張新燕，羅 驍，張 珺，原梅妮，李立州

(1.中北大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 太原 030051； 2.太原學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 太原 030051)

隨著航空發(fā)動(dòng)機(jī)日益向著高推重比、高負(fù)荷、高效率的方向發(fā)展，其葉片變得更輕薄，結(jié)構(gòu)變得更緊湊。這就使得上下游葉片之間的間距不斷減小，葉片間的干涉越來(lái)越顯著。上下游干涉作用引起的葉片氣動(dòng)彈性、周期性疲勞振動(dòng)和顫振等問(wèn)題變得十分突出，對(duì)這一問(wèn)題的研究引起了越來(lái)越多的關(guān)注[1-3]。Huang等[4]的研究結(jié)果甚至顯示上游靜子的尾流會(huì)改變下游轉(zhuǎn)子葉片的氣動(dòng)彈性穩(wěn)定性，進(jìn)行葉片顫振預(yù)測(cè)時(shí)應(yīng)考慮相鄰葉排間距的影響。楊慧等[5]使用自行開(kāi)發(fā)的程序詳細(xì)分析了上游靜葉的尾流對(duì)轉(zhuǎn)子葉片顫振穩(wěn)定性的影響。

隨著計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展，計(jì)算流體力學(xué)(CFD)以其計(jì)算精確和結(jié)果可靠的優(yōu)勢(shì)已成為研究葉片氣動(dòng)彈性振動(dòng)問(wèn)題的主要方法，但是該方法存在著對(duì)計(jì)算資源消耗過(guò)大和耗時(shí)久(尤其是面對(duì)大型工程問(wèn)題如航空發(fā)動(dòng)機(jī)的內(nèi)流場(chǎng)計(jì)算等)等的問(wèn)題[6-17]。所以針對(duì)CFD技術(shù)的這些缺點(diǎn)，20世紀(jì)90年代提出了建立非定常氣動(dòng)力降階模型(ROM)，用于解決CFD計(jì)算耗時(shí)久和消耗計(jì)算資源過(guò)大的問(wèn)題[10-17]。氣動(dòng)力降階模型以其消耗計(jì)算資源少，對(duì)氣動(dòng)力描述準(zhǔn)確等特點(diǎn)，得到迅速發(fā)展和應(yīng)用。Silva[14]提出了基于 Volterra 級(jí)數(shù)的非線性氣動(dòng)力降階模型。Hall等[15]建立了基于諧波平衡法的降階模型來(lái)計(jì)算渦輪機(jī)械中非定常流動(dòng)，其結(jié)果表明降階模型的計(jì)算效率比直接用CFD求解快1到2個(gè)數(shù)量級(jí)。Thomas[16]建立的POD降階模型對(duì)跨音速條件下的三維機(jī)翼進(jìn)行了顫振分析。Ashcroft等[17]的研究結(jié)果表明諧波平衡法可用于在亞音速和跨音速流動(dòng)條件下準(zhǔn)確預(yù)測(cè)二維壓縮機(jī)級(jí)聯(lián)的顫振特性。

氣動(dòng)力降階模型的應(yīng)用雖然極大的提高了計(jì)算效率，節(jié)省了計(jì)算資源，但在不同的邊界條件下其計(jì)算精度不同。為了探究影響基于諧波平衡法的氣動(dòng)力降階模型計(jì)算精度的因素，本文在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上，通過(guò)建立不同尾流均值壓力和尾流諧波振幅下的氣動(dòng)力降階模型，預(yù)測(cè)葉片氣動(dòng)力響應(yīng)，并與CFD計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，討論這些因素對(duì)氣動(dòng)力降階模型計(jì)算精度的影響。

1 基于諧波平衡法的尾流激勵(lì)葉片氣動(dòng)力降階模型

諧波平衡法的主要思想是通過(guò)對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)變量進(jìn)行傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，將非定常系統(tǒng)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為振幅定常問(wèn)題求解，以此來(lái)直接模擬系統(tǒng)周期性非線性振蕩現(xiàn)象。以圖1所示的尾流激勵(lì)的葉片氣動(dòng)力系統(tǒng)為例，根據(jù)文獻(xiàn)[11]，首先按照傅里葉級(jí)數(shù)將上游尾流的壓力波分解為定常均值部分和N階諧波部分：

(1)

(2)

圖1 尾流激勵(lì)的葉片氣動(dòng)力系統(tǒng)

2 壓力波均值對(duì)氣動(dòng)力降階模型精度的影響

采用圖2所示二維葉片流場(chǎng)的CFD模型驗(yàn)證尾流激勵(lì)的葉片氣動(dòng)力降階模型方法。流場(chǎng)采用Fluent求解，理想氣體， Spallart-Allmaras模型，計(jì)算初始溫度300 K，流場(chǎng)出口壓力不變，為 101 325 Pa。以流場(chǎng)進(jìn)口最下方點(diǎn)為壓力波基準(zhǔn)點(diǎn)，尾流以10 m/s的速度從基準(zhǔn)點(diǎn)開(kāi)始沿著進(jìn)口向上方移動(dòng)。

圖2 葉片流場(chǎng)的CFD模型

首先研究壓力波均值對(duì)氣動(dòng)力降階模型精度的影響。選擇多組均值不同波形相同的尾流壓力波對(duì)基于諧波平衡法的氣動(dòng)力降階模型進(jìn)行研究。根據(jù)式(1)將這幾組尾流壓力波進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，取前7階波形，采用文獻(xiàn)[11]中的尾流諧波系數(shù)及頻率(見(jiàn)表1)，求得各尾流的壓力均值p0分別為106 325 Pa，111 325 Pa，124 325 Pa，143 325 Pa，150 325 Pa，160 325 Pa。

表1 尾流分解后的諧波幅值和頻率

將進(jìn)口平均壓力(p0)和表1中各諧波分別加載到流場(chǎng)進(jìn)口處，并根據(jù)式(2)建立上述各尾流下的降階模型預(yù)測(cè)葉片氣動(dòng)力，并與CFD模型下的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖3至圖8所示，從圖中可以看出隨著壓力波均值的增大氣動(dòng)力降階模型的精度增加。

為了更清晰的觀察進(jìn)口平均壓力對(duì)氣動(dòng)力降階模型精度的影響，表2給出不同進(jìn)口平均壓力的氣動(dòng)力降階模型計(jì)算的氣動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果與CFD結(jié)果之間的誤差。

圖3 p0為106 325 Pa的尾流激勵(lì)降階模型的氣動(dòng)力結(jié)果

圖4 p0為111 325 Pa的尾流激勵(lì)降階模型的氣動(dòng)力結(jié)果

圖5 p0為124 325 Pa的尾流激勵(lì)降階模型的氣動(dòng)力結(jié)果

圖6 p0為143 325 Pa的尾流激勵(lì)降階模型的氣動(dòng)力結(jié)果

圖7 p0為150 325 Pa的尾流激勵(lì)降階模型的氣動(dòng)力結(jié)果

圖8 p0為164 325 Pa的尾流激勵(lì)降階模型的氣動(dòng)力結(jié)果

p0/Pa平均絕對(duì)誤差/%升力誤差阻力誤差力矩誤差平均相對(duì)誤差/%升力誤差阻力誤差力矩誤差106 32550.745 8 40.873 5 1.842 6 20.165 69.710 811.824 9111 32542.432 1 34.208 4 1.453 8 8.657 64.185 44.848 8124 32527.166 2 26.218 3 1.006 1 2.431 41.403 31.485 2143 32522.183 3 23.286 0 0.854 9 1.075 40.681 00.691 6150 32521.930 2 22.880 4 0.839 4 0.908 80.573 00.581 8164 32521.659 3 22.384 7 0.820 2 0.695 20.435 20.441 4

從表2中進(jìn)一步可以看出：隨著進(jìn)口尾流平均壓力的增大，氣動(dòng)力降階模型的計(jì)算精度逐步提高。這說(shuō)明尾流壓力波均值越大，氣動(dòng)力降階模型的計(jì)算結(jié)果越精確。

3 尾流振幅對(duì)葉片氣動(dòng)力降階模型精度的影響

第2節(jié)討論了進(jìn)口平均壓力對(duì)氣動(dòng)力降階模型計(jì)算精度的影響，本節(jié)將討論進(jìn)口壓力不變的情況下，尾流諧波振幅對(duì)氣動(dòng)力降階模型計(jì)算精度的影響。按照前述尾流壓力波形，構(gòu)造尾流壓力波：

(3)

其中，β為尾流諧波的振幅放大系數(shù)。

為進(jìn)一步更清晰的觀察振幅對(duì)氣動(dòng)力降階模型精度的影響，表3給出不同振幅的氣動(dòng)力降階模型結(jié)果與CFD結(jié)果之間的誤差。

圖9 β=1的氣動(dòng)力計(jì)算結(jié)果

圖10 β=2/3的氣動(dòng)力計(jì)算結(jié)果

圖11 β=1/3的氣動(dòng)力計(jì)算結(jié)果

圖12 β=1/6的氣動(dòng)力計(jì)算結(jié)果

圖13 β=1/10的氣動(dòng)力計(jì)算結(jié)果

振幅放大系數(shù)β平均絕對(duì)誤差/%升力誤差阻力誤差力矩誤差平均相對(duì)誤差/%升力誤差阻力誤差力矩誤差150.745 8 40.873 5 1.842 6 20.165 69.710 811.824 9 2/330.836 8 24.709 4 1.061 5 12.622 66.014 87.015 0 1/311.595 9 10.008 5 0.403 8 2.471 34.833 72.743 0 1/64.157 6 4.152 5 0.153 8 1.714 11.024 31.048 4 1/102.342 1 2.347 1 0.086 6 0.956 90.576 20.588 1

從表3中進(jìn)一步可以看出：隨著幅值系數(shù)的降低，葉片氣動(dòng)力降階模型的計(jì)算精度逐步提高。這說(shuō)明尾流諧波擾動(dòng)部分的振幅越低，氣動(dòng)力降階模型的計(jì)算精度就越高。

4 結(jié)論

1) 基于諧波平衡法的氣動(dòng)力降階模型能快速準(zhǔn)確的描述尾流激勵(lì)下的葉片氣動(dòng)力；

2) 隨著進(jìn)口尾流壓力的增大，尾流激勵(lì)下的葉片氣動(dòng)力降階模型的計(jì)算精度越高；

3) 隨著尾流諧波振幅的降低，尾流激勵(lì)下的葉片氣動(dòng)力降階模型計(jì)算精度逐漸提高。