姜先亮

數(shù)學(xué)直覺是人腦對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)關(guān)系的“領(lǐng)悟+洞察”，往往產(chǎn)生于經(jīng)驗、觀察、歸納、類比和聯(lián)想，有時以心理學(xué)上的“頓悟”形式出現(xiàn)，是認(rèn)識過程的一種飛躍形式。“經(jīng)驗一觀察”是一種感性概括，“歸納一類比”是一種理性概括，“聯(lián)想”是一種變式概括。這些直覺思維的選擇，是通過“做數(shù)學(xué)”“說數(shù)學(xué)”和“想數(shù)學(xué)”實現(xiàn)的，有助于概念的獲得、保持與遷移，感知概念的本源性和存在性，實現(xiàn)直覺思維目標(biāo)和發(fā)展幾何直觀等關(guān)鍵素養(yǎng)。

本文以“鄉(xiāng)村培育站教師‘演課活動”為載體，以主題“‘菱形概念起始課”為例，展示“直覺目標(biāo)”的實現(xiàn)方式，目的是提升鄉(xiāng)村教師的教學(xué)力和育人力。此次演課活動中，執(zhí)教者都關(guān)注“直覺目標(biāo)”的培養(yǎng)，化“抽象”為“具體”，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

一、感性概括，在“做數(shù)學(xué)”中實現(xiàn)直覺思維目標(biāo)

數(shù)學(xué)概括是直覺思維的表現(xiàn)形式，是“通過對感性材料的分析、綜合、比較、抽象、概括等深度加工”來實現(xiàn)的。感性概括是直覺概括的替代概念，是在直觀基礎(chǔ)上進(jìn)行的一種思維活動，是“直觀的懂”的表現(xiàn)形式。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的描述、說明、舉例都是一種感性概括?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱課標(biāo)）指出，借助幾何直觀可以把復(fù)雜問題變得簡明形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。筆者把直覺思維目標(biāo)理解為“幾何直觀”支配的感性概括。這就要求，教師在教學(xué)設(shè)計層面，基于“幾何直觀”，讓學(xué)生在感性概括中，實現(xiàn)“復(fù)雜問題一簡單問題”“不確定思路一思路的確定性一結(jié)果的正確預(yù)測”，并在直觀“做數(shù)學(xué)”的基礎(chǔ)上，將“抽象”轉(zhuǎn)化為“具體”，將“冰冷思維”轉(zhuǎn)化為“火熱思考”。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的“折紙”“畫圖”都是感性概括的先行組織行為，是“做數(shù)學(xué)”的基本思維方式，有助于直覺思維的選擇和進(jìn)入“知識獲得”的積極思維狀態(tài)。 在“菱形概念”發(fā)生模塊，執(zhí)教者就是基于“感性概括”，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中，感知“事實概念”的本質(zhì)屬性。

具體感性概括過程如下：

師：（多媒體演示）學(xué)校大門、三菱汽車以及生活中的“菱形衣架”，都包含同一個圖形——菱形，今天我們就來學(xué)習(xí)菱形。

設(shè)計意圖：這一設(shè)計有助于學(xué)生直觀感知“菱形的‘長相”，形成直覺思維產(chǎn)生式，體驗數(shù)學(xué)是對生活的感性概括，提升數(shù)學(xué)的感性價值。

師：同學(xué)們，請思考以下問題，并畫出圖形，說明你的思考過程。

問題1：我們是怎樣通過改變一個平行四邊形的內(nèi)角得到矩形的？如何改變一個平行四邊形的邊的數(shù)量關(guān)系，使其成為菱形？

生1：（演示改變“牙膏盒”的截口形狀）有一個角是直角的平行四邊形是矩形。將平行四邊形的一個內(nèi)角變?yōu)?0度，就有“平行四邊形一矩形”。

師：類比矩形概念的發(fā)生過程，那么菱形的原始概念是什么？

學(xué)生通過改變“牙膏盒截口”形狀，即改變平行四邊形的一組“鄰邊”的數(shù)量關(guān)系，使得一組鄰邊呈現(xiàn)“相等”的樣態(tài)。學(xué)生在感性概括的基礎(chǔ)上，抽象出菱形概念的本質(zhì)屬性，即有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

設(shè)計意圖：動態(tài)演示，旨在讓學(xué)生基于觀察學(xué)習(xí)，直觀感知菱形的形象，形成感性概括的心理基礎(chǔ);改變“牙膏盒截口形狀”是“做數(shù)學(xué)”行為，有助于學(xué)生直覺層面的感性概括，感受產(chǎn)生“鄰邊相等”是平行四邊形轉(zhuǎn)化為菱形的思維條件。

心理學(xué)研究表明，人的學(xué)習(xí)83%通過視覺，11%通過聽覺。這就是執(zhí)教者借助“實物”及其“圖片”，在“做數(shù)學(xué)”直覺參與下，讓概念在感性概括中發(fā)生的本體意義。

二、理性概括，在“說數(shù)學(xué)”中實現(xiàn)直覺思維目標(biāo)

理性概括起于“幾何直觀”，終于“直覺思維目標(biāo)”的具體實現(xiàn)。在課標(biāo)看來，幾何直觀可以幫助學(xué)生“直觀地”理解數(shù)學(xué)，“數(shù)學(xué)地”認(rèn)識直觀思維，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著不可替代的作用。幾何直觀之所以重要，是因為它能為數(shù)學(xué)抽象準(zhǔn)備思維經(jīng)驗，能為理性概括提供思維模型。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的“歸納、概括、總結(jié)”都是直觀思維支配下的一種理性概括，是通過“說數(shù)學(xué)”的理性形式展現(xiàn)的，有助于學(xué)生將“感性思維”上升到“理性思維”，將“感性概括”上升到“理性概括”，進(jìn)而發(fā)展理性直覺。就這一認(rèn)識來說，理性概括是一種高級形式的思維概括，它揭示的是一般因素（菱形具備平行四邊形的所有性質(zhì)）和本質(zhì)因素（菱形的四邊相等，對角線垂直），是直覺思維水平的概括。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，理性概括表現(xiàn)在三個方面：一是在比較歸納中理性概括，揭示數(shù)學(xué)對象的本質(zhì);二是使用概念規(guī)則的正例，傳遞了理性概括的直覺信息;三是反例的使用，傳遞了辨別的理性概括信息。

在“菱形性質(zhì)”形成模塊，執(zhí)教者就是基于“理性概括”，讓學(xué)生在“說數(shù)學(xué)”中體驗直覺思維目標(biāo)的運(yùn)動過程，感知菱形性質(zhì)的特殊與一般，以及合情合理的微言大義。

具體理性概括過程如下：

師：請同學(xué)們在畫圖、度量的基礎(chǔ)上，填寫思維關(guān)系量表（關(guān)于平行四邊形和菱形的對稱性，邊、角、對角線的性質(zhì)及對比，表略）。

學(xué)生在操作的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了理性概括，達(dá)成思維共識：菱形的四條邊相等、菱形的對角線互相垂直平分等特殊性質(zhì)。

設(shè)計意圖：填表旨在讓學(xué)生基于平行四邊形的一般性，認(rèn)識菱形的特殊性，有助于理性概括信息的傳遞與辨別，另外，填表本身具有幾何直觀的功能，是一種直覺思維的運(yùn)動形式，有助于學(xué)生在“比較+歸納”中獲得菱形性質(zhì)的純粹性和合理性。

師：請以“組”為單位，討論以下問題。

問題2：菱形有哪些性質(zhì)？為什么？菱形的面積如何求？在矩形、菱形和平行四邊中，哪些性質(zhì)是菱形特有的？

在交流的基礎(chǔ)上，學(xué)生達(dá)成了思維共識，即“個體經(jīng)驗一事實經(jīng)驗一客觀經(jīng)驗”。因為菱形是平行四邊形，所以具有平行四邊形的一切性質(zhì);證明給出了“菱形的四條邊相等”“菱形的對角線垂直”的理性結(jié)論;因為垂直平分是軸對稱性，所以菱形的對稱軸是對角線所在的直線;菱形中的四個三角形全等，所以菱形的面積可以是四個三角形面積的和，可以是兩個三角形面積的和，可以是底×高;在矩形、菱形和平行四邊形中，“四條邊相等”“對角線垂直”是菱形特有的性質(zhì)。

設(shè)計意圖：“說數(shù)學(xué)”是教師上好數(shù)學(xué)課的有效形式，是學(xué)生學(xué)會合作的思維反映，能讓學(xué)生在思維互助中獲得“不可能”的“可能”發(fā)展。對菱形一般性質(zhì)和特殊性質(zhì)的猜想、歸納、比較、概括，有助于學(xué)生形成思維的理性概括，形成概念以及直覺思維目標(biāo)的領(lǐng)悟。

在認(rèn)知心理學(xué)看來，人一般可記住自己閱讀的10%，聽到的20%，看到的30%，交談時自己說到的70%。這就是“說數(shù)學(xué)”開展的本質(zhì)依據(jù)，能讓學(xué)生在“無序說一有序說”中獲得理性概括的經(jīng)驗，能讓學(xué)生在理性概括中“捕捉”直覺思維的“從天而降”。

三、變式概括，在“想數(shù)學(xué)”中實現(xiàn)直覺思維目標(biāo)

變式概括是心智發(fā)展的思維“觸發(fā)器”，是“想數(shù)學(xué)”的思維前提，是提出問題的思維“發(fā)動機(jī)”，是直覺思維目標(biāo)實現(xiàn)的心理基礎(chǔ)。在發(fā)展核心素養(yǎng)背景下，變式概括就是利用不同形式的直觀材料或事例說明事物的本質(zhì)屬性，即變換同類事物的非本質(zhì)特征，以便突出事物的本質(zhì)特征。數(shù)學(xué)教學(xué)中的“平移、旋轉(zhuǎn)、翻折”變換都是變式概括的思維通道，有助于學(xué)生在聯(lián)想中把握概念對象的本質(zhì)。當(dāng)然，變式概括離不開幾何直觀，“數(shù)學(xué)地聯(lián)想”是以幾何直觀為思維動力，能讓學(xué)生基于“直觀印象”，在“想數(shù)學(xué)”的幫助下，獲得變式概括的經(jīng)驗。教師將教材中的基本圖形“正放”，變?yōu)椤靶狈拧被颉暗狗拧?，就是變式概括的常見方法，是幾何直觀的思維升級。換句話說，幾何直觀是指借助于見到的或想象出來的幾何圖形的形象關(guān)系，對數(shù)學(xué)研究對象（即空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力。這種能力來自變式概括，來自“數(shù)學(xué)地聯(lián)想”，是通過“想數(shù)學(xué)”實現(xiàn)的。

在“菱形”概念使用模塊，執(zhí)教者就是基于“變式概括”，讓學(xué)生在“想數(shù)學(xué)”中直接把握直覺思維目標(biāo)。

具體的變式概括思維訓(xùn)練如下一

基本問題：已知菱形的兩條對角線分別是6cm和8cm，求菱形的周長和面積。

數(shù)學(xué)變式1：如果菱形的面積為24cm2，其中一條對角線是6cm，則另一條對角線是多少？如果菱形的一個內(nèi)角是60度，邊長為5cm，則菱形的面積是多少？

設(shè)計意圖：基本問題的設(shè)置是讓學(xué)生在問題中領(lǐng)悟菱形的“特有性質(zhì)”以及落實面積求法的思想體系;數(shù)學(xué)變式1是變式概括的一般形式，能讓學(xué)生在概括運(yùn)算中，把握直覺思維的認(rèn)知目標(biāo)，體驗“想數(shù)學(xué)”的本質(zhì)就是變式概括，是思維內(nèi)控的運(yùn)動形式。

數(shù)學(xué)變式2：利用數(shù)字和圖形，探索圖形的基本性質(zhì)。如圖1，木制活動衣帽架由3個全等的菱形構(gòu)成，在A、E、F、C、G、H處安裝上、下兩排掛鉤，可以根據(jù)需要改變掛鉤間的距離，并在BM處固定。已知菱形ABCD的邊長為13cm，要使兩排掛鉤間的距離AC為24cm，求B、MZ間的距離。

設(shè)計意圖：設(shè)置本題的目的指向“數(shù)學(xué)服務(wù)于生活目標(biāo)”，以提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實用價值。就問題本質(zhì)來說，一方面能讓學(xué)生在問題解決中體驗將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單，將抽象轉(zhuǎn)化為具體的變式思想，落實“學(xué)”為“用”讓步。另一方面，“衣架問題”本身就是一種幾何直觀支配下的變式概括，能讓學(xué)生在“數(shù)學(xué)地想數(shù)學(xué)”中，獲得對概念的正遷移和認(rèn)知智慧的形成。 （作者單位：江蘇省連云港市海州區(qū)教育局）