王賀元, 李 佳, 王美玉, 宋斯琦, 王曉帆, 曹婷婷

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

0 引 言

刻畫流體運(yùn)動(dòng)的Navier-Stokes方程是經(jīng)典的非線性偏微分方程,研究其解的性態(tài)有助于認(rèn)識(shí)湍流的生成機(jī)理。探討其解的穩(wěn)定性及分岔問題是近些年人們普遍關(guān)注的焦點(diǎn),吸引眾多學(xué)者對其進(jìn)行了廣泛的研究。自混沌之父Lorenz[9]給出著名的Lorenz系統(tǒng)以來,采用降維方法討論無窮維動(dòng)力系統(tǒng)方面的工作層出不窮[1-8]。Valter Francechini科研團(tuán)隊(duì)將如下的Navier-Stokes方程

其中:u為速度場;f為外力;p為流體壓強(qiáng);ν為動(dòng)力粘性系數(shù)。

在平面規(guī)則區(qū)域上進(jìn)行有限維約化,獲得了一些有限維的動(dòng)力系統(tǒng)[1-4]。基于二維區(qū)域上的這種約化方法,Franceschini等[7]討論了三維區(qū)域上的Navier-Stokes方程,獲得了空間區(qū)域上的五模系統(tǒng),后來又陸續(xù)得到了七模、十四模等有限維動(dòng)力系統(tǒng),并且探討了這些有限維系統(tǒng)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)性態(tài)[3]。

本文將約化二維區(qū)域上不可壓縮Navier-Stokes方程,獲得新五維類Lorenz系統(tǒng),探討系統(tǒng)吸引子的存在性,并進(jìn)行全局穩(wěn)定性分析,對系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行數(shù)值仿真。

1 Navier-Stokes方程的約化及類Lorenz系統(tǒng)的穩(wěn)定性

對平面區(qū)域[0,2π]×[0,2π]上Navier-Stokes方程進(jìn)行有限維約化,把速度場u,外力f,壓強(qiáng)p展開為如下傅氏級數(shù):

其中:ν為動(dòng)力黏度系數(shù);L為波向量集合,并且有若K∈L則-K∈L。

在ν=1時(shí)分別令K為K1,K2,K3,K4,K5,代入到方程組(7)經(jīng)大量計(jì)算,得到如下方程組:

基于奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的線性穩(wěn)定性分析可以討論非線性系統(tǒng)解的性態(tài),這就是Liapunov第一方法[5]。Liapunov矩陣的特征指數(shù)是指Jacobi矩陣特征值的實(shí)部,它能較好地刻畫吸引子的性質(zhì)?；谄纥c(diǎn)的Liapunov矩陣的特征指數(shù)可以分析和討論奇點(diǎn)的穩(wěn)定性。

令

對F(X,r)求導(dǎo)數(shù)得到

由F(X,r)=0求出奇點(diǎn),依據(jù)Liapunov矩陣的特征指數(shù)符號(hào)判別各奇點(diǎn)的穩(wěn)定性:

對于奇點(diǎn)(1)(2)(3),由于Jacobi矩陣特征值的變化而失去穩(wěn)定性,奇點(diǎn)(4)(5)(6)(7)在r<9.737…的范圍內(nèi)始終是穩(wěn)定的。

2 吸引子的存在性

非線性方程解的性態(tài)是極其復(fù)雜的,一般無法通過簡單的推導(dǎo)和運(yùn)算來獲得。近年來,基于Sniale等的思想[8],耗散系統(tǒng)的混沌行為是由于存在混沌吸引子引起的,而混沌吸引子是系統(tǒng)所有軌道的長時(shí)間行為?；煦缥拥膹?fù)雜結(jié)構(gòu)是導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象的原因。所以,探討吸引子的存在性就顯得尤為重要。下面討論系統(tǒng)(9)吸引子的存在性。

對系統(tǒng)(9)進(jìn)行運(yùn)算

(a)×r1+(b)×r2+(c)×r3+(d)×r4+(e)×r5得:

因此有

取ε=2,得

因此有

故有

當(dāng)ρ充分大時(shí),B(0,ρ)是吸引集和泛函不變集,因此存在全局吸引子。

3 全局穩(wěn)定性

如果具有全局穩(wěn)定性,系統(tǒng)的軌線所收斂的單連通閉區(qū)域稱為系統(tǒng)的捕捉區(qū)。如果能證明捕捉區(qū)存在,也就表明無論奇點(diǎn)是否穩(wěn)定,系統(tǒng)永遠(yuǎn)是全局穩(wěn)定的?；贚iapunov第二方法[5],構(gòu)造V函數(shù)討論系統(tǒng)(9)的穩(wěn)定性。

對系統(tǒng)(9)構(gòu)造Liapunov函數(shù):

令V(r1,r2,r3,r4,r5)=K,很明顯,當(dāng)K是一正常數(shù)時(shí),上式表示一球面,記為E。

求V的導(dǎo)數(shù):

由式(14)可知:

4 數(shù)值仿真

隨參數(shù)r的變化,系統(tǒng)(9)的穩(wěn)定性將發(fā)生改變, 將出現(xiàn)分叉和混沌等現(xiàn)象。如下圖形均取x1,x2,x5這3個(gè)分量,其他分量可類似討論.

1) 當(dāng)r<8.3…時(shí),軌道是穩(wěn)定的螺旋線,環(huán)繞一點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn),并且螺旋線越來越密集,最后變成極限環(huán);當(dāng)r>9.49…時(shí),極限環(huán)失穩(wěn),分岔出新軌線,與原軌線形狀相似,且與原軌線形成交叉環(huán)(圖4)。這種現(xiàn)象和文獻(xiàn)[1]中的r=28.6時(shí)是類似的。這種雙軌道的情況不會(huì)立即消失,在r某一變化范圍內(nèi)存在。

圖1 (r=8.1)螺旋線Fig.1 (r=8.1)spiral

圖2 (r=8.3)收縮的螺旋線Fig.2 (r=8.3)contractile spiral

圖3 (r=8.34)極限環(huán)Fig.3 (r=8.34)limit cycle

圖4 (r=9.49)雙螺旋軌道Fig.4 (r=9.49)double helix orbit

2) 當(dāng)r=9.52…時(shí),環(huán)形軌線出現(xiàn)新分支,環(huán)繞另一奇點(diǎn)旋轉(zhuǎn)(圖5)。從這以后環(huán)形軌線繞2個(gè)奇點(diǎn)來回環(huán)繞,產(chǎn)生奇怪吸引子。圖6、圖7、圖8刻畫了不同參數(shù)下奇怪吸引子的形態(tài)。

圖5 (r=9.52)雙螺旋軌道Fig.5 (r=9.52)double helix orbit

圖6 (r=9.737)奇怪吸引子Fig.6 (r=9.737)strange atractor

圖7 (r=9.809)奇怪吸引子Fig.7 (r=9.809)strange atractor

圖8 (r=9.85)過渡軌線Fig.8 (r=9.85)transition trajectory

3) 當(dāng)r=9.9…時(shí),奇怪吸引子變?yōu)?個(gè)交叉極限環(huán)(圖9和圖10),以后保持這種狀態(tài)很長一端時(shí)間,然后軌線逐漸演變?yōu)榄h(huán)面(圖11和圖12)。

圖9 (r=9.9)極限環(huán)Fig.9 (r=9.9)limit cycle

圖10 (r=12)極限環(huán)Fig.10 (r=12)limit cycle

圖11 (r=49)環(huán)面Fig.11 (r=49)torus

圖12 (r=105)環(huán)面Fig.12 (r=105)torus

以上的仿真分析也進(jìn)一步證實(shí)了混沌運(yùn)動(dòng)是確定性和隨機(jī)性的對立統(tǒng)一,表明了它對初始狀態(tài)的敏感依賴性。以上是無窮維系統(tǒng)有限維約化的一個(gè)簡單例子,有興趣的讀者可進(jìn)一步參考有關(guān)文獻(xiàn)[11-15]。

5 結(jié) 論

本文對平面正方形區(qū)域上不可壓縮Navier-Stokes方程進(jìn)行有限維約化,得到新五維類Lorenz系統(tǒng),通過穩(wěn)定性分析和數(shù)值仿真,揭示了系統(tǒng)解的動(dòng)力學(xué)行為。新約化模式及系統(tǒng)混沌行為的仿真具有一定的實(shí)際意義。