隋 振，徐 峰，蘇振東

（吉林大學通信工程學院，吉林 長春 130022）

1 引言

凸輪作為汽車內燃機的主要機械零件之一，數(shù)控凸輪磨削的加工精度直接影響了汽車引擎的動態(tài)性能。而傳統(tǒng)的凸輪、曲軸等高檔磨削加工設備與控制算法一直被國外少數(shù)公司所壟斷，已經(jīng)成為制約我國汽車工業(yè)發(fā)展的重大問題[1]。在數(shù)控領域中為了追求凸輪磨削過程中高精度與高效率，國內外學者進行了大量的研究。文獻[2]提出了通過幾何誤差補償技術提高磨削精度。文獻[3]通過研究磨削機理來研究砂輪與進給速度對加工精度的影響。文獻[4]利用切點跟蹤磨削法對磨削過程行進了誤差分析。

磨削速度與加速度作為影響加工精度的主要條件之一，在不改變現(xiàn)有結構的條件下，通過磨削速度優(yōu)化以減小輪廓誤差的方法較易實現(xiàn)。文獻[5]利用遺傳算法，實現(xiàn)了加工速度的優(yōu)化。文獻[6]推導證明了磨削加工速度與加速度與凸輪加工輪廓誤差之間的數(shù)學關系，通過同步速度滯后的方法來提高輪廓精度。

文獻[7]通過研究當量磨削厚度和切削力的變化規(guī)律，給出了數(shù)控補償?shù)挠嬎愎脚c修正模型。由于凸輪的數(shù)控加工過程中為重復進行的磨削過程，文獻[8]提出了一種基于CTC的控制理念，將每次的磨削過程看成一個周期，利用上一個周期誤差指導下一個周期來達到優(yōu)化的目的。

基于上述文獻，得出了這里的優(yōu)化方法。主要步驟為：以準恒線速度磨削為基礎速度，將前一個磨削周期產(chǎn)生的當量磨削厚度誤差利用優(yōu)化模型求取補償量，結合遺傳算法重新求取優(yōu)化速度，實現(xiàn)動態(tài)優(yōu)化。

2 恒磨削當量模型

2.1 瞬心法的凸輪切削方程計算

在實際加工過程中，凸輪輪廓是由機床旋轉軸和砂輪進給軸聯(lián)動配合形成的。根據(jù)瞬心法來建立凸輪磨削運動模型。速度順心法凸輪磨削示意圖，如圖1所示。

圖1 速度瞬心法凸輪磨削示意圖Fig.1 Grinding Sketch of Cam With Speed Instantaneous Center Method

圖中：O1—凸輪基圓圓心；r—凸輪基圓半徑；R—砂輪半徑；O—圓心；r0—滾子半徑；O2—滾子圓心。凸輪磨削起點從基圓的中心點，且凸輪轉過的角度為φ；在磨削過程中砂輪中心點位移表示為X；設A點為實際切削過程中的某一點，則切削點極坐標為ρ=O1A，其對應角度為δ；凸輪滾子對應的角度為θ，且已知凸輪升程曲線可表示為H（θ）。由于A點為實際切削點，則進給砂輪與凸輪在A點應該相切，所以過凸輪圓心O1做直線O1B⊥OO2于點B，又做O1C⊥O1O2于點C。根據(jù)做相關輔助線求得凸輪片與挺桿之間的速度瞬心點為C點。通過相關推導后得到凸輪工件旋轉轉角度為：

進給軸水平方向位移為：

2.2 準恒線速度凸輪磨削求解

當量磨削厚度是控制磨削質量的基本參數(shù)，該參數(shù)與磨削力和表面粗糙度都有一定的相關。為了使得凸輪工件能獲得較好的精度與表面質量，在磨削過程中盡量使得當量磨削厚度值恒定。

磨削當量公式為：

式中：heq—當量磨削厚度；

Q—單位磨削量；

Vs—砂輪線速度；

ap—砂輪磨削厚度；

Vq—了工件磨削線速度。

在不考慮切削深度ap變化的情況下，當量磨削厚度只與砂輪轉速和凸輪工件轉速相關。實際磨削過程中，砂輪轉速遠遠大于凸輪工件轉速，且旋轉速度一般為定值，在這種條件下是當量磨削厚度只與凸輪工件的旋轉速度相關。

如圖1所示，在磨削過程中磨削點A的微動量為d s，則A點的磨削速度Vq可表示為：

為了方便優(yōu)化，假設凸輪在基圓磨削過程中角速度恒定為ωi，基圓半徑為r，則可求取切削點時的砂輪旋轉角速度為：

此時通過調節(jié)凸輪工件旋轉速度，達到基本的速度優(yōu)化。凸輪磨削數(shù)控系統(tǒng)在進行單軸傳動過程中存在速度、加速度、保證凸輪磨削工件表面粗糙度合格的最大線速度都存在最大值約束，那么凸輪磨削轉速也應該滿足以上約束。

采取了文獻[9]中“同步滯后”的輪廓誤差模型：

式中：Cc=1，eθ—理論磨削點與實際磨削點之間的角度差；Cx—理論輪廓曲線對應理論角度的二階偏導數(shù)；er—理論磨削點與實際磨削點極坐標絕對值之差。

3 動態(tài)磨削速度優(yōu)化

為了優(yōu)化轉速，根據(jù)CTC原理利用前一個周期的磨削情況動態(tài)調節(jié)本周期的凸輪工件磨削速度。若直接根據(jù)實際切削深度的變化進行速度優(yōu)化時，當切削厚度較小時，微小的磨削深度變化會導致轉速曲線發(fā)生大幅度擺動，為了避免這種情況的發(fā)生采取在準恒線速度速度曲線下進行微調的方式來實現(xiàn)動態(tài)速度優(yōu)化。基于動態(tài)速度優(yōu)化的凸輪磨削控制策略，如圖2所示。

圖2 基于動態(tài)速度優(yōu)化的凸輪磨削控制策略Fig.2 Dynamic Speed Optimization Based Whole Control Strategy for Cam Grinding

3.1 基于CTC原理的磨削補償量的計算

在數(shù)控磨削加工過程中，凸輪和凸輪軸屬于批量生產(chǎn)的物品，意味著同一個加工路徑將被重復進行的。

由于軸匹配度和切削點相對磨削速度和磨削進給速度不一致等因素造成，實際磨削過程中理論磨削量和實際磨削量是不相等的，但是每個加工周期都是具有相同的期望路徑。為了解決這個問題提出了基于CTC的磨削補償量計算。CTC控制是制造過程的一種控制方法，在每個加工周在每個加工周期后進行測量，通過當前周期最終輸出的信息來反饋到下一個周期中，即在逐次循環(huán)的過程中利用上一個周期的磨削信息來指導本周期的磨削過程[9]。綜上所述得到CTC控制的優(yōu)化策略為：

式中：aepa—實際當量磨削厚度；aept—理論當量磨削厚度；aept—切點跟蹤過程產(chǎn)生的附加當量磨削厚度；aepi—第i補償?shù)漠斄磕ハ骱穸取?/p>

為了使實際當量磨削厚度與理論當量磨削厚度相等，令將補償?shù)漠斄磕ハ骱穸冗M行水平解，得到水平方向的當量磨削厚度補償量ΔXi+1。

3.2 補償轉換模型

若直接將產(chǎn)生的補償量進行補償，會頻繁修改X軸和C軸的對應關系不利于系統(tǒng)穩(wěn)定，并且砂輪架的慣性較大較難滿足X軸的快速跟蹤的性能。

由于凸輪磨削成型過程式通過進給軸X軸和旋轉軸C軸聯(lián)動配合下完成的，所以兩軸存在著一定的對應關系，關系可表示為：XL=f（ωc），式中：XL—進給軸與凸輪圓心之間的距離；ωc—凸輪C軸轉速。通過CTC原理得到修正后的X軸砂輪運動軌跡和未修正的C軸轉速，通過內推可得到修正后的C軸轉速和未改變的X軸進給軌跡，將X軸補償量轉換為C軸轉速。

其中，XL+ΔXL=f（ωc）等價于：

在得到X軸的補償量ΔX后可以通過轉化模型將補償量疊加到C軸轉速中，但直接疊加存在很多問題，例如可能會使得C軸轉速變化極大，導致磨削精度降低。

3.3 基于遺傳算法的速度優(yōu)化

為了得到的本磨削周期最優(yōu)旋轉速度，提出了基于遺傳算法的速度優(yōu)化方法。通過遺傳算法再次調整補償量ΔX，使得疊加于C軸后速度得到再次優(yōu)化，避免出現(xiàn)補償后的曲線速度與加速度波動過大。

由于在遺傳算法優(yōu)化過程中如果直接將所有的參數(shù)點都進行優(yōu)化參數(shù)過大，并且也不利于算法收斂，所以在進行優(yōu)化之前，先去除一部分對優(yōu)化結果影響不大的點，例如凸輪升程曲線的基圓部分則不做優(yōu)化。主要對凸輪曲率變化大的部分選取合理的參數(shù)點進行分段修正，并通過CTC原理獲得凸輪補償曲線并分段后，對分段曲線建立優(yōu)化目標函數(shù)，考慮到補償量可能會影響到凸輪磨削的線速度，C軸角加速度，所以分別考慮以上內容，建立優(yōu)化目標函數(shù)為：

式中：ΔXi

n—第i次循環(huán)時第n點時調整后的補償量；擇為20，交叉運算方式使用單點交叉運算，變異運算使用均勻變異算，變異率為0.01。在適應度上選擇基于排序的適應度分配計算方法。

J1—凸輪最大線速度與最小線速度之間的差值；

J2—C軸最大角加速速度；

a1，a2—相關權重系數(shù)。

同時該式中的補償后的速度優(yōu)化算法同樣也應該滿足凸輪磨床的原始約束條件。

所以這里的優(yōu)化問題為：

圖3 遺傳算法優(yōu)化流程圖Fig.3 Optimization Flow Chart of Genetic Algorithm

4 實驗與仿真

為了驗證算法的可靠性，基于文獻[10]搭建Simulink仿真模模型。凸輪磨床仿真系統(tǒng)，如圖4所示。

圖4 凸輪磨床軸仿真模型Fig.4 Simulation Model of Cam Grinder

本次磨削中采用012W進氣凸輪，凸輪基圓半徑為16.8mm，砂輪直徑為36mm，砂輪轉速恒定為100mm/s，從動輪半徑為，本次磨削厚度為1mm。優(yōu)化算法如下所示：

（1）已知凸輪磨削中的相關數(shù)據(jù)利用速度順心法，求得C軸與X軸的對應關系。

（2）利用限制最大加速度的準恒線速度方法求得C軸轉速曲線。

（3）根據(jù)CTC補償原理，通過測量凸輪磨削過程中的磨削速度與磨削后的厚度來求取補償量，接著將磨削補償曲線曲線進行分段。

（4）對的補償曲線進行分段，區(qū)間中采樣為3度一個點，采用遺傳優(yōu)化算法進行優(yōu)化，優(yōu)化目標函數(shù)為：

考慮到這里是基于準恒線速度模型基礎上優(yōu)化的速度曲線，各個磨削點之間的線速度影響較小，所以有關線速度的系數(shù)權重選擇的相對較小，加速度影響權重系數(shù)選擇的相對較大。優(yōu)化曲線權重系數(shù)，如表1所示。

表1 優(yōu)化曲線權重系數(shù)Tab.1 Optimum Curve Weight Coefficient

遺傳算法分為三段優(yōu)化求取補償曲線段曲線。

（5）根據(jù)C_X轉換模型，求得轉化后的速度曲線。如果磨削過程中還得達不到精度要求，重復步驟3至步驟5，求取新的速度曲線。為了進一步驗證算法的可靠性與實用性，分別比較幾種優(yōu)化方法的精度。三種磨削方法C軸速度，如5圖所示。三種磨削方法的輪廓誤差，如圖6所示。

圖5 三種磨削方法C軸速度曲線Fig.5 C Axis Speed Curve of Each Grinding Method

圖6 三種磨削方法凸輪輪廓誤差Fig.6 Cam Contour Error of Each Grinding Method

凸輪要求輪廓誤差在（±20）μm內，恒速磨削在與正向負向誤差較大，且磨削過程中線速度變化較快，不利于磨削質量的保證；采用近似恒線速度磨削后，負向輪廓誤差與正向輪廓誤差得到了減少，負向輪廓誤差最大值較大；采用優(yōu)化方法，正負向輪廓誤差得到進一步的減小。

5 結論

提出的凸輪磨削的動態(tài)速度優(yōu)化方法，是在數(shù)控磨削中的準恒線速度磨削的基礎上進行的優(yōu)化，并通過Matlab仿真驗證了算法的有效性。相比于常用的恒角速度磨削與準恒線速度磨削，該方法磨削精度較高。