甘 若,陳天偉,鄭旭東,段青達(dá),潘 梅

(桂林理工大學(xué) a.廣西空間信息與測(cè)繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室;b.測(cè)繪地理信息學(xué)院,廣西 桂林 541006)

在變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中,噪聲經(jīng)常影響分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。由于人為操作和測(cè)量?jī)x器精度等因素,對(duì)建筑物進(jìn)行監(jiān)測(cè)得到的變形數(shù)據(jù)含有真值和誤差(噪聲)兩部分,如何有效消除誤差并提取變形特征、最大限度地還原真實(shí)信號(hào)，是變形分析研究的重要內(nèi)容。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理及預(yù)測(cè)方法進(jìn)行大量的研究和總結(jié),歸納出大量理論和方法,如小波分析、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、線性回歸法、灰色預(yù)測(cè)模型、卡爾曼濾波等,這些方法都已經(jīng)成功運(yùn)用于實(shí)際工作中,取得了不錯(cuò)的效果[1-4]。目前小波分析具有可平移、可伸縮、多分辨率、多尺度等多方面的優(yōu)勢(shì),將小波分析應(yīng)用到變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的處理中,可以更好地檢測(cè)和削弱數(shù)據(jù)中各種誤差的影響,這對(duì)于變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理具有很重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。Donoho對(duì)小波去噪方法進(jìn)行了研究,提出了小波軟閾值和硬閾值去噪方法,獲得了較好的效果[5],這兩種閾值去噪方法獲得成功的同時(shí),也存在著不足之處，如硬閾值函數(shù)由于在閾值處的不連續(xù)性,會(huì)導(dǎo)致重構(gòu)后的信號(hào)出現(xiàn)不必要的振蕩現(xiàn)象。軟閾值函數(shù)因?yàn)榇嬖诤愣ǖ钠顔?wèn)題,會(huì)導(dǎo)致重構(gòu)后的信號(hào)丟失部分有效細(xì)節(jié),出現(xiàn)失真的現(xiàn)象。針對(duì)傳統(tǒng)閾值函數(shù)中出現(xiàn)的問(wèn)題,學(xué)者提出了很多改進(jìn)的閾值函數(shù)和解決方案[6-12],如:莫平方處理法、半軟閾值處理法和軟硬閾值折中算法等,其中趙瑞珍等提出的莫平方處理法能夠有效提高信噪比,降低均方根誤差[6];王知強(qiáng)提出的半軟閾值去噪法有效地克服了硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性,避免了軟閾值函數(shù)存在的恒定偏差問(wèn)題[7];王芳等提出的軟硬閾值折中算法既兼顧了軟、硬閾值函數(shù)的優(yōu)點(diǎn),同時(shí)又在一定程度上彌補(bǔ)了這兩種方法的缺陷[8]。

針對(duì)傳統(tǒng)閾值函數(shù)的缺點(diǎn),結(jié)合研究現(xiàn)狀,本文提出了一種改進(jìn)的小波閾值去噪函數(shù),探討改進(jìn)的小波閾值去噪函數(shù)對(duì)變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的去噪效果,驗(yàn)證改進(jìn)閾值函數(shù)對(duì)變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)去噪的有效性和可行性。

1 軟閾值法和硬閾值法

小波傳統(tǒng)的硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)已經(jīng)在實(shí)際工作中獲得了廣泛的應(yīng)用,也取得了較好的應(yīng)用效果,一些研究者在硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)的基礎(chǔ)上,提出了各種改進(jìn)的閾值函數(shù),其原理大多基于硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)改進(jìn)而成。

硬閾值函數(shù)為

(1)

式中:wj,k為硬閾值去噪后輸出的小波系數(shù);w為原始的小波系數(shù);T為閾值(下同)。

軟閾值函數(shù)為

(2)

此時(shí)，當(dāng)|w|

2 小波改進(jìn)閾值函數(shù)

2.1 改進(jìn)的閾值函數(shù)

針對(duì)軟閾值函數(shù)和硬閾值函數(shù)的缺點(diǎn),本文提出的改進(jìn)閾值函數(shù)：

(3)

其中,M和β為可調(diào)節(jié)的參數(shù),β∈(0.05,0.5),M>0。

改進(jìn)的閾值函數(shù)具有以下特點(diǎn): ①當(dāng)w→±T時(shí),e-(|w|-T)/M→1,wj,k→0,這表明改進(jìn)的閾值函數(shù)具有和軟閾值函數(shù)相同的特性,即在±T處連續(xù);當(dāng)w→∞時(shí),e-(|w|-T)/M→0,wj,k→w,即wj,k=w是改進(jìn)閾值函數(shù)的一條漸近線,這表明改進(jìn)的閾值函數(shù)保留了硬閾值函數(shù)的特性,估計(jì)值更加接近于實(shí)際值。 ② 參數(shù)M用于實(shí)現(xiàn)不同的M值對(duì)改進(jìn)閾值函數(shù)去噪效果的影響,圖1為改進(jìn)閾值函數(shù)不同M值時(shí)的變化曲線。 當(dāng)M→0時(shí),改進(jìn)閾值函數(shù)接近于硬閾值函數(shù),當(dāng)M→∞時(shí),改進(jìn)閾值函數(shù)體現(xiàn)出軟閾值函數(shù)的特征; 當(dāng)|w|

圖1 不同M值時(shí)的改進(jìn)閾值函數(shù)Fig.1 Improved threshold function with different parameter M

從以上分析可以看出,改進(jìn)的閾值函數(shù)不僅克服了硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性,而且避免了軟閾值函數(shù)連續(xù)不斷的偏差現(xiàn)象。圖2為當(dāng)M=10時(shí),改進(jìn)閾值函數(shù)和軟、硬閾值函數(shù)的變化曲線。

圖2 M=10時(shí)軟、硬閾值函數(shù)和改進(jìn)閾值函數(shù)的變化曲線Fig.2 Soft,hard threshold function and improved threshold function with M=10

2.2 閾值估計(jì)方法

(4)

式中:σ為噪聲強(qiáng)度;N為各層采樣信號(hào)系數(shù)的長(zhǎng)度;j為分解尺度。 閾值隨著分解尺度變大而逐漸減小,對(duì)于閾值的選取,改進(jìn)的閾值計(jì)算公式具有良好的自適應(yīng)性,去噪的效果更好。

在實(shí)際過(guò)程中噪聲的強(qiáng)度是未知的,不能直接利用噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算σ,因?yàn)橛脴?biāo)準(zhǔn)差直接計(jì)算σ,會(huì)影響去噪的精度,造成偏差。 在最小尺度空間,噪聲的小波系數(shù)占據(jù)優(yōu)勢(shì),因此可根據(jù)最小尺度空間的小波系數(shù)得出噪聲強(qiáng)度[13]:

(5)

圖3 去噪流程圖Fig.3 Denoising flow chart

3 仿真試驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文改進(jìn)閾值函數(shù)去噪的有效性,使用MATLAB 2014a平臺(tái)進(jìn)行仿真試驗(yàn)?，F(xiàn)模擬一組變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的仿真信號(hào)S,信號(hào)S由長(zhǎng)度為500、3個(gè)振幅頻率不同的周期項(xiàng)和1個(gè)趨勢(shì)項(xiàng)組成,步長(zhǎng)設(shè)置為0.01,仿真信號(hào)S的表達(dá)式為[14]

(6)

變形監(jiān)測(cè)信號(hào)含有的噪聲大多以白噪聲為主,實(shí)驗(yàn)使用MATLAB中自帶的awgn函數(shù)為仿真信號(hào)S添加信噪比為db15的高斯白噪聲,仿真信號(hào)S和仿真噪聲信號(hào)S1如圖4所示。

本次實(shí)驗(yàn)采用傳統(tǒng)閾值函數(shù)和本文的改進(jìn)閾值函數(shù)進(jìn)行對(duì)比分析,分別使用去噪能力較好的sym8小波和db10小波對(duì)含噪信號(hào)S1進(jìn)行去噪處理。 當(dāng)分解層數(shù)選為3層,改進(jìn)閾值函數(shù)中M取值為2、β為0.15時(shí),改進(jìn)閾值函數(shù)的去噪效果較好,去噪效果如圖5所示。 sym8和db10兩種小波的軟閾值去噪曲線太過(guò)平滑,失去了較多的有用信息,信號(hào)失真比較嚴(yán)重,這是由于軟閾值函數(shù)把部分有用信號(hào)當(dāng)成含噪信號(hào)去除的緣故。 sym8硬閾值去噪法基本去除了噪聲,但在時(shí)間序列470～500處依然含有部分噪聲,這是由于在對(duì)含噪信號(hào)S1進(jìn)行信噪分離時(shí),部分噪聲信號(hào)分離到了低頻信號(hào)當(dāng)中,硬閾值去噪函數(shù)把噪聲信號(hào)當(dāng)成有用信號(hào)保留了下來(lái),而且硬閾值函數(shù)在w=T處的不連續(xù)性,導(dǎo)致重構(gòu)后的曲線產(chǎn)生了不必要的振蕩現(xiàn)象。 db10硬閾值去噪曲線在時(shí)間序列150～200、270～300以及470～500處出現(xiàn)了部分振蕩現(xiàn)象,去噪效果比sym8硬閾值去噪方法稍差。 改進(jìn)閾值去噪曲線中,在時(shí)間序列470～500處sym8和db10兩種小波都出現(xiàn)了振蕩現(xiàn)象,其中sym8小波的振蕩較明顯,其余地方兩種曲線差別不大,因此需要引進(jìn)評(píng)價(jià)指標(biāo)信噪比(SNR)和均方根誤差(MSE)進(jìn)行進(jìn)一步的判斷：

圖4 仿真數(shù)據(jù)Fig.4 Simulation data

(7)

(8)

式中,fi為去噪后的信號(hào);yi為原始信號(hào);n為信號(hào)長(zhǎng)度。SNR值越大,去噪效果越好；MSE值越小,去噪效果越好。

表1為各閾值函數(shù)去噪后的評(píng)價(jià)指標(biāo)。sym8和db10軟閾值去噪算法的信噪比較小,均方根誤差較大,去噪的效果不太好,這是由于軟閾值函數(shù)把部分有用信號(hào)當(dāng)成噪聲信號(hào)去除的結(jié)果,而且在|w|≥T時(shí),wj,k與w存在固定的偏差T,對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)會(huì)產(chǎn)生較大的影響。 sym8和db10硬閾值去噪方法由于硬閾值函數(shù)在w=T處的不連續(xù)性,導(dǎo)致重構(gòu)后的曲線出現(xiàn)了部分振蕩現(xiàn)象,與軟閾值去噪方法相比,信噪比和均方根誤差相差不大,去噪效果較差。 sym8改進(jìn)閾值去噪方法的信噪較大,均方根誤差較小; db10改進(jìn)閾值去噪方法的信噪最大,均方根誤差最小。 改進(jìn)閾值函數(shù)在一定程度上既避免了軟閾值函數(shù)存在恒定偏差的問(wèn)題,又克服了硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性,去噪效果比傳統(tǒng)閾值法有了進(jìn)一步的提高,可見(jiàn)本文的改進(jìn)閾值函數(shù)對(duì)模擬的變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)去噪是可行的。

圖5 各閾值函數(shù)用不同去噪方法對(duì)變形值的去噪效果Fig.5 Denoising effect of threshold functions on deformation values with different denoising method

表1 各閾值函數(shù)去噪后的評(píng)價(jià)指標(biāo)Table 1 Quality evaluation after denoising of each threshold function

4 實(shí)例分析

由于仿真信號(hào)添加的噪聲較為單一,而變形監(jiān)測(cè)信號(hào)所含有的噪聲較為復(fù)雜且無(wú)規(guī)律,現(xiàn)通過(guò)工程實(shí)例進(jìn)一步驗(yàn)證本文閾值函數(shù)的去噪能力。數(shù)據(jù)來(lái)源于文獻(xiàn)[15]某市地鐵施工建筑物變形監(jiān)測(cè),其中以Q-18點(diǎn)的傾斜觀測(cè)數(shù)據(jù)作為原始信號(hào),如圖6所示。

可見(jiàn),該建筑物的變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)含有一定的噪聲,數(shù)據(jù)波動(dòng)較大,帶有較多毛刺,具有一定周期性,建筑物總體呈現(xiàn)出逐漸向下傾斜的趨勢(shì)。

為考察去噪效果,采用傳統(tǒng)閾值函數(shù)和本文改進(jìn)閾值函數(shù)進(jìn)行對(duì)比分析,分別使用sym8小波和db10小波對(duì)含噪信號(hào)S1進(jìn)行去噪處理。 分解層數(shù)選為3層,改進(jìn)閾值函數(shù)中M為2、β取0.15時(shí),改進(jìn)閾值函數(shù)的去噪效果較好,去噪效果如圖7所示。

圖6 建筑物Q-18點(diǎn)原始信號(hào)Fig.6 Original signal of building Q-18 point

可以看出,sym8軟閾值去噪曲線總體上過(guò)于平滑,失真比較嚴(yán)重,周期性變化不明顯,不能有效地提取變形信息,過(guò)度平滑了原始變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),這是因?yàn)楹氲男〔ㄏ禂?shù)和估計(jì)的小波系數(shù)之間存在恒定的偏差T,重構(gòu)以后的精度比較差,導(dǎo)致去噪后的曲線過(guò)于光滑。db10軟閾值去噪曲線在時(shí)間序列0～60處的細(xì)節(jié)不明顯,失真也比較嚴(yán)重,而且在時(shí)間序列60～84處的振蕩比較明顯,還存在部分噪聲。 sym8硬閾值去噪曲線由于在w=T處的不連續(xù)性,導(dǎo)致重構(gòu)后的曲線出現(xiàn)了部分振蕩現(xiàn)象,特別是在時(shí)間序列10～20和60～70處的振蕩較為嚴(yán)重,去噪效果較差。 db10硬閾值去噪曲線在時(shí)間序列60～84處的振蕩現(xiàn)象比較嚴(yán)重,還含有部分毛刺,去噪效果較差。 sym8和db10改進(jìn)閾值去噪方法與傳統(tǒng)閾值去噪方法對(duì)比,在時(shí)間序列10～30處的細(xì)節(jié)比較明顯。 db10改進(jìn)閾值去噪曲線在時(shí)間序列60～84處的振蕩比較明顯,還有較多毛刺,從曲線上看,去噪效果比sym8改進(jìn)閾值曲線去噪曲線稍差。其余地方兩種小波的改進(jìn)閾值去噪曲線差別不大,需要從評(píng)價(jià)指標(biāo)上進(jìn)一步判斷本文改進(jìn)閾值函數(shù)去噪的有效性和可行性,表2為各閾值函數(shù)去噪后的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

圖7 各閾值函數(shù)用不同去噪方法對(duì)累計(jì)變形值的去噪效果Fig.7 Denoising effect of threshold function on cumulative deformation values with different denoising method

表2 各閾值函數(shù)去噪后的質(zhì)量評(píng)價(jià)Table 2 Quality evaluation after denoising of each threshold function

可以看出,sym8和db10兩種小波的軟閾值去噪方法的信噪比較低,均方根誤差較大,去噪的效果不是很好,這是由于軟閾值函數(shù)存在恒定偏差的問(wèn)題,導(dǎo)致重構(gòu)后的信號(hào)出現(xiàn)失真現(xiàn)象,精度降低。 sym8和db10兩種小波的硬閾值去噪方法由于不連續(xù)性會(huì)導(dǎo)致重構(gòu)后的曲線出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象,與軟閾值去噪方法對(duì)比,信噪比有提升,均方根誤差有下降,去噪效果不是很明顯。sym8改進(jìn)閾值去噪方法的信噪比較大,均方根誤差較?。?db10改進(jìn)閾值去噪方法的信噪比最大,均方根誤差最小,與傳統(tǒng)閾值去噪方法相比,去噪效果有較明顯的提升。 對(duì)于含有較多毛刺、噪聲密集,且數(shù)據(jù)波動(dòng)較大的變形監(jiān)測(cè)信號(hào),本文改進(jìn)閾值函數(shù)對(duì)變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的去噪效果較為理想,能夠保留信號(hào)更多的有效細(xì)節(jié)。

5 結(jié) 論

通過(guò)構(gòu)建改進(jìn)的小波閾值去噪函數(shù),對(duì)模擬的變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)和真實(shí)的變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了去噪處理,結(jié)合圖像分析和評(píng)價(jià)指標(biāo),結(jié)果表明: 改進(jìn)閾值函數(shù)的去噪效果比傳統(tǒng)小波閾值效果更好,信噪比有了較明顯的提升,均方根誤差有較明顯的下降,在變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中有很大的應(yīng)用前景; 對(duì)于噪聲密集,毛刺較多且數(shù)據(jù)波動(dòng)較大的變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),改進(jìn)的閾值函數(shù)能保留信號(hào)較多的有效細(xì)節(jié),去噪以后的信號(hào)能夠體現(xiàn)出建筑物變形的周期性變化,更加接近真實(shí)的數(shù)據(jù),能更好地反映建筑物的沉降變形規(guī)律,給后期的變形預(yù)測(cè)提供了參考; 改進(jìn)的閾值函數(shù)克服了硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性,一定程度上避免了軟閾值函數(shù)存在的恒定偏差問(wèn)題,應(yīng)用于變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)去噪是可行的; 在同一種小波閾值去噪函數(shù)中,不同小波基的去噪效果存在差異,選擇合適的小波基能夠提升去噪效果。