陶慶東，何兆益，賈穎

(1.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶市 400074；2.綿陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院；3.貴州省交通勘察規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院股份有限公司)

土石混合體填料具有抗剪強(qiáng)度高、壓實(shí)性能好、穩(wěn)定性好、透水性強(qiáng)、抗沖刷能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，因而廣泛應(yīng)用于山區(qū)高填方公路工程建設(shè)中。但土石混合體填料組成與來源復(fù)雜，具有明顯的不確定性、不連續(xù)性與不規(guī)則性，并一直處于動(dòng)態(tài)演變之中，運(yùn)用傳統(tǒng)科學(xué)方法難以解決其復(fù)雜無序卻又有內(nèi)在規(guī)律的問題，而分形幾何理論可以深入分析其粒度分形特征與工程特性的相關(guān)性，為其提供定量化的描述。

董云對(duì)土石混合料粗顆粒含量與顆粒分布對(duì)分維值的影響進(jìn)行了探討，得到了顆粒級(jí)配與分維值的相關(guān)關(guān)系；張季如、周榮、杜俊、王宇等基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立了砂土、粗粒土與巖體的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)、滲透變形指標(biāo)、破碎性與分形維數(shù)的關(guān)系；舒志樂從非線性特性角度出發(fā)，評(píng)價(jià)了粒度分維值對(duì)抗剪強(qiáng)度的影響程度；McDowell、杜修力、蔡正銀、李希等對(duì)砂礫石、堆石料進(jìn)行了粒度分形，得到了質(zhì)量-粒徑級(jí)配曲線與粒度分維數(shù)間的相關(guān)關(guān)系，以及密度、級(jí)配與圍壓對(duì)顆粒破碎影響的內(nèi)在規(guī)律。

基于以上研究成果，該文運(yùn)用分形幾何理論，對(duì)不同含石量與不同含水率的土石混合體填料的分形特征進(jìn)行研究，并考慮擊實(shí)前后顆粒破碎對(duì)分形特征的影響。從連續(xù)變化的分維數(shù)上認(rèn)知土石混合體填料的力學(xué)性能變化規(guī)律，得到影響分維數(shù)的因素及各因素的影響程度，從而指導(dǎo)高速公路土石混合體山區(qū)的施工。

1 試驗(yàn)材料與設(shè)計(jì)

1.1 試驗(yàn)材料

為驗(yàn)證土石混填體路基填料的分形特征，以四川省省道205線綿陽繞城段改線工程(游仙區(qū)段)現(xiàn)場(chǎng)路基填料為研究對(duì)象。該工程采用移挖做填的路堤填筑形式，試驗(yàn)材料均為高填方路基填筑材料或路塹開挖土方，主要含有頁(yè)巖、頁(yè)巖土，部分還含有砂巖、石灰?guī)r。

試驗(yàn)過程中，嚴(yán)格把關(guān)選取的填料、保證土石混合體填料質(zhì)地均勻，控制顆粒的最大粒徑為40 cm，拌和均勻后用于擊實(shí)試驗(yàn)，這樣可以保證各填料自身的顆粒密度為定值。

1.2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

對(duì)土石混合體填料進(jìn)行篩分時(shí)，粒徑小于5 mm的材料定義為土，粒徑大于5 mm的材料定義為石，室內(nèi)篩分試驗(yàn)采用標(biāo)準(zhǔn)振篩機(jī)，篩分粒徑分別為40、20、10、5、2.5、1.25、0.6、0.3、0.15、0.075 mm。

由于土石混合料具有顆粒粒徑范圍變化大、含石量離散性大等特點(diǎn)，因此有必要研究不同含石量填料擊實(shí)前后的分形特性與破碎率對(duì)分維數(shù)的影響。選取5種含石量(10%、30%、50%、70%、90%)的路基填料進(jìn)行分析，并按照表1各粒徑進(jìn)行組合，對(duì)應(yīng)的土石混合體填料不同含石量的級(jí)配曲線，如圖1所示。

表1 擊實(shí)試驗(yàn)前不同級(jí)配各粒徑含量

圖1 不同含石量顆粒級(jí)配曲線

對(duì)原路基填料與設(shè)計(jì)含石量填料進(jìn)行擊實(shí)試驗(yàn)，試驗(yàn)共進(jìn)行30組，得到不同含石量擊實(shí)曲線，如圖2所示，對(duì)應(yīng)的不同含石量的最大干容重與最佳含水率，如表2所示。

圖2 土石混合體填料不同含石量擊實(shí)曲線

由圖1、2與表2可得：原狀填料級(jí)配與含石量30%情況下的級(jí)配曲線、擊實(shí)曲線，最大干容重與最佳含水率均較為接近，因此后續(xù)的研究中將不再單獨(dú)探討原狀土石料的破碎與分形特性，僅進(jìn)行含石量30%時(shí)填料的相關(guān)特性研究。

表2 不同含石量的最大干容重與最佳含水量

2 土石混合體粒度分形特性

2.1 分形結(jié)構(gòu)模型

分形幾何理論主要用以描述質(zhì)量(F)與長(zhǎng)度(L)、面積(S)、體積(V)的相互關(guān)系，假設(shè)物體的分維數(shù)為D，則存在如下關(guān)系式：

(1)

基于分形幾何理論，Mandelbrot提出了顆粒數(shù)量-粒徑的分形模型，該模型可以表述為：

N(>Ri)∝Ri-D

(2)

式中：N為粒徑大于Ri粒徑的顆粒數(shù)量;Ri為顆粒粒徑；D為分維數(shù)。

假設(shè)某一粒徑的顆粒組成與顆粒數(shù)量存在常數(shù)C的關(guān)系，則式(2)可以變換為：

N(>Ri)∝C·Ri-D

(3)

根據(jù)顆粒數(shù)量—粒徑的分形模型，Tyler等提出了考慮質(zhì)量與孔徑的三維空間體積分形模型，即：

(4)

式中：CV與KV為與顆粒組成有關(guān)的常數(shù)。

假定各粒徑顆粒密度ρ相等，則有：

ρ×V(>Ri)=ρ·CV·[1-(Ri/KV)(3-D)]

(5)

也即大于某一粒徑的顆粒質(zhì)量為：

M(>Ri)=Cm·[1-(Ri/KV)(3-D)]

(6)

式中：Cm為與顆粒質(zhì)量組成有關(guān)的常數(shù)。

設(shè)最大粒徑為Rmax，土樣總質(zhì)量為M總，則當(dāng)Ri=0時(shí)，M(>Ri)=M總=Cm；而當(dāng)Ri=Rmax時(shí)，就可以得到1-(Ri/KV)=0，即KV=Rmax，此時(shí)式(6)可以寫為：

M(>Ri)/M總=1-(Ri/Rmax)(3-D)

(7)

即M(

(8)

式中：M(

等式兩邊取對(duì)數(shù)，得：

lgP=(3-D)×lg(Ri/Rmax)

(9)

式中：P=M(Ri)/M總，M(Ri)為小于粒徑Ri的顆粒質(zhì)量，將P和Ri/Rmax作為雙對(duì)數(shù)橫縱坐標(biāo)，此時(shí)，(3-D)為擬合直線的斜率K。通過求得擬合直線的斜率K，可求得分維數(shù)D=3-K。

2.2 分維數(shù)計(jì)算

以粒徑比對(duì)數(shù)lg(Ri/Rmax)為橫坐標(biāo)，質(zhì)量比對(duì)數(shù)lgP為縱坐標(biāo)，參照?qǐng)D1級(jí)配曲線，對(duì)不同含石量土石混合體填料在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下的級(jí)配曲線進(jìn)行擬合，具體見表3與圖3。

表3 土石混合體填料不同含石量的粒度分維數(shù)

由表3、圖3可得：含石量10%、30%、50%、70%、90%的線性相關(guān)系數(shù)R均較高，擬合度較高，說明當(dāng)土石混合體填料中的含石量變化時(shí)，顆粒粒徑與級(jí)配仍然存在較明顯的分形現(xiàn)象，不同含石量的土石混合體填料符合分形特征條件，是一種分形材料。

圖3 不同含石量的雙對(duì)數(shù)顆粒粒度分維曲線

2.3 級(jí)配分維指標(biāo)

前文已經(jīng)證明了不同含石量土石混合體填料中存在分形現(xiàn)象，因而可以進(jìn)行分維數(shù)與顆粒級(jí)配的相關(guān)性研究。

由于顆粒的分維數(shù)大小由顆粒粒度成分決定，而室內(nèi)試驗(yàn)中，填料的不均勻系數(shù)Cu和曲率系數(shù)Cc是反映級(jí)配優(yōu)良與否的最直觀指標(biāo)，兩者也與顆粒粒徑度成分密切相關(guān)。因此，需要通過以上兩個(gè)參數(shù)判斷不同含石量級(jí)配優(yōu)劣情況，找到分維數(shù)與Cu、Cc的相關(guān)關(guān)系。

由圖1可得不同含石量的不均勻系數(shù)Cu和曲率系數(shù)Cc，計(jì)算公式如下：

Cu=d60/d10

(10)

Cc=(d30)2/(d60d10)

(11)

參考文獻(xiàn)[1]對(duì)顆粒級(jí)配評(píng)價(jià)指標(biāo)與分維數(shù)的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)，得到的公式如下：

Cu=61/(3-D)

(12)

Cc=(3/2)1/(3-D)

(13)

將式(10)、(11)代入式(12)、(13)，求得的不同含石量填料顆粒的分維數(shù)，如表4所示。

參照GB/T 50145-2007《土的工程分類標(biāo)準(zhǔn)》，具體見表5，得到當(dāng)?shù)[與砂的Cu≥5，Cc為1～3時(shí)，顆粒級(jí)配良好；當(dāng)Cu≥5時(shí)，由式(12)得分維數(shù)D≥1.887，當(dāng)Cc為1～3時(shí)，由式(13)得分維數(shù)D≥2.631，此時(shí)粒度分維數(shù)區(qū)間為1.887～2.631，但以上條件只是針對(duì)礫土與砂土。

由于土石混合體填料的特殊性與復(fù)雜性，通過粒度分維數(shù)區(qū)間[1.887,2.631]來判斷土石混合體填料級(jí)配良好并不一定適用，因此有必要對(duì)土石混合體填料級(jí)配良好時(shí)的粒度分維數(shù)區(qū)間進(jìn)行研究。

表4 各含石量土石混合體填料的粒徑分布特征

表5 礫類土與砂類土分類

由表4可知：當(dāng)含石量10%、30%、50%與70%時(shí)，各含石量土石混合體填料的不均勻系數(shù)均為Cu>5和曲率系數(shù)均為Cc在1～3之間，滿足級(jí)配良好的規(guī)定，其對(duì)應(yīng)的分維數(shù)分別為2.353 7、2.622 4、2.307 3、2.178 9，對(duì)應(yīng)的粒度分維數(shù)區(qū)間為[2.178 9,2.622 4]，該區(qū)間包含在礫土與砂土的分維區(qū)間[1.887,2.631]范圍內(nèi)，表明土石混合體填料的級(jí)配良好時(shí)對(duì)應(yīng)的粒度分維數(shù)區(qū)間服從于礫土與砂土的粒度分維數(shù)區(qū)間，但級(jí)配良好的土石混合體填料對(duì)粒度分維數(shù)區(qū)間的要求更為嚴(yán)格。同時(shí)，也可證明通過不均勻系數(shù)Cu與曲率系數(shù)Cc兩者共同判斷顆粒級(jí)配優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)與分維數(shù)區(qū)間判斷標(biāo)準(zhǔn)一致。因此，評(píng)價(jià)土石混合體路基填料級(jí)配的兩個(gè)指標(biāo)可簡(jiǎn)化為分維數(shù)一個(gè)指標(biāo)，且土石混合體填料級(jí)配良好的分維數(shù)區(qū)間可以確定為[2.178 9,2.622 4]。

3 顆粒破碎特性分析

3.1 顆粒破碎類型

顆粒破碎是指巖土顆粒在外部荷載作用下產(chǎn)生結(jié)構(gòu)的破裂或破損，分裂成粒徑相等或不等的多個(gè)顆粒的現(xiàn)象，顆粒破碎大致分為3種類型，如圖4所示。

土石混合體填料產(chǎn)生顆粒破碎的主要原因是：填料中各粒徑顆粒常為點(diǎn)接觸，壓實(shí)過程中，土石混合體填料骨架中的“石”在相互擠壓，當(dāng)壓力大于自身能夠抵抗的壓力時(shí)，即發(fā)生顆粒破裂。大粒徑顆粒分裂成粒徑不均的多個(gè)小顆粒，加之顆粒自身結(jié)構(gòu)的缺陷，顆粒本身會(huì)發(fā)生更小顆粒的脫落，致使大顆粒逐漸變小，出現(xiàn)破裂與破碎兩種類型的破碎；而當(dāng)顆粒間存在機(jī)械咬合，在顆粒表面產(chǎn)生剪切力時(shí)，會(huì)出現(xiàn)顆粒研磨類型的破碎。

圖4 塊石破碎分類

3.2 顆粒破碎率

分形理論是研究土石混合體填料的有效工具，其中分維數(shù)值是填料粒度分形分布特征的量化指標(biāo)，填料擊實(shí)前后各粒徑含量的變化值，可以表征各粒徑顆粒發(fā)生破碎的程度。Hardin、Lee 等提出了表征顆粒破碎的方法，其中Marsal與Hardin提出的相對(duì)破碎率Bg的概念應(yīng)用最為廣泛，Bg的計(jì)算方法如下：

Bg=∑|Wki-Wkf|

(14)

式中：Bg為試驗(yàn)前后各粒徑組成質(zhì)量之差的正值，作為顆粒破碎程度的度量；Wki、Wkf分別為擊實(shí)前、后級(jí)配曲線上某粒組的質(zhì)量分?jǐn)?shù)。

對(duì)不同含石量與含水率的土石混合體填料進(jìn)行擊實(shí)，擊實(shí)后其級(jí)配特征與分維數(shù)變化見表6。

由表6可知：

(1) 在含石量一定的情況下，顆粒破碎率隨著含水率的增大而增大；當(dāng)含水率相同時(shí)，含石量高的土石混合體填料對(duì)應(yīng)的破碎率更大，且含石量大于50%時(shí)，填料破碎率顯著增加。

(2) 含石量與含水率是影響顆粒破碎率的兩個(gè)重要因素。① 當(dāng)討論含水率的影響時(shí)，以填料含水率為2.18%作為基準(zhǔn)值，含水率為4.18%、6.18%、8.18%、10.18%作為對(duì)比值，則含石量為10%時(shí)，含水率2.18%增加到10.18%，破碎率增加的最大比例為44.90%，同理，含石量為30%、50%、70%、90%時(shí)破碎率增加的最大比例為154.60%、113%、54.87%、34.66%；② 當(dāng)討論含石量的影響時(shí)，以填料含石量為10%，含水率為2.18%、4.18%、6.18%、8.18%、10.18%作為基準(zhǔn)值，則含石量為30%、50%、70%、90%對(duì)應(yīng)2.18%含水率，破碎率增加的比例為234.7%、810%、1 629%、2 756%，取最大值2 756%，同理含石量為30%、50%、70%、90%對(duì)應(yīng)含水率為4.18%、6.18%、8.18%、10.18% 時(shí)，破碎率增加的最大比例為2 792%、2 946%、2 580%、2 554%。分析以上數(shù)據(jù)可得，含石量對(duì)破碎率的影響較含水率更加顯著。

表6 擊實(shí)后不同級(jí)配各粒徑含量

統(tǒng)計(jì)表6不同含石量的填料破碎后分維數(shù)數(shù)據(jù)，得到擊實(shí)后的分維數(shù)除含石量30%時(shí)略有減少外，其余情況均成增加的趨勢(shì)；且根據(jù)定義的土石混合體填料級(jí)配良好的分維數(shù)區(qū)間[2.178 9,2.622 4]，可確定擊實(shí)后的土石混合體填料級(jí)配良好。

擊實(shí)破碎后分維數(shù)與顆粒破碎率關(guān)系曲線如圖5所示。

由圖5可知：通過對(duì)填料不同含石量的破碎率與分維數(shù)關(guān)系進(jìn)行擬合，得到含石量10%、70%時(shí)對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)R2分別為0.344 8與0.857 6，相關(guān)性相對(duì)較差外，含石量為30%、50%、90%時(shí)，線性相關(guān)系數(shù)均較高，分別達(dá)到了0.947、0.974 1、0.971 7，相關(guān)性較高，表明不同含石量的分維數(shù)與對(duì)應(yīng)的擊實(shí)破碎率間存在內(nèi)在聯(lián)系。

圖5 分維數(shù)與顆粒破碎率關(guān)系曲線

擊實(shí)破碎后分維數(shù)與含水率關(guān)系曲線，如圖6所示。

圖6 破碎后分維數(shù)與含水率關(guān)系曲線

由圖6可知：當(dāng)含石量相同時(shí)，隨含水率的增加，擊實(shí)后土石混合體破碎的分維數(shù)呈逐漸增大的趨勢(shì)，且含石量越大，破碎的分維數(shù)增加得越多。

主要原因是在含石量較大時(shí)，含水率逐漸增加的情況下，顆粒間的相對(duì)滑動(dòng)性更好，相互機(jī)械咬合的機(jī)會(huì)增加，在填料受到擊實(shí)作用時(shí)，顆粒間由于相互機(jī)械咬合力與擠壓力增加，當(dāng)顆粒間難以抵抗外界的壓力，就會(huì)發(fā)生顯著的破碎，進(jìn)而使原有的顆粒級(jí)配發(fā)生變化，增大了分維數(shù)；而當(dāng)含石量較小時(shí)，擊實(shí)作用只是將“石”壓碎，而“土”顆粒未被壓碎，只是使其密實(shí)度更好，孔隙更小，所以分維數(shù)變化不大。

4 結(jié)論

基于分形幾何理論，分析了不同含石量的顆粒級(jí)配設(shè)計(jì)時(shí)的分維數(shù)與擊實(shí)破碎后的分維數(shù)的變化規(guī)律。主要結(jié)論如下：

(1) 可用分維數(shù)作為土石混合體填料顆粒級(jí)配的評(píng)價(jià)指標(biāo)，且土石混合體填料級(jí)配良好的分維數(shù)區(qū)間為[2.178 9,2.622 4]。土石混合體填料破碎后的分形維數(shù)與含水率及破碎率間存在很好的線性關(guān)系。

(2) 由于填料在擊實(shí)過程中，顆粒會(huì)發(fā)生破碎，破碎后的分維數(shù)需考慮含石量與含水率等因素。

(3) 當(dāng)含水率相同時(shí)，含石量高的土石混合體填料對(duì)應(yīng)的破碎率更大，且含石量大于50%時(shí)，填料破碎率顯著增加。

(4) 當(dāng)含石量為定值時(shí)，隨著含水率的增加，擊實(shí)后土石混合體破碎的分維數(shù)呈逐漸增大的趨勢(shì)，且隨含石量的增加，破碎后填料分維數(shù)增加得更為顯著。