董云芬，王 波，張盈盈，宮 萌，王 斌

（中科院南京天文儀器有限公司，江蘇 南京 210000）

引言

天文光學(xué)望遠(yuǎn)鏡是觀測(cè)天體的重要儀器之一，大視場(chǎng)、低成本、高性能天文望遠(yuǎn)鏡是當(dāng)前研究和開發(fā)的熱點(diǎn)[1-2]。按照物鏡的種類，可將望遠(yuǎn)鏡光學(xué)系統(tǒng)分為3 類：折射系統(tǒng)、反射系統(tǒng)、折反系統(tǒng)。大口徑、大相對(duì)孔徑的折射系統(tǒng)需要不同折射率的玻璃搭配成消色差系統(tǒng)，為了消除殘余球差，還需引入非球面，且折射系統(tǒng)的透鏡材料及加工費(fèi)用都很高，因此價(jià)格也十分昂貴。反射式望遠(yuǎn)鏡在天文望遠(yuǎn)鏡中應(yīng)用十分廣泛[3]，常用的有牛頓系統(tǒng)、卡塞格林系統(tǒng)、格里高利系統(tǒng)等，此類反射系統(tǒng)，對(duì)軸外像差校正能力較弱，視場(chǎng)角較小，一般小于±1°，不能滿足大視場(chǎng)望遠(yuǎn)鏡的需求[4-5]。折反射望遠(yuǎn)鏡以球面鏡為基礎(chǔ)，加入適當(dāng)?shù)恼凵湓?，用來矯正軸外球差，可取得良好的光學(xué)質(zhì)量[6]。

施密特系統(tǒng)具有視場(chǎng)大、像質(zhì)好等優(yōu)點(diǎn)，是應(yīng)用最廣泛的折反射系統(tǒng)之一[7]。1931年德國(guó)科學(xué)家施密特發(fā)明了施密特系統(tǒng)，系統(tǒng)由球面反射鏡和一塊接近平行平板的非球面矯正鏡組成，矯正鏡位于球面鏡球心附近。非球面的面形能夠使中央光束略有匯聚，而邊緣光束略有發(fā)散。矯正板放在球面反射鏡的球心，這樣能使整個(gè)系統(tǒng)的球差得到很好的矯正，且主鏡不產(chǎn)生彗差、像散和畸變，僅有場(chǎng)曲[8]。但是，折反式施密特系統(tǒng)不能目視，在科普天文望遠(yuǎn)鏡中甚少使用。我國(guó)自主研制的大口徑大視場(chǎng)LAMOST 望遠(yuǎn)鏡屬于反射式施密特系統(tǒng)，安置于國(guó)家天文臺(tái)興隆觀測(cè)站，該系統(tǒng)由4 m 口徑的非球面主反射鏡和球面鏡組成[7]。上海技術(shù)物理研究所的雷存棟提出了離軸全反射施密特系統(tǒng)[9]，該系統(tǒng)由離軸非球面主鏡和球面鏡組成，非球面鏡位于球面鏡球心，系統(tǒng)筒長(zhǎng)較長(zhǎng)，離軸非球面也比較難加工，對(duì)于低成本的天文望遠(yuǎn)鏡也很少使用。

在現(xiàn)有施密特系統(tǒng)基礎(chǔ)上，本文研究了反射式施密特系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法，推導(dǎo)出斜入射反射式施密特矯正板方程，計(jì)算出施密特矯正板初始結(jié)構(gòu)參數(shù)，在光路中插入折轉(zhuǎn)反射鏡，完成了反射式施密特系統(tǒng)設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)的系統(tǒng)縮短了鏡筒尺寸，使焦面位于系統(tǒng)外部，具有體積小、加工成本低、成像質(zhì)量好等優(yōu)點(diǎn)。

1 施密特矯正板理論計(jì)算

首先考慮光束正入射情況。假定平行光束垂直入射施密特校正板，如圖1所示。此時(shí)施密特校正板方程為

圖1 光線垂直入射施密特校正板示意圖Fig.1 Schematic diagram of Schmidt correction plate with vertical light incident

式中：x為施密特矯正板的失高；y為光線高度；A、B、C、D為施密特矯正板特征參數(shù)。

我們的主要任務(wù)是求出施密特矯正板特征參數(shù)，得出施密特矯正板方程。方程級(jí)次取多少，要看像差矯正情況，不是越多越好，級(jí)次越多檢測(cè)光路計(jì)算也越麻煩[10]。在像差理論基礎(chǔ)上求解系數(shù)的原則是：首先取定yn帶，見圖1所示，計(jì)算出這個(gè)高度的焦點(diǎn)F，再?gòu)腇 點(diǎn)出發(fā)反追跡幾條光線，求出經(jīng)過球面反射鏡后的u′角以及在施密特矯正板上的高度y。如果通過校正板后所有的光線都平行于光軸出射，因此校正板上各個(gè)高度處的斜率dx/dy和u′有 一定的關(guān)系，即 dx/dy=u′/2。

根據(jù)非球面方程的特性，系數(shù)A與矯正板頂點(diǎn)曲率半徑的關(guān)系式是R0=1/2A，R0的值使近軸光經(jīng)過校正板反射和球面鏡反射后聚焦到F點(diǎn)，如果R0=∞，則近軸光應(yīng)聚焦到r/2 處，r是球面反射鏡的曲率半徑，R0是校正板的頂點(diǎn)曲率半徑。

對(duì)于取定的yn，有[9]：

對(duì)于任意帶，有：

為使近軸區(qū)的光匯聚到F點(diǎn)，即離球面鏡頂點(diǎn)為fn，可求出二次項(xiàng)系數(shù)

若級(jí)數(shù)取到8 次方為止，（1）式兩邊對(duì)y求倒，則斜率方程可寫為

dx/dy=u′/2

當(dāng)出射光線與光軸平行時(shí)，，故有：

其中

根據(jù)（6）式列方程組求解系數(shù)B、C、D時(shí)，y由（7）式求出。

反射式施密特系統(tǒng)沒有色差問題[10]，考慮到方便加工，yn帶可選在0.707ymax處，即hn=0.707ymax。實(shí)際上正入射的反射式施密特系統(tǒng)沒有實(shí)際意義，只有將矯正板傾斜一個(gè)角度 α，才能使球面鏡不會(huì)遮擋入射光，α的取值由相對(duì)口徑?jīng)Q定。

假設(shè)施密特矯正板與光軸的傾斜角度是 α，如圖2所示。

圖2 光線斜入射施密特矯正板示意圖Fig.2 Schematic diagram of Schmidt correction plate with oblique light incident

由于傾斜的存在需引入弧矢方向坐標(biāo)z2項(xiàng)，y=y′cosα，y′為傾斜時(shí)高度，此時(shí)斜入射施密特校正板方程可寫為

由（8）式可知，斜放置的施密特矯正板只對(duì)零視場(chǎng)光束很好成像，對(duì)軸外視場(chǎng)則發(fā)生變化，設(shè)零視場(chǎng)通光口徑為?0，經(jīng)矯正板反射后的口徑為?0=?cosα ，而 -ω視場(chǎng)的光束反射后的口徑為?-=?cos(α+ω)；+ω視場(chǎng)的光束反射后的口徑?+=?×cos(α-ω)；由此可得出：?+＞?0，?-＜?0，即投射到球面反射鏡上的光束變成橢圓。矯正板對(duì)于 ?0口徑所產(chǎn)生的光線偏斜正好抵消球面鏡的球差，對(duì)于 ?+口 徑就成為欠矯正，對(duì)于 ?-則為過矯正，因此像面有場(chǎng)曲，位于像面的目標(biāo)接收器需調(diào)焦，使軸上和軸外彌散斑相對(duì)均勻。

2 大視場(chǎng)反射式施密特系統(tǒng)設(shè)計(jì)與性能評(píng)價(jià)

光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)首先要考慮的原則：在外形尺寸、質(zhì)量以及經(jīng)費(fèi)允許的情況下盡可能提高成像質(zhì)量；綜合考慮光學(xué)設(shè)計(jì)指標(biāo)，光學(xué)系統(tǒng)的使用環(huán)境，現(xiàn)有的加工、檢測(cè)、裝調(diào)條件；另外，在設(shè)計(jì)過程中要兼顧技術(shù)發(fā)展現(xiàn)狀[11-12]。

本文研究的大視場(chǎng)施密特系統(tǒng)的設(shè)計(jì)指標(biāo)如下：系統(tǒng)焦距為f=1 700 mm，視場(chǎng)角 2ω=4?，有效通光口徑400 mm。根據(jù)系統(tǒng)焦距f=1 700 mm，設(shè)定球面反射鏡的曲率半徑r=3 400 mm，施密特矯正板頂點(diǎn)曲率半徑R0=∞，綜合考慮施密特系統(tǒng)的視場(chǎng)角和有效通光口徑，選取施密特矯正板傾斜角α =8?。對(duì)于口徑400 mm，頂點(diǎn)曲率半徑3 400 mm的球面反射鏡，由球差公式可求出fn=1 698.03 mm，代入公式（4）中可求出二次項(xiàng)系數(shù)A=-1.7×10-7。

式解方程組可求出，4 次項(xiàng)系數(shù)B=5.5×10-12，6 次項(xiàng)系數(shù)C=2×10-16，8 次項(xiàng)系數(shù)D=-7×10-20。

由（7）式可求出傾斜后的施密特矯正板多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)，以正入射的各項(xiàng)系數(shù)為初始結(jié)構(gòu)，代入Zemax 中進(jìn)行優(yōu)化，為了使結(jié)構(gòu)更加緊湊，加入平面鏡折轉(zhuǎn)光路，最終設(shè)計(jì)參數(shù)如表1所示。

表1 大視場(chǎng)施密特光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)Table1 Design parameters of large field Schmidt optical system

矯正板非球面系數(shù)中，2 次項(xiàng)系數(shù)A=-1.70×10-7，4 次項(xiàng)系數(shù)B=3.112×10-12，6次項(xiàng)系數(shù)C=4.177×10-19，8 次項(xiàng)系數(shù)D=-1.662×10-25。

施密特矯正板方程為

由表1可知，像面位于平面折轉(zhuǎn)鏡背部47.8 mm處，像面場(chǎng)曲半徑為1 700 mm，置于焦面處的探測(cè)器需要傾斜調(diào)焦，以使軸上軸外彌散斑相對(duì)均勻。光學(xué)系統(tǒng)由施密特矯正板、平面折轉(zhuǎn)鏡、球面鏡組成，反射鏡材料均為微晶玻璃，光路結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)光路圖Fig.3 Optical path diagram of system

光學(xué)系統(tǒng)MTF 圖如圖4所示。從圖4可看出設(shè)計(jì)結(jié)果基本接近衍射極限。

圖4 MTF 圖Fig.4 FFT MTF diagram

光學(xué)系統(tǒng)的加工裝調(diào)誤差以及使用環(huán)境溫度變化均會(huì)對(duì)成像質(zhì)量造成一定影響，因此，設(shè)計(jì)階段對(duì)光學(xué)系統(tǒng)做公差分析十分必要。結(jié)合現(xiàn)有的加工裝調(diào)技術(shù)，公差分配如表2所示。

表2 大視場(chǎng)施密特光學(xué)系統(tǒng)公差分配Table2 Tolerance data of large field Schmidt optical system

把上述公差代入Zemax 軟件，以MTF 作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，利用靈敏度分析模型進(jìn)行分析，經(jīng)分析誤差疊加后的MTF 為0.402（100 lp/mm 處），滿足一般成像系統(tǒng)的像質(zhì)要求。對(duì)于該系統(tǒng)，環(huán)境溫度變化主要通過影響鏡間距影響成像質(zhì)量，3 個(gè)反射鏡之間的支撐結(jié)構(gòu)采用碳纖維，碳纖維的熱膨脹系數(shù)為0.3×10-6/k，在-20 ℃～30 ℃溫度范圍內(nèi)鏡間距變化量為±0.2 mm，采用碳纖維做支撐結(jié)構(gòu)能滿足系統(tǒng)的公差要求。

3 反射式施密特矯正板的加工及檢測(cè)

反射式施密特矯正板屬于高次非球面，面形精度要求較高，加工制造過程需經(jīng)過多個(gè)“加工-檢測(cè)-加工”循環(huán)完成[13]。在非球面的高精度制造過程中，高精度檢測(cè)手段為加工過程提供準(zhǔn)確的面形誤差分布，指導(dǎo)加工，為獲得高精度的面形提供保障[14]。

加工施密特矯正板的第1 步是：找出合理的起始球面，并用磨盤磨至起始球面；第2 步：根據(jù)三坐標(biāo)測(cè)量的面形數(shù)據(jù)，通過計(jì)算機(jī)控制小磨頭，按照確定的加工軌跡對(duì)非球面光學(xué)表面進(jìn)行研磨或拋光，通過控制磨頭在工件表面的駐留時(shí)間、磨頭與工件間的相對(duì)壓力以及磨頭的轉(zhuǎn)速來控制材料的去除量[15]；第3 步：建立補(bǔ)償器檢測(cè)光路，激光測(cè)距儀控制檢測(cè)光路各元件之間的間距，干涉儀測(cè)量面形，通過檢測(cè)與加工過程的反復(fù)迭代，實(shí)現(xiàn)非球面面形誤差逐漸收斂修正，直到滿足要求。

高次非球面的檢驗(yàn)一直是光學(xué)加工中的一個(gè)難題，穩(wěn)定高效的非球面檢測(cè)手段是光學(xué)加工的關(guān)鍵環(huán)節(jié)[13]。常用的高次非球面反射鏡檢測(cè)方法是零位補(bǔ)償法檢測(cè)，補(bǔ)償元件可以是透鏡或者計(jì)算全息，在實(shí)際應(yīng)用過程中，絕對(duì)零位條件是不存在的，如果檢測(cè)光路的殘余像差對(duì)檢測(cè)結(jié)果精度的影響可以忽略不計(jì)，那么非零位檢測(cè)就可以等效成零位檢測(cè)。本文的施密特矯正板最大修磨量?jī)H為0.005 mm，通過特殊定制的球面透鏡結(jié)合干涉儀即可完成該非球面的檢測(cè)，檢測(cè)原理圖如圖5所示，檢測(cè)光路的殘余像差如圖6所示，殘留波像差RMS 為0.000 2 μm，殘留像差很小，可以等效為零位檢測(cè)。

圖5 施密特矯正板檢測(cè)原理圖Fig.5 Schematic diagram of Schmidt correction plate detection

圖6 殘余波前誤差Fig.6 Residual wavefront error

4 結(jié)論

基于像差平衡原理由正入射施密特矯正板方程推導(dǎo)出斜入射施密特矯正板方程，提出了大視場(chǎng)反射式施密特系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，針對(duì)焦距1 700 mm，F(xiàn) 數(shù)為4.25，波段為0.3 μm～0.9 μm，成像視場(chǎng)角4°的光學(xué)系統(tǒng)需求，完成了反射式施密特光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)，該系統(tǒng)在奈奎斯特頻率處的調(diào)制傳遞函數(shù)MTF 大于0.35，畸變小于2.5%，成像質(zhì)量達(dá)到了衍射極限，經(jīng)過公差分析，系統(tǒng)滿足成像要求。

設(shè)計(jì)過程中兼顧了技術(shù)可實(shí)現(xiàn)性及技術(shù)發(fā)展的先進(jìn)性，優(yōu)化設(shè)計(jì)后施密特校正板與最近球面偏差為0.005 mm，采用定制的補(bǔ)償器結(jié)合干涉儀可完成面形高精度檢測(cè)，避免了高次非球面檢測(cè)的難題，能夠有效指導(dǎo)施密特矯正板的加工過程。反射式施密特系統(tǒng)成像波段寬，克服了透射式光學(xué)系統(tǒng)在大視場(chǎng)下的多波段像差矯正帶來的色差問題，光學(xué)元件加工成本低且成像質(zhì)量高，因而具有其他光學(xué)系統(tǒng)無法取代的優(yōu)勢(shì)。

由于斜置的施密特矯正板只對(duì)零視場(chǎng)光束很好成像，對(duì)于軸外視場(chǎng)則有一定的像面彎曲，因此反射式施密特系統(tǒng)對(duì)于場(chǎng)曲畸變要求較高的系統(tǒng)有局限，需進(jìn)一步研究。