周燚

[摘 ?要] 基于數(shù)學(xué)史內(nèi)容常常被日常教學(xué)所忽視的現(xiàn)狀，文章結(jié)合教學(xué)實(shí)際，以“勾股定理”為例，從融入基本教學(xué)環(huán)節(jié)、優(yōu)化教材史料、利用例題習(xí)題、重視閱讀材料的應(yīng)用與開(kāi)發(fā)四個(gè)方面具體說(shuō)明數(shù)學(xué)史在課堂教學(xué)中的實(shí)踐策略.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)史;課堂教學(xué);實(shí)踐策略

初中教材中數(shù)學(xué)史的內(nèi)容常常由于教學(xué)時(shí)間有限、史料素材有限、教師素養(yǎng)有限等因素被一帶而過(guò)，甚至置若罔聞. 教師如何在課堂教學(xué)中合理進(jìn)行數(shù)學(xué)史教學(xué)，提高課堂效率，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及解決問(wèn)題的能力，成為亟須解決的問(wèn)題. 筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)際，以“勾股定理”的教學(xué)為例，截取教學(xué)過(guò)程中的四個(gè)片段，具體展示四種數(shù)學(xué)史的教學(xué)策略.

數(shù)學(xué)史融入基本教學(xué)環(huán)節(jié)，整合教學(xué)時(shí)間

【片段一：新課引入】

師：今天這節(jié)課我們將跟隨數(shù)學(xué)家——畢達(dá)哥拉斯重走歷史，共同探究有趣的發(fā)現(xiàn). 畢達(dá)哥拉斯的生平如圖1.

師：下面是一則關(guān)于著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的小故事.

畢達(dá)哥拉斯有一次應(yīng)邀參加餐會(huì)，這位主人豪華宮殿般的餐廳鋪的是正方形美麗的大理石地磚. 大餐遲遲不上桌，這位善于觀察和理解的數(shù)學(xué)家便凝視腳下這些排列規(guī)則、美麗的方形瓷磚（如圖2）. 想到它們和“數(shù)”之間的關(guān)系，于是畢達(dá)哥拉斯拿起畫(huà)筆蹲在地磚上，選了一塊地磚以它的對(duì)角線為一邊畫(huà)了一個(gè)正方形. 他發(fā)現(xiàn)，這個(gè)正方形的面積恰好等于兩塊地磚的面積之和（如圖3）. 他很好奇，于是再以兩塊地磚拼成的矩形之對(duì)角線為一邊作另一個(gè)正方形，他發(fā)現(xiàn)這個(gè)正方形的面積等于5塊地磚的面積（如圖4），也就是以兩直角邊為邊所作的正方形面積之和. 至此，畢達(dá)哥拉斯做了大膽的假設(shè)：任何直角三角形，斜邊的平方恰好等于另兩邊的平方之和.

說(shuō)明？搖 教師提前準(zhǔn)備史料創(chuàng)設(shè)情境，與引入環(huán)節(jié)相整合，帶領(lǐng)學(xué)生重走歷史，感受數(shù)學(xué)家的思考和發(fā)現(xiàn)，體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

拓展與整合已有數(shù)學(xué)史料，優(yōu)化教材史料

【片段二：勾股定理的證明】

1. 從特例出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生用面積法來(lái)證明

以引入中的1，2，為特例（如圖5），引導(dǎo)學(xué)生用面積法來(lái)證明：借助網(wǎng)格，通過(guò)兩種割補(bǔ)（如圖6和圖7），利用面積法證得猜想的結(jié)論成立.

教師總結(jié)：對(duì)于不規(guī)則圖形或一個(gè)難算面積的規(guī)則圖形，割補(bǔ)法是最常用的方法！

2. 從特殊到一般，證明a，b，c為邊的情況

離開(kāi)了網(wǎng)格，學(xué)生對(duì)邊長(zhǎng)和面積的計(jì)算都存在心理障礙，此時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生類比之前的證明方法，用字母表示邊長(zhǎng)，利用割補(bǔ)法求出大正方形的面積.

師：你們剛才證得的結(jié)論——直角三角形中兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，就是著名的“勾股定理”，而大家剛才所使用的證明方法（圖6所示的證法1和圖7所示的證法2一般化后，證法1如圖8，證法2如圖9）也和歷史上偉大的數(shù)學(xué)家不謀而合. 我們的證法1，相傳是偉大數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于公元前550年首先證明的（如圖10）;證法2則是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家趙爽所發(fā)現(xiàn)的方法，該圖案同時(shí)也成為2002年在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽?qǐng)D案（如圖11）. 可見(jiàn)，勾股定理在數(shù)學(xué)史上有著十分重要的地位.

說(shuō)明？搖 兩種勾股定理的證明方法可完全由學(xué)生探究得到，讓學(xué)生重走數(shù)學(xué)家的探究路徑，和數(shù)學(xué)家一樣研究數(shù)學(xué). 數(shù)學(xué)史在幫助學(xué)生了解和掌握更多解決問(wèn)題的思路方面有著不可替代的作用，其中證法2在教材中有相應(yīng)的數(shù)學(xué)史料（浙教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)P76課后設(shè)計(jì)題，如圖12），而證法1對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)史料就需要教師自己查找補(bǔ)充. 這樣的資料收集具有方向性，可操作性強(qiáng)，這樣逐步積累與整合史料，便能慢慢完善適合教學(xué)的數(shù)學(xué)史資料.

教師可再整理幾種具有代表性的證明方法印制資料發(fā)給學(xué)生，供學(xué)生比較、探究. 通過(guò)了解證明方法的產(chǎn)生過(guò)程，學(xué)生能體會(huì)到一些真實(shí)的數(shù)學(xué)思維，對(duì)一些數(shù)學(xué)問(wèn)題能形成更深刻的認(rèn)識(shí)，從而在這種不斷學(xué)習(xí)、不斷探索、不斷研究的過(guò)程中逐步培養(yǎng)創(chuàng)新能力.

師：勾股定理在數(shù)學(xué)史上還有很多別稱呢！例如，畢達(dá)哥拉斯定理、商高定理、百牛定理、驢橋定理和埃及三角形等. 這個(gè)定理的歷史十分悠久，幾乎所有文明古國(guó)（古希臘、中國(guó)、古埃及、古巴比倫、古印度）對(duì)此定理都有研究. 下面將歷史上其他具有代表性的證明方法的資料發(fā)給同學(xué)們，這樣我們就可以和數(shù)學(xué)大家們一起來(lái)研究了.

資料

方法1：歐幾里得證法（北師大版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下P17）

著名的古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在巨著《幾何原本》中給出一個(gè)很好的證明. （圖13為歐幾里得和他的證明圖）

方法2：劉徽的證法（資料源于網(wǎng)絡(luò)）

劉徽在《九章算術(shù)》中對(duì)勾股定理的證明：勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類，因就其余不移動(dòng)也，合成弦方之冪，開(kāi)方除之，即弦也. （如圖14的青朱出入圖）

方法3：總統(tǒng)證法（人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下P30）

美國(guó)第二十任總統(tǒng)詹姆斯·加菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法（如圖15）.

方法4：婆什迦羅證明法（資料源于網(wǎng)絡(luò)）

印度數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家婆什迦羅對(duì)勾股定理給出了一種奇妙的證明，也是一種分割型的證明. 如圖16，把斜邊上的正方形劃分為五部分，其中四部分都是與給定的直角三角形全等的三角形;一部分為以兩直角邊之差為邊長(zhǎng)的小正方形. 很容易把這五部分重新拼湊在一起，得到兩個(gè)直角邊上的正方形之和.

師：勾股定理的證明方法還有很多，大家課后可以自己查閱資料再找?guī)追N并進(jìn)行比較，希望大家能夠從中梳理出一些解決問(wèn)題的基本思想方法，幫助大家更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).

說(shuō)明？搖 我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，若能還原歷史上那些數(shù)學(xué)家們對(duì)同一個(gè)問(wèn)題的研究路徑和解決方法，一方面能讓學(xué)生感受智力的挑戰(zhàn)，體會(huì)成功，另一方面，通過(guò)比較、分析各種方法，能加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解. 勾股定理的證明方法有面積證法、弦圖證法、比例證法等300余種. 通過(guò)搜索、比較數(shù)學(xué)史上的各種不同方法，不僅能讓學(xué)生更好地領(lǐng)會(huì)每種方法的本質(zhì)，而且能啟發(fā)學(xué)生通過(guò)分析、比較，咀嚼出數(shù)學(xué)思想方法.

合理利用、滲透數(shù)學(xué)史的例題和習(xí)題，培養(yǎng)教師素養(yǎng)

【片段三：例題教學(xué)】

浙教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)課后作業(yè)題第六題如下.

《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的數(shù)學(xué)題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？”

（根據(jù)實(shí)際需要給出翻譯和示意圖）

翻譯：有一邊長(zhǎng)為一丈的正方形水池，在池中央長(zhǎng)著一根蘆葦，蘆葦露出水面一尺，將蘆葦拉到池邊的中點(diǎn)處，蘆葦頂端恰好達(dá)到水面，問(wèn)水有多深，蘆葦有多長(zhǎng). （1丈=10尺）

數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖17，AB=10，G為AB的中點(diǎn)，EF⊥AB，F(xiàn)G=1，EF=BE，求BC和BE的長(zhǎng).

（學(xué)生解答過(guò)程略）

師：古人也是這樣解決問(wèn)題的，因此方程思想也是從古至今沿用的，數(shù)學(xué)的歷史就是數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程，一脈相承.

說(shuō)明？搖 教材選用《九章算術(shù)》中的一道應(yīng)用題，學(xué)生在學(xué)有所用的同時(shí)能夠了解中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就. 教師在分析題目的過(guò)程中，應(yīng)著重將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，在問(wèn)題解決的過(guò)程中滲透方程思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)建模思想.

歷史名題中蘊(yùn)含了豐富的思想方法，從古至今一脈相承，能讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)的有趣和有用，能讓學(xué)生更加重視和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，能提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的自覺(jué)性，從而增強(qiáng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

合理利用含有數(shù)學(xué)史知識(shí)的例題、習(xí)題，需要教師事先查閱資料了解歷史，補(bǔ)充一些背景知識(shí)與解題方法，這無(wú)形中也培養(yǎng)了教師的人文素養(yǎng).

重視滲透數(shù)學(xué)史的閱讀材料的應(yīng)用與再開(kāi)發(fā)，提高教師能力

【片段四：閱讀材料】

師：（浙教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)P78閱讀材料）在歐幾里得時(shí)代，《幾何原本》第六卷命題31曾經(jīng)介紹：“在一個(gè)直角三角形中，在斜邊上所畫(huà)的任何圖形的面積，等于在兩條直角邊上所畫(huà)的與其相似的圖形的面積之和. ”（教師解釋“相似”的含義）同學(xué)們可以自己思考一下這個(gè)命題，并加以證明.

（學(xué)生小組討論，有圖18、圖19、圖20三種情況，逐一匯報(bào)，得出結(jié)論）

師：通過(guò)以上匯報(bào)，我們用三個(gè)實(shí)例說(shuō)明以上命題是成立的，那其他正多邊形呢？其他相似的幾何圖形呢？大家課后繼續(xù)探究！

變式拓展 ？搖條件同圖20，但改為向內(nèi)作圖呢？如圖21，三塊陰影的面積分別記作S1，S2，S3，結(jié)論一致嗎？

（師生共同解決以上問(wèn)題）

師：其實(shí)這種變式也有相應(yīng)的史料佐證. 公元前約400年，古希臘的希波克拉底研究了他自己所畫(huà)的形如圖21的圖形，得出如下結(jié)論：“兩個(gè)月牙形的面積之和，等于△ABC的面積，即S+S=S.”

師：那圖18與圖19是否也有以上變式？大家動(dòng)手試一試！

分析？搖 教材中出現(xiàn)頻率最高的數(shù)學(xué)史料就是課后的“閱讀材料”，合理運(yùn)用這些材料進(jìn)行拓展變式，往往事半功倍. 從史料中的命題入手，引發(fā)學(xué)生的探究興趣，將問(wèn)題開(kāi)放化，通過(guò)學(xué)生的自主探究將原本如圖18、圖19、圖20的三種常見(jiàn)圖形自然呈現(xiàn)，符合知識(shí)的形成規(guī)律. 另外，及時(shí)變式拓展：（1）改變圖形的形狀進(jìn)一步探究，結(jié)論不發(fā)生變化;（2）改變以斜邊為邊形成的圖形的方向，相應(yīng)結(jié)論發(fā)生改變. 層層遞進(jìn)的探究，使學(xué)生體會(huì)到以“勾股定理”為核心可以發(fā)生多角度的變化，但是萬(wàn)變不離其宗. 通過(guò)這層層深入的探究，能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，同時(shí)，其思考問(wèn)題的能力、解決問(wèn)題的能力也能得到拓展、提升.

立足于教材，以“閱讀材料”形式呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)史資料，選取與練習(xí)相結(jié)合的點(diǎn)進(jìn)行再開(kāi)發(fā)、再拓展，既傳承了數(shù)學(xué)一貫的延續(xù)，又在教學(xué)中得到發(fā)展與延伸，還培養(yǎng)了教師的聯(lián)系與整合能力.

結(jié)語(yǔ)

一位學(xué)者說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是一種文化，回歸源頭能使我們獲得對(duì)思想過(guò)程的重要認(rèn)識(shí)，更加清晰地理解現(xiàn)在的問(wèn)題. ”數(shù)學(xué)史教學(xué)的重要性不僅是為了激發(fā)學(xué)習(xí)興趣等外在原因，主要是把數(shù)學(xué)發(fā)展中同時(shí)期和不同時(shí)期的數(shù)學(xué)文化聯(lián)系起來(lái)，使數(shù)學(xué)史成為支持教與學(xué)的重要組成部分. 同時(shí)期的數(shù)學(xué)文化含有課堂對(duì)話和課堂活動(dòng)的自然情境，不同時(shí)期的數(shù)學(xué)文化則聯(lián)系著數(shù)學(xué)的發(fā)展. 學(xué)生在一定的社會(huì)文化背景下掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建意義、思維模式以及發(fā)生發(fā)展形式，不僅實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)認(rèn)知的發(fā)展，更重要的是實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)元認(rèn)知的發(fā)展. 數(shù)學(xué)史滲透于教學(xué)的發(fā)展方向是積極的，雖然在實(shí)施過(guò)程中存在很多阻礙因素，但只要教師和學(xué)生認(rèn)識(shí)到其對(duì)于數(shù)學(xué)教與學(xué)的作用和價(jià)值，并有意識(shí)地應(yīng)用于實(shí)踐，相信還是能發(fā)現(xiàn)很多有效的方法和途徑. 其最終目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生掌握更多更好的方法，以進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué).