導(dǎo)軌之間保持大約10 cm的間隙。EMS通常采用氣隙傳感器來(lái)實(shí)施系統(tǒng)的間隙反饋控制。

圖1 EMS系統(tǒng)原理及其基礎(chǔ)動(dòng)力學(xué)模型

為了引入“自抗擾控制”算法，有必要對(duì)實(shí)際的懸浮系統(tǒng)進(jìn)行一種抽象與簡(jiǎn)化，因此可以獲得如圖1(b)所示的單點(diǎn)懸浮基礎(chǔ)動(dòng)力學(xué)模型，該動(dòng)力學(xué)模型即表達(dá)了單點(diǎn)懸浮物理系統(tǒng)。圖中的虛線(箭頭與圓框)系抽象(虛擬)過(guò)程的“思維表達(dá)線”。

圖1(b)中的上方為固定電磁鐵，代表設(shè)置于軌道的長(zhǎng)定子鐵心電磁鐵，下方的鐵磁性球，代表列車模擬體。當(dāng)電磁鐵上的線圈繞組通入電流i時(shí)產(chǎn)生的電磁場(chǎng)對(duì)下方的鐵磁性球便形成吸力F(i,h)。當(dāng)產(chǎn)生的吸力與鐵磁性球的重力相等時(shí)，鐵磁性球就懸浮在空中，兩者之間的間隙x即是列車的懸浮高度。此時(shí)，鐵磁性球處于不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，當(dāng)鐵磁性球受到外力fd干擾時(shí)，極易失去平衡。為了使系統(tǒng)維持穩(wěn)定，勢(shì)必需要加上反饋環(huán)節(jié)。為此，必須設(shè)計(jì)一種控制算法，以確保懸浮達(dá)到穩(wěn)定控制的技術(shù)要求。

當(dāng)列車達(dá)到設(shè)定的懸浮高度時(shí)，電磁吸力和列車重力相等，此時(shí)列車就被懸浮起來(lái)?？梢?jiàn)，單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)的控制等價(jià)于磁浮列車整車懸浮的控制基礎(chǔ)。其動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

式中:m為鐵磁性球的質(zhì)量；h為鐵磁性球的質(zhì)心到電磁鐵磁極面的距離,h=x+d,d為鐵磁性球的半徑，x亦即鐵磁性球的懸浮高度；g為地球重力加速度；fd為鐵磁性球所受的外界干擾力；F即F(i,h)，為鐵磁性球所受到的吸力。其中

(2)

(3)

忽略懸浮鐵磁性球位置的變化對(duì)電感的影響，可以得到方程

(4)

式中：U為電磁鐵兩端電壓；R為電磁鐵等效電阻；L為電磁鐵繞組等效電感。

當(dāng)鐵磁性球處于平衡狀態(tài)時(shí)，重力和電磁吸力相等，由牛頓第二定律可得鐵磁性球此時(shí)所受的合力為零。即

mg+F(i0,h0)=0

(5)

F(i0,h0)為鐵磁性球懸浮高度為x0、平衡電流為i0時(shí)電磁鐵對(duì)鐵磁性球的電磁吸力。

聯(lián)立式(3)、式(4)、式(5)后，得

(6)

即為單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程。

1.2 單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)模型線性化

對(duì)于單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)，電磁鐵的電流作為控制輸入量，并不考慮感抗對(duì)于系統(tǒng)的影響時(shí)，可在平衡點(diǎn)x0附近對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行線性化處理。

對(duì)式(2)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)并省略高階項(xiàng)[3]

(7)

2 自抗擾控制器的設(shè)計(jì)

ADRC主要由跟蹤-微分器(TD)、擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(ESO)、非線性狀態(tài)誤差反饋控制律(NLSEF)組成，用TD安排過(guò)渡過(guò)程并提取給定輸入的微分信號(hào)；用ESO估計(jì)對(duì)象狀態(tài)和不確定擾動(dòng)作用[4]；用過(guò)渡過(guò)程與狀態(tài)估計(jì)間的誤差的非線性組合和擾動(dòng)估計(jì)量的補(bǔ)償來(lái)生成控制信號(hào)[5]。ADRC實(shí)現(xiàn)的核心在于ESO中的擾動(dòng)補(bǔ)償項(xiàng)，該項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)的模型參數(shù)變化和未知外擾作用共同給予估計(jì)和補(bǔ)償[6]。

本文設(shè)計(jì)的單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)的ADRC結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)自抗擾控制結(jié)構(gòu)框圖

單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)需要考慮變化的設(shè)定懸浮間隙，并以此判斷控制器對(duì)于變化的設(shè)定懸浮間隙的適應(yīng)性。為了能快速的跟蹤設(shè)定懸浮間隙的變化，并且避免因?yàn)樵O(shè)定值的突變所造成控制量的劇變而產(chǎn)生超調(diào)[6]，將ADRC控制器中的TD環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)為二階Levant微分器[7]，其二階滑膜微分器的表達(dá)式為

(8)

三階擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器為

(9)

式中，βi>0(i=1,2,3)，飽和函數(shù)fal(e,α,δ)的作用就是為了抑制信號(hào)的抖振，其表達(dá)式為

(10)

本研究采用的非線性控制律為一種PD形式的非線性控制律，其表達(dá)式為：

u=β10fal(e1,α10,δ0)+

β20fal(e2,α20,δ0)

(11)

式中：0<α10<1<α20；e1是設(shè)定的懸浮位置信號(hào)與懸浮小球?qū)嶋H的懸浮位置之差；e2是設(shè)定懸浮位置信號(hào)微分與懸浮小球速度輸出之差；fal(e,α,δ)函數(shù)同式(10)表達(dá)式相同。

通過(guò)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的變量z13跟蹤被控對(duì)象中擴(kuò)張出的未知干擾狀態(tài)變量x3[8]通過(guò)消減x3(即z13)可將原被控對(duì)象簡(jiǎn)化為

(12)

這就變成了一個(gè)雙重積分器串聯(lián)單位增益的控制問(wèn)題，由式(7)、式(12)可得控制量

(13)

3 參數(shù)整定

4 仿真分析

單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)的仿真參數(shù)如表1所示。

對(duì)單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)分別采用PID和ADRC控制方式，主要在以下幾個(gè)方面展開(kāi)仿真研究：

1) 在系統(tǒng)突然加大負(fù)載情況下的冗余能力；

2) 控制器對(duì)設(shè)定間隙變化的適應(yīng)性；

3) 控制器對(duì)設(shè)定參數(shù)變化的魯棒性。

表1 單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)仿真參數(shù)

1) 階躍響應(yīng)

在圖3中，實(shí)線為ADRC間隙H階躍響應(yīng)曲線，虛線為PID控制的間隙H階躍響應(yīng)曲線。由圖3可以看出ADRC的動(dòng)態(tài)性能優(yōu)于PID，ADRC的調(diào)節(jié)時(shí)間為0.085 s，PID控制的調(diào)節(jié)時(shí)間為0.35 s；ADRC超調(diào)量小于PID控制的超調(diào)量；由此可以看出在單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)的間隙階躍響應(yīng)中ADRC的性能優(yōu)于經(jīng)典的PID控制。

圖3 ADRC和PID間隙階躍響應(yīng)曲線

如圖4所示，從上到下的順序，實(shí)線是階躍響應(yīng)中ADRC擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)輸出信號(hào)x、微分信號(hào)y、干擾信號(hào)z的觀測(cè)輸出曲線；虛線是單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)中實(shí)際的懸浮高度輸出、微分信號(hào)輸出和實(shí)際干擾信號(hào)的輸出曲線，可知ADRC的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器可以很好的觀測(cè)到系統(tǒng)的輸出信號(hào)、微分信號(hào)和干擾信號(hào)。

圖4 階躍響應(yīng)ADRC的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器輸出曲線

2) 冗余實(shí)驗(yàn)

圖5中實(shí)線和虛線分別表示采用ADRC和PID控制方法時(shí)，在5 s時(shí)刻突然加4.7 N階躍負(fù)載的間隙H響應(yīng)曲線。ADRC和PID兩種控制方法在此種情形下最大間隙變化量分別為1.954 mm和2.245 mm：完全恢復(fù)到平衡位置ADRC需要0.3 s的時(shí)間，PID控制需要1.3 s的時(shí)間。此處所加的負(fù)載是單點(diǎn)懸浮小球自身質(zhì)量的5.1倍，由此可知ADRC比PID更能適應(yīng)大范圍負(fù)載的變化，ADRC閉環(huán)控制系統(tǒng)具有很強(qiáng)冗余能力和抗干擾能力，這也為高速磁懸浮列車搭接結(jié)構(gòu)的冗余控制提供了一條技術(shù)思路。

圖5 ADRC和PID冗余實(shí)驗(yàn)曲線

正是由于ADRC控制器中擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的這樣一種特殊的性質(zhì)使得ADRC具有很強(qiáng)的抗干擾能力和天然的解耦性能，給控制不確定對(duì)象系統(tǒng)克服其復(fù)雜的擾動(dòng)性提供了解決方案[10]。

圖6 冗余實(shí)驗(yàn)ADRC的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器輸出曲線

3) 跟隨性試驗(yàn)

圖7中短虛線為設(shè)定的間隙H變化曲線，變化范圍在3～9 mm，實(shí)線和長(zhǎng)虛線分別為ADRC和PID控制輸出間隙曲線，可知，ADRC比PID控制能更好地跟蹤變化的設(shè)定間隙。

圖7 ADRC和PID跟隨性試驗(yàn)輸出曲線

圖8中在設(shè)定間隙不斷變化的情況下，ADRC的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器在觀測(cè)輸出信號(hào)x、微分信號(hào)y和干擾信號(hào)z方面依然展現(xiàn)出很好的觀測(cè)性能。

圖8 跟隨性試驗(yàn)中ADRC擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器輸出曲線

5 結(jié)論

ADRC充分發(fā)揮了非線性函數(shù)的強(qiáng)功能和高效率，通過(guò)Levant微分器在基本無(wú)超調(diào)的前提下實(shí)現(xiàn)信號(hào)的快速跟蹤，從而解決超調(diào)與快速性的矛盾；非線性PD控制律中fal函數(shù)中的參數(shù)一般取值范圍為0<α<1,0<δ≤1，結(jié)合公式(10)fal函數(shù)的表達(dá)式易得該函數(shù)實(shí)際上蘊(yùn)含了“小誤差大增益，大誤差小增益”的控制知識(shí)和具有快速收斂的特性，因此這種控制律易于實(shí)現(xiàn)，并且具有良好的魯棒性和適應(yīng)性。

單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)仿真結(jié)果表明ADRC在快速性、適應(yīng)性和克服大擾動(dòng)能力方面都明顯優(yōu)于經(jīng)典的PID。

單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)的ADRC仿真實(shí)驗(yàn)可以為工程實(shí)現(xiàn)提供理論指導(dǎo)，對(duì)于具體的工程化運(yùn)用，參數(shù)必須結(jié)合實(shí)際系統(tǒng)的具體特性來(lái)調(diào)整，才能取得滿意的控制效果。