楊志賢，洪后緊，顧寄南

（江蘇大學制造業(yè)信息化研究中心，江蘇 鎮(zhèn)江 212013）

1 引言

機床作為工業(yè)生產的基本設備，是一個國家工業(yè)水平的標志。重型車床是現(xiàn)代機床的一個重要方向，各方面性能都缺乏理論依據(jù)。床身-車床核心結構，承載著加工過程中各種載荷，其動靜態(tài)特性直接影響著車床加工質量。

對于床身這一復雜部件，優(yōu)化方法眾多，目前仍有一些不足之處。譬如，為滿足較高的強度要求，通常采用較厚的尺寸獲得較高的安全系數(shù)，但嚴重增加了制造成本，僅依靠單目標優(yōu)化顯然無法保證機床綜合性能。在多目標優(yōu)化層面，一方面，由于目標函數(shù)與約束函數(shù)的導數(shù)絕大多數(shù)都不連續(xù)，利用梯度優(yōu)化求解效率低下，甚至難以找到最優(yōu)解；近年來，隨著人工智能的發(fā)展，更多先進的算法被用于優(yōu)化領域。其中最常見的有人工神經(jīng)網(wǎng)絡、遺傳算法等[1]。文獻[2-3]利用遺傳算法對結構進行了多目標優(yōu)化，眾多的研究結果表明，遺傳算法對于多目標優(yōu)化問題具有一定的優(yōu)越性。另一方面，多目標優(yōu)化結果是一組解集，各目標之間相互沖突、沒有統(tǒng)一的度量標準，不能簡單的通過加權把多個目標轉化為單目標進行求解，以上文獻均存在這一問題。而基于模糊綜合評價法又依賴于專家的評判信息[4]，帶有較大的主觀性。

為解決上述問題，基于某型號重型車床床身的性能需求，采用利用客觀數(shù)據(jù)的信息熵賦權的灰靶決策與遺傳算法相結合的方法對床身進行多目標優(yōu)化。首先借助有限元法實現(xiàn)床身動靜態(tài)性能分析；然后以床身筋板尺寸為變量，采用正交實驗法構造響應曲面，建立床身動靜態(tài)性能與尺寸變量之間的隱形關系表達式；最后運用NSGA-Ⅱ進行多目標求解，在此基礎之上，采用信息熵賦權的多目標灰靶決策算法選出最優(yōu)方案。通過前后對比分析驗證了該方法的有效性。

2 床身性能分析

2.1 機床結構介紹

某萬能通用類重型臥式車床，如圖1所示。該機床可加工的最大工件重量為32t，最大回轉直徑為1600mm，主軸轉速范圍為（0.86～1500）r/min。主軸箱固定于基座之上，床身與該基座不是一體的。床身采用三導軌式結構，且由兩段子床身拼接而成，子床身內部包含著縱橫交錯的筋板，起著支撐床身導軌、保持床身剛度的作用。利用SolidWorks軟件進行參數(shù)化建模，通過與ANSYS的無縫連接實現(xiàn)數(shù)據(jù)交換。在模型基礎之上，對床身添加材料屬性，床身鑄造材料為HT200，其密度為7200kg/m3，泊松比為0.31，彈性模量為1.48E+11Pa，床身重23350kg。

圖1 某型號重型臥式車床Fig.1 A Certain Type of Heavy Horizontal Lathe

2.2 床身靜力學分析

床身受力除了尾座、刀架、工件的重力以外，還包括加工過程中所受的切削力。將該力分解成沿不同坐標軸上的三個分力，如圖1所示。其中進給力Ff使床身產生拉伸變形，影響很小，不予考慮。在（xz）平面內，主切削力Fc經(jīng)刀架作用于床身，通過工件對卡盤和尾座將產生反作用力F1、F2，同理，F(xiàn)3、F4是背向力Fp的反作用力。通過分析得到：（1）床身在正常工作環(huán)境中所受最大應力為3.6606MPa，遠小于材料的許用值，可忽略。（2）床身主要以水平面的彎曲為主，最大變形值為0.017641mm，發(fā)生在導軌與刀架接觸面。

圖2 靜力學分析結果Fig.2 Results of Statics Analysis

2.3 床身動力學分析

床身振動是影響加工質量的重要因素之一，當受到外部激勵F，將產生位移，如式（1）所示。

式中：X—位移（m）；K—床身剛度（N/m）；ω—激振頻率（Hz）；ωn—固有頻率（Hz）；ξ—阻尼比。

可見，在其他條件不變的前提下，提高系統(tǒng)固有頻率或者增加結構剛度均能夠改善床身動態(tài)性能。由于床身只有低階固有頻率才有可能同工作頻率相等進而發(fā)生共振，因而只考慮低階模態(tài)。模態(tài)分析結果，如表1所示。一階振型圖，如圖3所示。

表1 床身前六階固有頻率Tab.1 The First Six Natural Frequencies of Lathe Bed

圖3 一階振型圖Fig.3 First Order Mode Cloud Image

為了反映床身在動態(tài)切削載荷下的性能變化情況，通過對導軌面施加頻率為（250～400）Hz的切削激振載荷，采用完全法分60步計算出床身在切削簡諧力作用下的無阻尼幅頻特性曲線，如圖4所示。不同的激振頻率對應的幅值是不同的，在橫坐標為297.5Hz、310Hz、332.5Hz附近出現(xiàn)峰值，分別對應著模態(tài)分析的一階、三階、六階固有頻率。這也說明了對床身動態(tài)性能影響最大的是低階頻率。以距離外界激勵頻率最近的一階固有頻率大小作為指標衡量床身動態(tài)性能。

圖4 幅頻特性曲線Fig.4 Amplitude-Frequency Characteristic Curve

3 響應面模型的構建

3.1 設計變量確定

床身結構涉及的參數(shù)較多，若對每一個參數(shù)都進行優(yōu)化，顯然工作量太大。為提高優(yōu)化效率只考慮對床身影響較大的參數(shù)。床身內部包括一系列由筋板均勻緊密排布的箱體結構，使床身表現(xiàn)出較高的剛性[5]。為此，取側壁厚度x1，縱向筋板厚度x2，橫向筋板厚度x3為設計變量。

3.2 響應面模型

響應面法以實驗設計理論為指導，通過對給定樣本點進行分析，利用擬合出的輸入輸出關系近似顯性表達式分析目標與設計變量的隱性關系。其二階響應面模型可表述為：

式中：α=［α0，α1，…，αn，α11，α12，…，αnn］T—待定系數(shù)矩陣，通過最小二乘法確定時，樣本個數(shù)必須大于L=（n+1）（n+2）/2；n—因數(shù)個數(shù)；xi、xj—變量。

3.3 正交實驗設計

樣本點的選取在模型的構建中發(fā)揮著重要作用。為提高優(yōu)化效率，又不影響精度，利用正交實驗設計方法對床身進行分析。以床身筋板尺寸的3個參數(shù)（x1、x2、x3）作為因素，在4水平下獲取的低階固有頻率、質量、靜載荷下最大變形作為正交結果。結合變量許用范圍，以其變動的20%作為邊界，其他尺寸不變，構造因素水平，如表2所示。

表2 因素水平Tab.2 Factor Level

正交實驗的樣本點必然均衡分布于全面試驗中，具有很強的代表性[6]，尤其適用于非線性模型。根據(jù)這一特點，構造出L16（43）正交表，如表3所示：即用16次具有代表性的部分實驗代替64次全面實驗分析床身筋板厚度與其動靜態(tài)性能關系。

表3 L16（43）正交結果Tab.3 Orthogonal Results of L16（43）

3.4 響應面模型準確性驗證

為檢驗模型精度，利用變相關系數(shù)評價的方法計算響應面擬合程度R2，R2越接近1表明精度越高。

式中：yi—實際響應值；y—實際響應值的均值；Yi—近似值；n—變量個數(shù)；R2—變相關系數(shù)；SSE—殘差平方和；SST—總偏差平方和。

響應面與有限元分析對比情況，如圖5所示。兩者誤差非常小。基于MATLAB編程，對應的質量、頻率、最大變形系數(shù)R2分別為0.9999、0.9669、0.9984，表明擬合的響應面模型對于后續(xù)問題求解是可靠的。

圖5 有限元分析值與響應面值對比Fig.5 Comparison Between Finite Element Analysis Value and Response Surface Value

4多目標參數(shù)優(yōu)化方法

4.1 優(yōu)化數(shù)學模型

由于床身靜態(tài)性能直接影響加工精度，因此至少要保證靜態(tài)性能。建立的床身多目標數(shù)學模型為：

式中：δ（x）—最大變形；f（x）—一階固有頻率；m（x）—質量；xi—變量尺寸；xli、xui—變量上下限；δ（x0）—優(yōu)化前床身變形值。

4.2 優(yōu)化方法

遺傳算法對求解多目標問題具有優(yōu)越性，文獻[7-8]對遺傳算法進行改進，提出一種帶精英策略的非支配排序遺傳算法（NSGA-Ⅱ）。該算法使用了排擠算法和精英策略來代替?zhèn)鹘y(tǒng)遺傳算法使用的共享函數(shù)算法，通過維護精英個體保持物種的多樣性。MATLAB自帶的gamultiobj函數(shù)是基于NSGA-Ⅱ改進的一種算法。利用該算法對床身各目標進行求解。

從Pareto解集中選擇最優(yōu)解是一個決策問題[9]，為避免設計人員的主觀選擇。采用基于信息熵賦權的多目標灰靶決策算法進行決策，過程如下：

（1）構造效果樣本矩陣S=（xij）m×n，各元素均來自pareto最優(yōu)解集，m表示待評估方案個數(shù)，n表示評估對象個數(shù)。

（2）通過“獎優(yōu)罰劣”算子對樣本矩陣S進行變換，得到?jīng)Q策矩陣R=（rij）m×n；

若決策目標為效益型指標，分子取正；若為成本型指標，則取負。

（3）確定最優(yōu)效果向量

（4）計算靶心距ξi，并排序，ξi越小，則該方案越優(yōu)，反之則反。

式中：uj（j=1，2，…，n）—各目標權重系數(shù)，采用熵權法確定其大小包括以下三步：

樣本矩陣標準化：

計算各目標函數(shù)熵值：

4.3 優(yōu)化過程及結果

通過對基于NSGA-Ⅱ的多目標優(yōu)化函數(shù)gamultiobj編程，設定參數(shù)如下：種群大小為50，最大進化代數(shù)為300，最優(yōu)個體系數(shù)為0.35，適應度函數(shù)偏差為1e-4。為充分保證算法的全局搜索能力，初始群體應具代表性，選擇一致隨機的方式得到初始群體。求得Pareto最優(yōu)解集，如圖6所示。從圖中能夠看出，這些解集符合多目標優(yōu)化定義：目標之間的關系相互制約，沒有一個解在三個目標上完全占優(yōu)。圖中每一個解均代表一種方案，Pareto解集為設計人員提供了眾多選擇空間。根據(jù)目標要求對各方案進行權衡之后，從中選出5組相對較優(yōu)方案，如表4所示。為得到適應工程需要的最佳方案，按算法式（5）～式（10）對5組方案進行決策。計算出各方案與最優(yōu)效果向量之間的距離分別為1.224、1.392、0.8223、0.8842、1.0946。即方案3最佳，對應的變量x=［76.16857，28.57627，29.64757］，考慮到實際工程中的加工要求，對尺寸圓整，并進行有限元分析。由表5可知，圓整后的一階固有頻率提高了0.15%，而最大變形降低了2.38%，其結果變化很小，可認為動靜態(tài)性能基本不變，在實際工程中類似小誤差是完全能夠接受的。從數(shù)值上來看，床身動、靜態(tài)性能略有提高。床身質量從原有的23350kg減少到22746kg，減重達604kg。

圖6 Pareto最優(yōu)解集Fig.6 Pareto Optimal Solution Set

表4 多目標優(yōu)化解集Tab.4 Multi-Objective Optim ization Solution Set

表5 優(yōu)化結果前后對比Tab.5 A Com parison of the Fore-Optim ization and Post-Optim ization Results

5 結論

以重型車床床身優(yōu)化為應用實例，提出將正交實驗、響應面法、遺傳算法以及灰靶決策相結合的多目標優(yōu)化方法，在不改變床身結構的前提下實現(xiàn)了尺寸動態(tài)優(yōu)化。（1）基于正交實驗快速建立了床身質量、變形、頻率關于筋板尺寸的響應面模型，通過有限元分析值與響應面近似值對比結果表明，兩者計算值誤差很小，采用變相關系數(shù)評價的方法進一步驗證了響應面對于后續(xù)問題求解的可靠性。（2）基于信息熵賦權的多目標灰靶決策算法能夠避免主觀信息對結果的影響，使得優(yōu)化結果更加客觀。既實現(xiàn)了床身輕量化，又保證了床身性能。