馬龍

【摘要】本文研究了一種幾何構(gòu)圖的相關(guān)性質(zhì)，這種構(gòu)圖由兩個分布在異側(cè)的共底，且面積相等的三角形組成，從兩個三角形的頂點(diǎn)分別作各自外接圓的切線，本文對兩條切線的交點(diǎn)做了很多探索，發(fā)現(xiàn)了這個交點(diǎn)的幾個主要幾何性質(zhì)，并尋找到了技巧性很強(qiáng)的基于幾何變換等相關(guān)構(gòu)造方法的證明.在這幾個性質(zhì)中，兩條切線長度之比是最基本的性質(zhì)，它的證明基于正弦定理，用它可以直接導(dǎo)出一對相似的直角三角形.在兩條切線的交點(diǎn)與兩個三角形構(gòu)成的四邊形的四個頂點(diǎn)的連線中，會形成兩組相似的三角形，很有對稱美感，但它的證明卻不易尋找，本文給出了一種基于位似變換的證明方法.本文最后給出了一道基于這個基本形的奧數(shù)練習(xí)題，并給出這道題基于角度搬運(yùn)的解決方法.本文的這些發(fā)現(xiàn)對初等幾何研究有著很深的理論意義.

【關(guān)鍵詞】共底三角形;等高三角形;外接圓;切線

一、概 述

兩圓相交是平面幾何問題中常見的基本構(gòu)圖，如果從相交兩圓上取一對到公共弦距離相等的點(diǎn)，并從這對點(diǎn)作各自所在的圓的切線交于一點(diǎn)，則這個交點(diǎn)有很多有趣的幾何性質(zhì).這些性質(zhì)的探索和證明過程也用到了很多添加輔助線的技巧，有很美的欣賞價值，對訓(xùn)練解析幾何證明題的技巧也有重要的應(yīng)用價值.

本文論述的基本構(gòu)圖如下：從線段AB向兩側(cè)分別作面積相等的三角形△BAC和△DAB，⊙O1和⊙O2分別是△BAC和△ABD的外接圓，過點(diǎn)C和點(diǎn)D分別作⊙O1和⊙O2的切線交于點(diǎn)P（如圖1所示），本文將給出關(guān)于點(diǎn)P的幾個幾何性質(zhì)和對應(yīng)的證明思路.

二、切線長度性質(zhì)

兩個外接圓在一般情況下不是等圓，在構(gòu)圖中可以看出圓的半徑越大，該圓的切線長度越長，實(shí)際上，切線的長度滿足下面的性質(zhì)：

這個結(jié)論是對推論1的充分應(yīng)用，把對稱點(diǎn)和另外一條切線聯(lián)系到了一起.

五、結(jié) 論

綜上所述，在共底異側(cè)三角形的外接圓頂點(diǎn)切線交點(diǎn)的基本構(gòu)型中，有很多形式并不復(fù)雜的幾何性質(zhì)，但這些性質(zhì)的證明卻不易想到，也涉及了巧妙的構(gòu)造技巧.這一系列的題目對奧數(shù)培訓(xùn)有一定的應(yīng)用價值，也對發(fā)現(xiàn)更多的性質(zhì)有深遠(yuǎn)的理論意義.