王曉晨，馮夏維，徐 冬，楊 荃，孫薊泉

1) 北京科技大學(xué)工程技術(shù)研究院，北京 100083 2) 北京科技大學(xué)國(guó)家板帶生產(chǎn)先進(jìn)裝備工程技術(shù)研究中心，北京 100083 3) 機(jī)械工業(yè)儀器儀表綜合技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究所，北京 100055

硅鋼疊片常見(jiàn)于電機(jī)鐵芯，是一種要求極高疊片率的功能性產(chǎn)品.由于寬板軋制時(shí)的邊降現(xiàn)象，會(huì)降低硅鋼疊片率及增加層間渦流損失.需要在全連續(xù)5機(jī)架六輥軋機(jī)軋制硅鋼薄帶過(guò)程中，新加入錐形工作輥竄輥功能，從而減小邊降、改善疊片率[1?2].因此需要研究新加入的竄輥功能對(duì)邊降的調(diào)控功效.對(duì)于寬厚比超過(guò)500∶1的寬板軋制過(guò)程，對(duì)其進(jìn)行有限元方法仿真計(jì)算時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，多為單機(jī)架模擬[3].但是可以利用有限元揭示某一物理現(xiàn)象，提高解析模型精度.例如，Lee等[4]通過(guò)有限元方法研究了熱連軋軋后屈服現(xiàn)象，揭示了機(jī)架間金屬流動(dòng)減小了帶鋼同板差，并對(duì)解析模型進(jìn)行了補(bǔ)充，同生產(chǎn)數(shù)據(jù)比較，提高了解析模型的精度.本文利用有限元方法的橫向流動(dòng)理論，提高Pawelski解析模型[5?6]計(jì)算精度，并加入機(jī)架間軋后屈服模型，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)機(jī)架連續(xù)計(jì)算.通過(guò)工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證模型精度，經(jīng)討論分析提出竄輥邊降調(diào)控功效系數(shù)，以期為工業(yè)實(shí)踐提供理論依據(jù).

1 工作輥竄輥邊降調(diào)控功效系數(shù)

帶鋼邊降的產(chǎn)生是由于帶鋼在邊部的三維橫向流動(dòng)、工作輥彈性壓扁、輥系彎矩和機(jī)架間變形共同造成的.然而三維橫向流動(dòng)為帶鋼的固有屬性[7?8]，因此只能通過(guò)控制錐形工作輥軸向竄動(dòng)，以補(bǔ)償工作輥彈性壓扁，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)帶鋼邊降的自動(dòng)控制.目前邊降自動(dòng)控制系統(tǒng)，都是測(cè)量末機(jī)架出口帶鋼邊部1個(gè)特征點(diǎn)附近（距邊部15～40 mm）的邊降值作為控制依據(jù)，然后乘以調(diào)控功效系數(shù)，得到上游三個(gè)機(jī)架的工作輥竄輥增量.然而實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)結(jié)果顯示，只考慮單一特征點(diǎn)無(wú)法表征整個(gè)邊降區(qū)狀況，容易造成邊部局部高點(diǎn)，內(nèi)部邊降無(wú)改善，如圖1所示，圖中 ΔED為各點(diǎn)邊降偏差值，K為功效系數(shù)矩陣，ΔS為各機(jī)架工作輥竄輥增量.為了揭示上游機(jī)架工作輥竄輥對(duì)下游機(jī)架出口的調(diào)控功效，需要建立高效的帶鋼－輥系－機(jī)架間變形耦合模型，實(shí)現(xiàn)多機(jī)架連續(xù)計(jì)算，從而為工業(yè)生產(chǎn)提供理論支撐.

2 冷連軋過(guò)程金屬變形分析

金屬既在軋制區(qū)存在三維橫向流動(dòng)[7]，在機(jī)架間也存在顯著的三維流動(dòng)[4].輥縫中橫向流動(dòng)會(huì)造成邊部區(qū)域延伸率小于中部，加劇了機(jī)架間塑性流動(dòng)，并造成機(jī)架間張力變化，兩者相互耦合.

2.1 軋制區(qū)內(nèi)金屬流動(dòng)模型

圖1 邊降自動(dòng)控制系統(tǒng)（a）和工作輥竄輥調(diào)控功效系數(shù)（b）Fig.1 Schematic of edge drop control system (a) and schematic showing the effectiveness of tapered work roll shifting (b)

Pawelski等認(rèn)為薄帶鋼在軋制區(qū)內(nèi)各條元之間互不影響，直接使用卡爾曼微分方程求解寬度方向各條元位置軋制力，論證了其在低碳鋼小凸度和負(fù)凸度軋制時(shí)的適用性.若將邊降區(qū)橫向流動(dòng)視為純剪切，引入軋輥彈性變形?軋件彈塑性變形有限元模型計(jì)算所得的橫向流動(dòng)因子[9]，則既可以避免三維全解析差分模型收斂性問(wèn)題[10]，也能構(gòu)建輥縫內(nèi)三維金屬流動(dòng)的解析模型.因此可以借助如下假設(shè)條件簡(jiǎn)化模型：軋制區(qū)內(nèi)沿寬度方向分條元，各條元之間互相不影響，中部為平面應(yīng)變狀態(tài)，邊部考慮三維變形；邊部各條元的橫向流動(dòng)由帶鋼表面剪切應(yīng)力沿軋制方向的增量平衡.根據(jù)上述假設(shè)條件繪制薄帶軋制受力分析圖，如圖2所示，圖中hz為帶鋼在軋制區(qū)內(nèi)的總厚度，x,y和z分別代表軋制、寬度以及厚度方向，σx為指向x方向在垂直于x軸的平面上的應(yīng)力，τyx為指向y軸垂直于x軸平面的剪切應(yīng)力，p為軋制壓應(yīng)力，適用小角度軋制假定，qx,qy分別為指向x，y的摩擦應(yīng)力，σb為平均后張力，hentry與hexit分別為帶鋼各條元的入口與出口厚度，σf為初始設(shè)定平均張應(yīng)力，作為前張力計(jì)算條件，B為帶鋼寬度，POST表示軋后屈服.針對(duì)帶鋼在軋制區(qū)內(nèi)的彈塑性變形問(wèn)題，列出近似求解空間問(wèn)題的三大類力學(xué)方程.

2.1.1 力平衡方程

對(duì)圖2所示的每個(gè)微元體，分別列出軋制方向和寬度方向力的平衡方程：

x，y方向的摩擦應(yīng)力qx,qy的計(jì)算方法為：

式中，μ為摩擦系數(shù)，dUx和dUy分別為薄帶相對(duì)軋輥的軋制方向和寬度方向滑動(dòng)位移階段增量.

2.1.2 幾何方程

位移增量dUx和dUy同應(yīng)變?cè)隽康年P(guān)系定義為：

式中，G為橫向流動(dòng)因子[9]，ε為真應(yīng)變，xn為中性點(diǎn)位置.

2.1.3 物理方程

建立彈性區(qū)、塑性變形區(qū)應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系，在彈性區(qū)，擴(kuò)展Le與Sutcliffe的處理方式至三維[11]：

式中，E為彈性模量，v為泊松比.首先對(duì)方程組（4）第一式對(duì)x求偏導(dǎo)，利用軋制方向力的平衡方程（1）可以消去未知量 dσx/dx.隨后通過(guò)方程組（4）第二式消去未知量 dσy/dx，由于 σx+p單位為MPa遠(yuǎn)小于帶鋼彈性模量210 GPa，因此可以忽略.最終得到單位軋制力p的一次微分方程組：

公式（5）為帶鋼處于彈性變形區(qū)時(shí)，軋制單位壓力p計(jì)算方法.當(dāng)超過(guò)屈服條件后有：

圖2 薄帶軋制受力與變形分析圖.（a） 正視圖；（b） 側(cè)視圖；（c） 俯視圖Fig.2 Force and deformation diagram of strip rolling: (a) front view; (b) side view; (c) top view

式中，YS為屈服強(qiáng)度.

2.1.4 橫向流動(dòng)因子

基于大量顯式彈塑性有限元仿真的基礎(chǔ)上，杜曉鐘認(rèn)為橫向流動(dòng)存在于邊部區(qū)域，其區(qū)域的寬度是帶鋼厚度、壓下量和摩擦系數(shù)的函數(shù)，橫向流動(dòng)的最大值是屈服強(qiáng)度和摩擦系數(shù)的函數(shù)[12?13].劉立文等[14]研究發(fā)現(xiàn)軋制時(shí)張力也會(huì)影響金屬的橫向流動(dòng).假設(shè)軋制區(qū)內(nèi)橫向流動(dòng)因子的分布規(guī)律為[12]：

式中，y0為對(duì)應(yīng)橫向流動(dòng)作用范圍，Gmax為最大橫向流動(dòng)因數(shù)：

式中，r為壓下量，kh，kr，kμ和kt分別為帶鋼名義厚度、壓下量、摩擦系數(shù)和后張力同橫向流動(dòng)區(qū)域?qū)挾戎g的擬合函數(shù).

2.2 軋后屈服模型

錐形工作輥竄動(dòng)破壞了帶鋼等比例凸度關(guān)系，帶鋼延伸率之差超過(guò)限值時(shí)，帶鋼受大張力屈服，稱為軋后屈服模型[4]，帶鋼變形情況如圖3所示.考慮輥縫內(nèi)橫向流動(dòng)，各條元在出口的伸長(zhǎng)量為[13]：

式中，l'為出口條元長(zhǎng)度，l0為入口條元長(zhǎng)度，εy為各條元在軋制區(qū)內(nèi)沿寬度方向應(yīng)變，其值由式（3）得到.機(jī)架間帶鋼延伸率之差為：

圖3 整體計(jì)算流程Fig.3 Flow chart of the improved model

式中，n為沿寬度方向條元數(shù)量，j為各條元編號(hào)，式(11)等號(hào)右邊第一項(xiàng)為各條元x方向應(yīng)變，第二項(xiàng)為應(yīng)變平均值.當(dāng)應(yīng)變率差造成的應(yīng)力值超過(guò)屈服強(qiáng)度時(shí)，出現(xiàn)附加張力變形：

需要不斷對(duì)出口應(yīng)變率差以及應(yīng)變平均值進(jìn)行迭代，直至應(yīng)變平均值不再變化.在Lee等研究的基礎(chǔ)上，本文認(rèn)為在帶鋼內(nèi)部區(qū)域無(wú)寬展變化，橫向流動(dòng)區(qū)內(nèi)為自由流動(dòng)情況，從而得到塑性應(yīng)變?cè)隽縖4]：

可以得到每個(gè)條元在機(jī)架間帶鋼斷面厚度hPOST與寬度bPOST為：

式中，b為帶鋼各條元原寬度，由式(14)計(jì)算得到.則條元出現(xiàn)橫截面面積減小情況：

式中，A為發(fā)生軋后屈服前的斷面面積，ΔA為其增量，當(dāng)機(jī)架間張力不變時(shí)，每個(gè)條元張應(yīng)力值為：

2.3 整體計(jì)算流程

首先利用2.1中帶鋼三維解析模型計(jì)算帶鋼的軋制力分布，之后利用影響函數(shù)法[15]計(jì)算該軋制力分布時(shí)的輥系彈性變形，得到出口斷面與延伸率差，進(jìn)入2.2中軋后屈服模塊，得到軋后屈服斷面，當(dāng)厚差殘差值小于3 μm時(shí)結(jié)束迭代.單機(jī)架計(jì)算完成后，將斷面、累計(jì)變形量、前張力和縮寬量作為已知條件，輸入下一機(jī)架，整體計(jì)算流程如圖3所示.若軋制方向網(wǎng)格密度為0.09 mm，寬度方向網(wǎng)格密度為10 mm，對(duì)于單機(jī)架計(jì)算時(shí)間大約為4 h（單CPU@4.0 GHz）.

3 模型驗(yàn)證

將本文所述模型計(jì)算結(jié)果同已發(fā)表的工業(yè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行論證[11]，結(jié)果對(duì)比如圖4（a）和（b）所示.可看到由于考慮了軋后屈服現(xiàn)象，對(duì)于邊降區(qū)15～115 mm斷面計(jì)算誤差始終小于3 μm，誤差最大處為距帶鋼邊部0～15 mm，原因可能為最邊部區(qū)域處于極端摩擦與變形狀態(tài)，橫向流動(dòng)因子實(shí)際值與理論值的偏差大.根據(jù)圖4（a）結(jié)果對(duì)比，由于機(jī)架間和軋制區(qū)內(nèi)橫向流動(dòng)的存在，會(huì)降低錐形輥對(duì)本道次的邊降調(diào)控效果.由圖4（b），由于軋后屈服，上一機(jī)架工作輥竄輥造成的邊部增厚會(huì)遺傳至下一機(jī)架.

圖4 模型驗(yàn)證.（a）第一機(jī)架計(jì)算結(jié)果;（b）第二機(jī)架計(jì)算結(jié)果Fig.4 Validation of model:(a)results of 1st stand;(b)results of 2nd stand

4 竄輥調(diào)控功效系數(shù)工業(yè)應(yīng)用

邊降調(diào)控功效為上游機(jī)架不同竄輥值對(duì)下游機(jī)架邊降控制效率.定義邊降區(qū)域?yàn)榫鄮т撨叢?20 mm范圍，選取三個(gè)邊降測(cè)量特征點(diǎn)（距邊部20、45與75 mm）.首先分別計(jì)算相同輥形在第1、2及3機(jī)架不同竄輥值(0、40、60、80和100 mm)時(shí)帶鋼斷面同板差；隨后，連續(xù)計(jì)算至下一機(jī)架出口邊降值，軋制參數(shù)在表1中列出，從而求得三個(gè)邊降特征點(diǎn)處調(diào)控功效系數(shù)，如下式：

表1 軋制參數(shù)表Table 1 Table of rolling parameters

由圖5（a）可知，對(duì)于最靠近內(nèi)部的第1特征點(diǎn)，第一機(jī)架竄輥效率最高，下游機(jī)架功效近乎為0.由圖5（b）可知，對(duì)于中部的第2特征點(diǎn)，第二機(jī)架效率最高，第三機(jī)架功效近乎為0.由圖5（c）可知，當(dāng)竄輥量較小時(shí)，第二機(jī)架對(duì)邊部特征點(diǎn)3的調(diào)控功效最高，當(dāng)竄輥量增大邊緊加劇后，第一、二機(jī)架功效減小，第三機(jī)架升至最高.這種下游機(jī)架邊降調(diào)控寬度遞減的規(guī)律，是由于連軋機(jī)機(jī)架間張力遞增，厚度遞減，下游機(jī)架的橫向流動(dòng)區(qū)寬度遞減，因此邊降調(diào)控的范圍也在遞減.歸納得到前三個(gè)機(jī)架工作輥竄輥調(diào)控邊降的特征為：第一機(jī)架控制帶鋼內(nèi)部的邊降偏差，第二機(jī)架控制中部，第三機(jī)架控制邊部.

圖5 錐形工作輥竄輥邊降調(diào)控功效系數(shù).（a）第1特征點(diǎn)；（b）第2特征點(diǎn)；（c）第3特征點(diǎn)；（d）三點(diǎn)配合調(diào)控策略應(yīng)用效果Fig.5 Effectiveness of edge drop control of tapered work roll shifting: (a) at measuring Point 1; (b) at measuring Point 2; (c) at measuring Point 3;(d) applied effects of three-point control strategy

根據(jù)以上規(guī)律，設(shè)計(jì)了根據(jù)三個(gè)特征點(diǎn)的邊降配合控制策略.該配合調(diào)控策略與使用效果如圖5（d）所示，保證下游機(jī)架竄輥位不超過(guò)上游機(jī)架控制特征點(diǎn)位置.調(diào)控功效系數(shù)矩陣為下三角式，控制系統(tǒng)簡(jiǎn)便易行.當(dāng)使用單點(diǎn)控制策略時(shí)，雖然邊降區(qū)邊部效果明顯，但是內(nèi)部偏差未消除.使用三點(diǎn)式配合控制時(shí)，內(nèi)部偏差為0則第一機(jī)架無(wú)需竄動(dòng)，中部偏差較大則需查功效系數(shù)表加大第二機(jī)架竄輥，外部偏差為0則需相應(yīng)減小第三機(jī)架竄輥，從而消除整個(gè)邊降區(qū)的偏差.該三點(diǎn)邊降配合調(diào)控策略已被集成于國(guó)內(nèi)首套完全自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的1500冷連軋邊降自動(dòng)控制系統(tǒng)中，已經(jīng)長(zhǎng)期穩(wěn)定運(yùn)行.

5 結(jié)論

（1）建立了高效的軋件-輥系-機(jī)架間的三維耦合數(shù)值模型，綜合考慮了軋制區(qū)內(nèi)金屬橫向流動(dòng)與軋件軋后屈服行為，完成了兩個(gè)機(jī)架連續(xù)仿真計(jì)算，經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，在帶鋼邊降區(qū)具有3 μm的精度.

（2）第一機(jī)架對(duì)距邊部75～100 mm的邊降偏差控制效率最高，距邊部45～70 mm的邊降偏差控制功效最高為第二機(jī)架，第三機(jī)架工作輥限定在控制距邊部45 mm控制邊部的偏差.

（3）針對(duì)不同機(jī)架所表現(xiàn)出來(lái)的邊降調(diào)控有效寬度與功效系數(shù)，提出了根據(jù)三點(diǎn)邊降偏差值的三機(jī)架配合調(diào)控策略.在工業(yè)生產(chǎn)中得到了實(shí)際應(yīng)用，取得了良好效果.