劉一新，雷 勇，鄧加政，劉澤宇，歐陽鵬博

(1. 湖南科技大學(xué) 巖土工程穩(wěn)定控制與健康監(jiān)測(cè)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 湘潭 411201；2. 廣州中科華大工程技術(shù)檢測(cè)有限公司，廣東 廣州 510220 )

0 引言

一般而言巖溶區(qū)樁基的處治方法有兩種，一種是當(dāng)溶洞頂板較厚或樁基作用線與溶洞中軸線存在一定偏移量時(shí)，可利用頂板的自承力支撐樁端荷載[1]。另一種是當(dāng)溶洞頂板厚度較小或者風(fēng)化嚴(yán)重時(shí)，通常將樁穿過溶洞，將樁端嵌入穩(wěn)定的巖體內(nèi)，以確保工程的安全進(jìn)行，但此法成本較高，施工難度較大。因此有條件地優(yōu)先利用溶洞頂板的自承能力，進(jìn)行溶洞頂板承載力的研究對(duì)巖溶區(qū)樁基的設(shè)計(jì)和施工具有重要意義[1]。

目前，針對(duì)非對(duì)稱荷載下溶洞頂板極限承載力的研究成果較少。20世紀(jì) 50 年代以來國(guó)際著名學(xué)者M(jìn)eyerhof等[2-6]通過室內(nèi)模型試驗(yàn)對(duì)傾斜荷載下基樁的受力特征進(jìn)行了研究，并提出了單樁承載力的半經(jīng)驗(yàn)計(jì)算方法。王成華等[7]基于均布荷載下軟弱下臥層土體豎向附加應(yīng)力的計(jì)算方法，利用積分導(dǎo)出荷載偏移時(shí)豎向附加應(yīng)力的簡(jiǎn)化計(jì)算公式，并提出了關(guān)于荷載偏移下軟弱下臥層承載力的驗(yàn)算基本準(zhǔn)則。Waltham等[8]通過試驗(yàn)研究得到了沖切破壞模式空洞頂板的破壞特征，隨著荷載位置偏移量的增大，破壞線由內(nèi)凹曲線向外凸曲線過渡。林智勇、戴自航等[9-10]采用數(shù)值模擬研究了溶洞位置對(duì)上方路基的影響。張慧樂等[11-12]通過模型試驗(yàn)研究了洞跨、荷載偏移及頂板厚度等因素對(duì)樁端承載能力的影響，并推導(dǎo)出一系列簡(jiǎn)單的巖溶區(qū)樁端極限承載力計(jì)算方法。雷勇等[13]通過室內(nèi)模型試驗(yàn)分析了荷載位置偏移對(duì)溶洞頂板破壞模式及承載力的影響。上述研究重點(diǎn)在于試驗(yàn)和數(shù)值分析方面分析荷載位置偏移下溶洞頂板的破壞模式和極限承載力，對(duì)于荷載位置偏移下溶洞頂板極限承載力的理論求解卻鮮有報(bào)道。

基于已有的研究成果，對(duì)非對(duì)稱荷載下溶洞頂板沖切破壞模式的極限承載力進(jìn)行求解。首先基于Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則及極限分析法，建立沖切破壞體的功能方程。然后利用變分求極值原理，得到了荷載位置偏移下沖切破壞模式溶洞頂板極限承載力的計(jì)算公式。最后通過室內(nèi)模型試驗(yàn)驗(yàn)證了理論方法的合理性，并進(jìn)一步分析了頂板厚度和荷載位置偏移量對(duì)溶洞頂板極限承載力的影響，研究結(jié)論可為實(shí)際工程設(shè)計(jì)提供參考。

1 Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則

20世紀(jì)80年代，Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則開始被廣泛應(yīng)用，之后不少學(xué)者根據(jù)研究的需要對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)。A. Serrano等[14]推導(dǎo)出采用瞬時(shí)摩擦角ρ表示的巖體破壞面的切向應(yīng)力和法向應(yīng)力表達(dá)式如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中，σn，τn分別為巖體破壞面上的法向應(yīng)力和剪應(yīng)力；GSI為巖體地質(zhì)力學(xué)分類指標(biāo)；β為強(qiáng)度模數(shù)；ζ為巖體抗拉強(qiáng)度系數(shù)；m0為巖體類型參數(shù)；σc為巖塊抗壓強(qiáng)度。

(5)

式中，k和z為待定參數(shù)，根據(jù)文獻(xiàn)[15]k可取0.52，z取0.5。

由式(2)、式(5)得τ*的表達(dá)式為：

τn=kβ(σ*)0.5=kβ(σn/β+ζ)0.5。

(6)

2 沖切破壞模式的上限分析

2.1 荷載位置偏移下頂板破壞模式的假定

由極限分析理論可知[16]，選取一種合理的破壞機(jī)制是利用極限分析上限法解決問題的一個(gè)基本要求。一般情況，在傾斜偏心荷載作用下，基礎(chǔ)下部的土體會(huì)出現(xiàn)3個(gè)區(qū)域(如圖1所示)，整體為一彈性楔，楔的AC、CD邊為圓弧邊，其破壞面為對(duì)數(shù)螺旋線-對(duì)數(shù)螺旋線-直線[17]。但按照此破壞形式，在計(jì)算和分析樁端下部的溶洞頂板極限承載力問題時(shí)比較復(fù)雜。

圖1 偏心荷載下滑動(dòng)模式Fig.1 Sliding mode under eccentric load

目前，溶洞頂板易發(fā)生沖切破壞模式被廣泛接受。由文獻(xiàn)[11-12]可知，溶洞頂板沖切破壞時(shí)的沖切體是以一定曲線為母線的軸對(duì)稱旋轉(zhuǎn)體，基于此模型得到的溶洞頂板極限承載力與實(shí)際較吻合，計(jì)算程序也較簡(jiǎn)易[18-20]。因此，本研究在此基礎(chǔ)上繼續(xù)研究荷載位置偏移下溶洞頂板極限承載力的計(jì)算方法，頂板的沖切破壞模式如圖2所示。當(dāng)溶洞頂板上的荷載達(dá)到極限荷載時(shí)，破壞面出現(xiàn)厚度為δ的塑性區(qū)Ⅰ，剛性區(qū)Ⅱ和剛性區(qū)Ⅲ。

圖2 頂板沖切破壞模式Fig.2 Punching failure mode of roof

2.2 功能方程的建立

圖2中，A′B′C′D′部分表示完整的沖切體；u為沖切破壞體移動(dòng)的方向；D=AB表示樁徑；e為荷載位置偏移量；D1=DC為沖切破壞體的底部直徑；R為溶洞半徑；h為溶洞的頂板厚度；H為沖切體的高度；δ為塑性區(qū)的厚度。

為便于計(jì)算，作如下假定：

(1)溶洞頂板為球形溶洞；

(2)除去A′B′E′部分后，A′E′C′D′部分沖切破壞體為一軸對(duì)稱旋轉(zhuǎn)體，且不考慮A′B′E′沖切破壞面上產(chǎn)生的承載力(偏于保守)，沖切體位移方向沿O′O方向；

(3)假定D′=D；

(4)巖體為理想的剛塑性材料，巖體的破壞機(jī)制符合Hoek-Brown準(zhǔn)則(圖3)，且服從相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則。

圖3 Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則應(yīng)力(應(yīng)變)坐標(biāo)系Fig.3 Stress (strain) coordinate system of H-B strength criterion

根據(jù)上述假定可知，對(duì)于服從Hoek-Brown準(zhǔn)則的巖體，其塑性勢(shì)為：

(7)

塑性應(yīng)變率為：

(8)

(9)

應(yīng)變率和運(yùn)動(dòng)速率的關(guān)系可表示[15]為：

(10)

(11)

聯(lián)立式(7)～(11)可求得應(yīng)力的表達(dá)式為：

(12)

(13)

由極限分析上限法可知，外荷載所做功率與塑性區(qū)耗損功率相等，即：

(14)

忽略沖切體自重，外力做功率為：

(15)

式中θ為外荷載P與沖切破壞體位移方向的夾角，即∠BAE。

塑性區(qū)耗散功率為：

(16)

(17)

由圖2中的幾何關(guān)系可知：

(18)

(19)

(20)

(21)

聯(lián)立式(14)～(21)可得：

(22)

2.3 溶洞頂板極限承載力的求解

為得到式(22)的一個(gè)上限解，運(yùn)用變分原理，首先令：

(23)

根據(jù)歐拉方程：

(24)

將式(23)代入式(24)，可得：

(25)

通過式(25)求得沖切體破壞面的母線方程為：

(26)

式中C1，C2為待定系數(shù)。由上述假定可知D′=D，邊界條件有：

(27)

(28)

將式(27)～(28)代入式(26)，求得母線方程為：

(29)

再將式(29)代入式(22)，得到溶洞頂板極限承載力的表達(dá)式：

(30)

式(30)中的未知量有θ，H和D1。其中H可由θ，e，D，h，D′，R和D1確定，因此式(30)中的未知量只有θ和D1。

圖2中，由幾何關(guān)系可得：

(31)

在△CDO中有：

(32)

在△ADO中：

(33)

在△ADO中由正弦定理知：

(34)

式中,

OD=R

∠ODA=∠ODC+∠ADC。

聯(lián)立式(31)～(34)解得：

(35)

因此，將式(35)代入式(30)就得到極限承載力計(jì)算公式，然后令?P/?θ=0， ?P/?D1=0求出相應(yīng)θ和D1的值，再將θ和D1的值代入式(30)就可求得溶洞頂板極限承載力的一個(gè)上限解，即極限承載力。

為了便于計(jì)算，對(duì)沖切破壞體高度H進(jìn)一步簡(jiǎn)化。在圖4中，沖切體高度H近似取為MN的長(zhǎng)度，其中M為AB的中點(diǎn)。

圖4 沖切體高度H的簡(jiǎn)化圖Fig.4 Simplified diagram of height H of punching body

θ近似取為∠AMO的余角：

(36)

(37)

將式(36)～(37)代入式(30)有：

(38)

3 試驗(yàn)與理論對(duì)比

3.1 模型試驗(yàn)

為驗(yàn)證理論方法的合理性，在室內(nèi)進(jìn)行了下伏溶洞的頂板極限承載力試驗(yàn)。采用一定配比的石膏、水泥、砂以及黏土模擬溶洞基巖[13]，試驗(yàn)加載裝置及試驗(yàn)如圖5所示。溶洞直徑l=33 cm，荷載板的直徑D=5.75 cm，通過試驗(yàn)測(cè)得砂漿的單軸抗壓強(qiáng)度為σc=2.97 MPa。進(jìn)行了h/D=1，2，3，4的4組試驗(yàn)，每一組按不同偏心位置設(shè)加載點(diǎn)進(jìn)行加載。

圖5 加載裝置及試驗(yàn)Fig.5 Loading device and test

圖6為加載點(diǎn)的平面布置圖，圖中的編號(hào)“1-1”代表第 1 組第1個(gè)加載點(diǎn)，其他以此類推。

圖6 加載點(diǎn)平面布置(單位：cm)Fig.6 Layout of loading points(unit:cm)

當(dāng)頂板厚度h為1-3D時(shí)，試驗(yàn)成功取出了8個(gè)加載點(diǎn)的沖切破壞體。h為4D，無荷載位置偏移時(shí)，頂板發(fā)生了不完全的沖切破壞，因此未能取出沖切體，具體破壞模式見文獻(xiàn)[13]。

3.2 理論與實(shí)測(cè)結(jié)果的對(duì)比分析

按基巖模擬材料的性質(zhì)、完整情況及室內(nèi)基巖材料的參數(shù)測(cè)試，采用Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則時(shí)，相關(guān)計(jì)算參數(shù)見表1[15]。

表1 溶洞頂板極限承載力計(jì)算的相關(guān)參數(shù)Tab.1 Related parameters for calculating ultimate bearing capacity of cavern roof

通過荷載板試驗(yàn)得出的基巖承載力如表2所示。試驗(yàn)和理論得出的不同頂板厚度h及荷載位置偏移量e時(shí)溶洞頂板各加載點(diǎn)處的極限承載力如表3所示。

表2 實(shí)測(cè)完整基巖承載力Tab.2 Measured bearing capacity of intact bed rock

表3 各加載點(diǎn)的實(shí)測(cè)及理論極限承載力Tab.3 Measured and theoretical ultimate bearing capacity of each loading point

圖7 P隨h/D的變化規(guī)律Fig.7 Rule of P varying with h/D

3.2.1 P與h/D的關(guān)系

圖7為荷載位置偏移量e一定時(shí)，試驗(yàn)與理論得到的頂板極限承載力P隨h/D的變化情況，其中l(wèi)=2R，代表溶洞的直徑。

由圖可得，當(dāng)e一定時(shí)，隨著厚徑比h/D的增加，頂板極限承載力P大致呈線性增長(zhǎng)，理論結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果相吻合。當(dāng)e達(dá)到l時(shí)，不同頂板厚度相對(duì)應(yīng)加載點(diǎn)的極限承載力均與基巖承載力基本相等，且頂板均未發(fā)生沖切破壞，此時(shí)理論方法不再適用，因此圖7中未給出理論結(jié)果。

3.2.2 P與e的關(guān)系

圖8為頂板厚度h一定時(shí)，試驗(yàn)與理論得到的頂板極限承載力P隨e/l的變化情況。

圖8 P隨e/l的變化規(guī)律Fig.8 Rule of P varying with e/l

由圖8可知，理論結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果較吻合，且隨著荷載位置偏移量e的增加，溶洞頂板極限承載力呈非線性增長(zhǎng)。當(dāng)e增大到一定值時(shí)，頂板極限承載力趨向平穩(wěn)，并逐漸達(dá)到基巖承載力。

3.2.3 P與GSI的關(guān)系

由式(3)和式(4)可知，參數(shù)b和ζ與巖體地質(zhì)力學(xué)分類指標(biāo)GIS相關(guān)。由文獻(xiàn)[15]可知：對(duì)于自然條件下穩(wěn)定的巖溶頂板，可取GSI分別為44，65，85，100進(jìn)行研究。

圖9 P隨GSI的變化規(guī)律Fig.9 Rule of P varying with GSI

圖9給出了h為2D時(shí)，頂板極限承載力隨GSI的變化情況。由圖可知，隨著GSI的增大，溶洞頂板極限承載力呈非線性增長(zhǎng)，增長(zhǎng)的幅度逐漸變大。當(dāng)GSI為44(頂板的巖體質(zhì)量一般)，e為0，0.25l，0.5l時(shí)，頂板的極限承載力分別為1.8，2.2，3.6 kN；當(dāng)GSI為100(頂板的巖體質(zhì)量非常好)時(shí)，相應(yīng)的極限承載力分別為24，29，43 kN，近似為前者的12倍，說明巖體質(zhì)量的好壞對(duì)溶洞頂板承受能力的影響較大。在實(shí)際工程中，要盡可能選取巖體質(zhì)量較好的地域進(jìn)行設(shè)計(jì)與施工才能獲取安全及經(jīng)濟(jì)效益。

4 結(jié)論

采用Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)剪應(yīng)力的拋物線形式，基于極限分析法提出了荷載位置偏移下溶洞頂板極限承載力的計(jì)算方法，并通過模型試驗(yàn)驗(yàn)證了理論的合理性，得到如下結(jié)論：

(1)對(duì)于厚度h在1～4D范圍內(nèi)的溶洞頂板，當(dāng)荷載位置偏移量一定時(shí)，隨著厚徑比h/D的增加，頂板極限承載力大致呈線性增長(zhǎng)。

(2)對(duì)于發(fā)生沖切破壞的溶洞頂板，當(dāng)頂板厚度h一定時(shí)，隨著荷載位置偏移量e的增大，頂板極限承載力呈非線性增長(zhǎng)。

(3)對(duì)于h為2D的溶洞頂板，隨著GSI的增大，頂板極限承載力呈非線性增長(zhǎng)，增長(zhǎng)的幅度逐漸變大，且當(dāng)GSI為44，e為0，0.25l，0.5l時(shí)，頂板的極限承載力分別為1.8，2.2，3.6 kN；當(dāng)GSI為100時(shí)，相應(yīng)的極限承載力分別為24，29，43 kN，近似為前者的12倍。