徐春凌

【內(nèi)容摘要】只有當(dāng)學(xué)生理解了知識(shí)，才能建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，并運(yùn)用知識(shí)。因此，認(rèn)知理解是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的中心環(huán)節(jié)，是獲取知識(shí)的關(guān)鍵，它在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有重要的地位。研究表明，初中生多數(shù)處于低水平的理解層次。通過教學(xué)實(shí)踐，筆者從師生互動(dòng)加強(qiáng)課堂參與度，情境教學(xué)，變式教學(xué)，反思教學(xué)四個(gè)角度，以實(shí)際案例闡述提升學(xué)生理解水平的教學(xué)建議。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 認(rèn)知理解

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)包括數(shù)學(xué)計(jì)算，數(shù)學(xué)應(yīng)用，數(shù)學(xué)記憶等，而它們的前提和基礎(chǔ)是理解數(shù)學(xué)知識(shí)，縱觀各國課程改革的趨勢，多個(gè)國家的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)都加入或加大了“數(shù)學(xué)認(rèn)知理解”的比重，它是繼“建構(gòu)主義”“問題解決”后研究的重點(diǎn)。在實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)中，多數(shù)的數(shù)學(xué)學(xué)困生，是由于不能正確理解數(shù)學(xué)知識(shí)導(dǎo)致的，所以數(shù)學(xué)教學(xué)要采取有效措施，重視提高學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知理解水平。

《全日制義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）將理解解釋為：能準(zhǔn)確描述對象的特征，由來，能明確闡述它和與此它有關(guān)對象之間的區(qū)別和聯(lián)系。

普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)在教材編寫建議部分指出：教材編寫要體現(xiàn)相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系，幫助學(xué)生全面理解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)。在教學(xué)建議部分指出：教師應(yīng)該幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能。

與其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)知識(shí)前后連貫，銜接緊密，知識(shí)本身也具有高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性，如果一個(gè)知識(shí)點(diǎn)不理解，就會(huì)導(dǎo)致后面的知識(shí)也不理解。

不少初中的學(xué)生能熟練地背誦概念，公式和定理定義，但是不會(huì)運(yùn)用或者運(yùn)用能力較差，題目稍有改變就束手無策，解題方法單一，對出現(xiàn)的問題不求甚解，久而久之，問題積累的越來越多，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上體會(huì)不到成功的喜悅，從而產(chǎn)生懼怕和厭學(xué)情緒。加上初中課程增多，知識(shí)點(diǎn)增多，對教學(xué)效率就提出了更高的要求，題海戰(zhàn)術(shù)，大量機(jī)械模仿顯然是不可行的，學(xué)生的理解性學(xué)習(xí)就顯得尤其重要。

一、注重師生互動(dòng)

建構(gòu)主義中，明確確立了學(xué)生的主體地位，教學(xué)過程不再是傳統(tǒng)意義上的老師給予知識(shí)，學(xué)生被動(dòng)接受的靜態(tài)過程，而是師生之間，生生之間交互的，多向的動(dòng)態(tài)過程，老師以多樣的教學(xué)方式和手段讓學(xué)生理解知識(shí)，學(xué)生也以口頭或者書面的表達(dá)向老師，同學(xué)反饋?zhàn)约旱睦斫馑剑儆衫蠋熀屯瑢W(xué)對其進(jìn)行評價(jià)，修正，如此循環(huán)往復(fù)，使得學(xué)生能理解并不斷建構(gòu)自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

通過互動(dòng)交流，學(xué)生理解了哪些知識(shí)，不理解哪些知識(shí)，理解到什么程度，有哪些缺陷就得以充分體現(xiàn)，教師可以有針對性的調(diào)整教學(xué)，做到有的放矢。如一次不等式組解法的教學(xué)中，因?yàn)閷W(xué)生在前面學(xué)習(xí)了一次不等式的解法和二元一次方程組，可以類比學(xué)習(xí)，所以可以讓學(xué)生在預(yù)習(xí)的基礎(chǔ)上，分小組解決課本例題，然后每個(gè)小組派代表上臺(tái)講解自己的小組是如何解一次不等式組的，由其他小組的同學(xué)做出評價(jià)，最后老師指出不完整不正確之處，歸納解一次不等式組的方法，這樣老師在了解學(xué)生自己能學(xué)到怎樣的水平后再幫助其提高，既能提高課堂效率，又能有針對性地指導(dǎo)教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生對知識(shí)的掌握和理解。

學(xué)生在與老師和同學(xué)的互動(dòng)中，也能促進(jìn)對知識(shí)的理解。首先，學(xué)生將自己對知識(shí)的理解進(jìn)行提煉，再加工以后才能進(jìn)行表述，也就是“說數(shù)學(xué)”，這本身就是一個(gè)理清自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，將知識(shí)內(nèi)化的過程;其次，由于學(xué)生個(gè)人原有的知識(shí)背景，認(rèn)知方式和學(xué)習(xí)能力的不同，就是對同一個(gè)知識(shí)，也會(huì)有不一樣的理解，通過與同學(xué)的討論交流，可以取長補(bǔ)短，修正自己錯(cuò)誤的想法，拓寬自己的思路，加深對所學(xué)知識(shí)的理解。

二、創(chuàng)設(shè)豐富的情境

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)生理解新知識(shí)的過程有兩種：一個(gè)將新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)，即同化，一是調(diào)整知識(shí)結(jié)構(gòu)去適應(yīng)新知識(shí)，即順應(yīng)。每一個(gè)知識(shí)的產(chǎn)生于發(fā)展都是有背景的，教學(xué)的過程中，創(chuàng)設(shè)認(rèn)知情境，可以讓知識(shí)點(diǎn)更好的被學(xué)生理解掌握并運(yùn)用。

1.創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)生活的情境

學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的起點(diǎn)通常不是邏輯定理，而是日常生活的體驗(yàn)，數(shù)學(xué)一旦將現(xiàn)實(shí)生活引入課堂，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值，學(xué)生才會(huì)有數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，感覺到數(shù)學(xué)就在身邊，如：當(dāng)a>6>m>o時(shí)，證明不等式。我們可以根據(jù)學(xué)生的生活體會(huì)，想象將一定量的糖（m克）加入一杯不太甜（濃度是）的糖水中，那么糖水的濃度肯定提高了，根據(jù)濃度的計(jì)算方法，由此得到了數(shù)學(xué)表達(dá)式，并可以舉一反三，推導(dǎo)出其他的結(jié)論：

當(dāng)a>b>m>0.

則;

當(dāng)a>b>0.m>n>0，

則;

當(dāng)a>b>m>n>0，

則。

等等結(jié)論，學(xué)生對這一不等式知識(shí)的理解也因?yàn)橛辛松铙w驗(yàn)而得到加強(qiáng)。再如：我們給學(xué)生將直線和圓的位置關(guān)系的時(shí)候，可以讓學(xué)生想象海邊看日出的過程，海平面抽象成直線，太陽就像一個(gè)圓，日出的過程會(huì)讓這直線和圓經(jīng)歷從相交到相切到相離三個(gè)狀態(tài)。

2.創(chuàng)設(shè)知識(shí)生成的情境

傳統(tǒng)教學(xué)重結(jié)果而輕過程，學(xué)生對概念，定理，公式的理解停留在知其然而不知其所以然的地步，其實(shí)數(shù)學(xué)的教學(xué)，不只是教會(huì)學(xué)生一些現(xiàn)成的結(jié)論，還要教給學(xué)生結(jié)論形成過程中所經(jīng)歷的思考，用到的思想方法，讓學(xué)生體會(huì)創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn)的過程，才能對結(jié)論有深刻的把握和理解。如二元一次方程的求根公式，好多同學(xué)總是記不住，二元一次方程的判別式為什么就是這樣的不理解，有的老師害怕課時(shí)緊張或者是字母繁雜直接跳過推導(dǎo)的過程。其實(shí)我們就可以在具體的二元一次方程用配方法求解的過程中總結(jié)解題步驟，然后將所有的具體數(shù)字表示的系數(shù)換成字母，再由學(xué)生歸納，歸納完了那么求根公式和韋達(dá)定理也就推導(dǎo)出來了，學(xué)生理解到求根公式的本質(zhì)其實(shí)是配方法的應(yīng)用，那么理解起來會(huì)透徹很多，對判別式為何能判定一元二次方程根的個(gè)數(shù)更是沒有疑惑。

3.創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)活動(dòng)的情境

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個(gè)“做數(shù)學(xué)”的過程，教師要為學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)提供平臺(tái)，在師生共同參與，共同體驗(yàn)，共同思考的活動(dòng)中完成對知識(shí)的理解和掌握。如七年級學(xué)生學(xué)完整式的加減后有如下數(shù)學(xué)活動(dòng)：

如圖所示，用火柴棍拼成一排由三角形組成的圖形：

（l）如果圖形中含有3個(gè)三角形，需要多少根火柴棍？含有8個(gè)三角形需要多少根火柴棍？

（2）如果圖形中含有，n個(gè)三角形，需要多少根火柴棍？

（3）當(dāng)圖形中含有2014個(gè)三角形時(shí)，需要多少根火柴棍？

上課時(shí)，教師將準(zhǔn)備好的火柴棍分發(fā)給學(xué)生，讓學(xué)生親自動(dòng)手?jǐn)[放圖形，第一個(gè)問題可以在擺放的過程中很快得到解決，同時(shí)也讓學(xué)生熟悉了擺放的方法，多次的擺放有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，如：在已經(jīng)有部分三角形的基礎(chǔ)上，每增加一個(gè)三角形，就需要多增加兩根火柴棍，但是第一個(gè)三角形除外，為此得到了第二題的答案是3+2（n-l）=2n+l，或者將三角形一個(gè)個(gè)拼接在一起，每一次的拼接都會(huì)有一根火柴棍重疊，，n個(gè)三角形拼接在一起就會(huì)重疊了（n+1）根火柴棍，所以得到的答案是3n-（n-l）=2n+l;也有的同學(xué)是先擺好水平方向的火柴棍，再分別擺傾斜的火柴棍，這樣可以得到n+（n+1）=2n+1的結(jié)論，為此，不一樣的擺放方法可以得到不一樣的解題方法，學(xué)生在動(dòng)手?jǐn)[放的過程對問題有了初步了解，產(chǎn)生表象，然后關(guān)注性質(zhì)，從中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，學(xué)生對用字母表示數(shù)和整式的運(yùn)算都有了進(jìn)一步的理解。

三、實(shí)施變式教學(xué)

變式是掌握概念的方法之一，它是針對所給的問題，從不同的側(cè)面和角度，進(jìn)行變形，使直觀材料或事例不斷改變呈現(xiàn)形式，在保留本質(zhì)屬性的同時(shí)改變問題的表面形式。通過變式，形象化，具體化了抽象的知識(shí)，還可以將特殊的情況推廣到一般的情況，為學(xué)生深刻理解問題提供了途徑。教師通過交換問題的條件和結(jié)論，對實(shí)際應(yīng)用問題改變情境，變換問題的形式或題型等，暴露問題的本質(zhì)特征，揭示知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，加深學(xué)生對知識(shí)的理解。在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，設(shè)計(jì)難度逐層遞進(jìn)的變式題組，可以有效地提高數(shù)學(xué)理解水平。

變式教學(xué)可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行：

（1）概念變式。在講解概念后，不急于應(yīng)用概念，而是通過變式讓學(xué)生對概念的內(nèi)涵和外延有一個(gè)更深刻的理解。如二元一次方程組的概念介紹后，讓學(xué)生判斷以下幾個(gè)方程組是否為二元一次方程組：

對以上幾個(gè)方程組的判定，讓學(xué)生更進(jìn)一步理解二元一次方程組的概念。

（2）公式變式。對于重要的公式，學(xué)生學(xué)習(xí)起來感覺很簡單，但是對應(yīng)用的范圍卻不甚了解，遇到問題的時(shí)候不懂得使用，為此學(xué)習(xí)了一個(gè)公式以后我們要設(shè)計(jì)一系列的變式，讓學(xué)生了解公式的應(yīng)用范圍。如初中的完全平方公式，學(xué)生根據(jù)整式的乘法要推導(dǎo)出來并不困難，但是它的應(yīng)用卻是干變?nèi)f化的：若a+b=7，ab=5則a2+b2=？若a2+b2=7，a+b=5，則ab=？;若a2+b2=7，ab=5，則a+b=？若a2+b2=7，ab=5，則a-b=？

（3）語言變式。通過文字語言，圖像語言和符號語言將數(shù)學(xué)的概念，定理或者數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可以促進(jìn)學(xué)生對問題的理解。如平行線的判定定理和性質(zhì)定理的學(xué)習(xí)中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生得到如下表格：

不同語言對同一知識(shí)的呈現(xiàn)，讓學(xué)生能從不同的角度理解知識(shí)。

四、指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我提問

數(shù)學(xué)活動(dòng)對于學(xué)生來說是一個(gè)個(gè)的經(jīng)歷，通過對活動(dòng)的反思，可以將經(jīng)歷提升為經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)自己哪些沒有學(xué)好，哪些知識(shí)理解了，哪些知識(shí)還不理解或者理解的層次不夠，哪些方法用的不夠熟練，各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)是什么等等，為后續(xù)的學(xué)習(xí)提供幫助。

1.對思考過程的反思。在一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)結(jié)束后，盡力回想整個(gè)活動(dòng)的每個(gè)心理步驟：我的思路和其他同學(xué)或老師的有什么不同，我走了什么彎路，有什么優(yōu)缺點(diǎn)？原因是什么？怎樣做出調(diào)節(jié)等。

2.對活動(dòng)內(nèi)容涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)的反思。在活動(dòng)中用到了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？其中的概念內(nèi)涵和外延是什么？能用數(shù)學(xué)符號表示這個(gè)概念嗎？我能不能舉一些不符合這個(gè)概念的例子？用到的定理是怎樣描述的？我是否明確了定理的來龍去脈？符合怎樣的前提條件才能用這個(gè)定理？這個(gè)定理還能用到什么地方或者這個(gè)活動(dòng)能用別的定理來完成嗎？活動(dòng)中用到的知識(shí)之間有什么聯(lián)系？它們是怎樣結(jié)合起來解決問題的等等。

3.對活動(dòng)中涉及的思想方法進(jìn)行反思。活動(dòng)中用到了什么數(shù)學(xué)思想？初中階段常用的有分類討論，數(shù)形結(jié)合，化歸，方程思想等，這些思想方法怎么用？以前我是否也有用過？在不同的情境下運(yùn)用有什么差異和聯(lián)系，規(guī)律是什么？數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)需要老師在長期的教學(xué)中不斷滲透，才能讓學(xué)生內(nèi)化為自己的思想。

4.對數(shù)學(xué)活動(dòng)結(jié)果的反思，這一結(jié)果是否合理，可以解釋什么現(xiàn)象，可以在什么時(shí)候使用。

總之，在教學(xué)的過程中，教師提升學(xué)生的參與度，設(shè)置問題情境，加強(qiáng)變式教學(xué)，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生反思能力，對促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知理解將會(huì)有所裨益。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國教育部，普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[S].北京：高等教育出版社，2003.

【本論文為廣州市教育科學(xué)規(guī)劃2018年度課題“STEM背景下學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的提高與拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)實(shí)踐研究”（課題編號：201811770）的部分研究成果?！?/p>

（作者單位：廣州大學(xué)附屬中學(xué)）