康 琳

(四川師范大學附屬中學 610061)

課前給學生布置了這道例題，研究不同的解法，請學生展示成果.而選這道例題的原因，從考查學生運用知識能力方面，是因為要解決這道題，需要具有較強的綜合運用知識的能力；從考查內(nèi)容方面來看，函數(shù)最值既是高中數(shù)學的重要基本知識，同時也是高考每年必考的重點內(nèi)容之一.由于有時常與導數(shù)結合起來考察，知識點多、運算量大、綜合性強，所以這類題在區(qū)分學生層次、選拔人才方面起到很好的作用，因此也深受廣大一線師生的關注.

例題(2013年全國卷一)若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖象關于直線x=-2對稱,則f(x)的最大值為____.

思考一先確定a,b的值，再求函數(shù)最值是所有學生選擇的思路，因為題目要求f(x) 的最值，自然想到確定函數(shù)解析式.

步驟一確定a,b的值.

解法1因為函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=-2對稱，所以f(x)=f(-x-4)①，或者f(-2+x)=f(-2-x).

評注通過將已知條件用數(shù)學的語言表達出來，考查學生的數(shù)學表達能力.通過得到的抽象的數(shù)學表達式，即關于a,b的方程組.

(1)代入原函數(shù)展開合并同類項后，根據(jù)對應項系數(shù)相等，得出a,b的值.但此法運算量很大，選擇的學生都中途放棄，和學生一起分析原因，提出代數(shù)運算有時需要對算法進行推理和選擇.

(2)定義域內(nèi)任意的x都滿足①式，故取兩個特殊值x=0,x=-2 得方程f(0)=f(0-4)和f(-3)=f(3-4)，直接計算可得a=8,b=15.此法與(1)相比運算量大大減少，學生都能正確計算得出結果.

(3)因為直線x=-2是函數(shù)f(x)的圖象對稱軸，所以f′(-2)=0，又f(0)=f(0-4)，計算得a=8,b=15.此法需要學生有較強的綜合運用知識的能力.

解法2 觀察函數(shù)結構，發(fā)現(xiàn)x=±1 是函數(shù)f(x)的兩個零點，由函數(shù)圖象關于直線x=-2對稱得，x=-3,x=-5 是函數(shù)f(x)的兩個零點，即x=-3,x=-5是二次方程x2+ax+b=0的兩個根，由韋達定理可得a=8,b=15.

評注學生將數(shù)學符號語言與圖形語言互相轉化，準確地推理論證，再利用函數(shù)與方程的思想，可以得到多種較為簡便的解法.教學時利用GeoGebra數(shù)學教學軟件動畫生成函數(shù)f(x)的圖象，讓學生直觀感受數(shù)形結合給解題帶來的快捷.在課堂教學過程中適時增加新鮮感，能夠使學生在緊張的高三學習中體驗數(shù)學的美.

解法3 根據(jù)已知條件可以知道，將原函數(shù)f(x) 的圖象往右平移兩個單位后，關于x=0 對稱，即f(x-2)是偶函數(shù).

f(x-2)=-x4+(8-a)x3+(6a-b-23)x2+(-11a+4b+28)x-12+6a-3b，

由8-a=0，-11a+4b+28=0，得a=8,b=15.

評注通過邏輯推理和空間想象，將圖形語言轉化為符號語言，再由高次多項式的奇偶特點構造方程組，以數(shù)形結合的基本思想提供了一種不同的思路.

解法4 對于偶函數(shù)g(x)=-x4+cx2+e，往左平移兩個單位得f(x)=g(x+2)=-(x+2)4+c(x+2)2+e，由x=±1 是函數(shù)f(x)的兩個零點，得f(-1)=-1+c+e=0

f(1)=-81+9c+e=0，得c=10,e=-9.

評注逆向思考由高次多項式的奇偶特點構造方程組.

步驟二求函數(shù)f(x) 的最大值

解法1由函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)，得f′(x)=-4x3-24x2-28x+8=-4(x+2)(x2+4x-1).

評注通過求導研究函數(shù)最值是學生熟悉的方法，思維難度小于運算難度. 部分學生求導后求三次方程-4x3-24x2-28x+8=0(等價于x3+6x2+7x-2=0)的根時，不能正確分解因式，導致中途放棄或錯解，這里提供三種分解方法：①待定系數(shù)法，觀察出x=-2 是方程x3+6x2+7x-2=0的一個根，再令x3+6x2+7x-2=(x+2)(x2+bx+c) ，利用同類項系數(shù)關系求出b=4,c=-1 ②多項式除法 ③三次方程求根公式(選修2-2P113閱讀與思考的代數(shù)基本定理)

解法2由【思路步驟一】的解法2得f(x)=-(x-1)(x+1)(x+3)(x+5)，作出函數(shù)圖象，不妨設f(x)最大值在x1,x2取到，其中x1

評注函數(shù)最值在端點或極值點取得，利用虛設的零點整體代入運算，降低運算難度.這對提升學生的數(shù)學思維方面具有重要的作用.

解法3由【思路步驟一】解法2得

f(x)=(1-x2)(x+3)(x+5)=(1-x)(x+1)(x+3)(x+5)=-(x2+4x-5)(x2+4x+3)=-[(x+2)2-9][(x+2)2-1]，令(x+2)2=t,t≥0 ，則y=-(t-9)(t-1).當t=5時，得y的最大值為16 .

評注局部換元后，從代數(shù)角度發(fā)現(xiàn)函數(shù)結構更為簡潔，從幾何角度發(fā)現(xiàn)函數(shù)右移兩個單位后得到四次偶函數(shù)，轉化為基本初等函數(shù)求最值，我們會發(fā)現(xiàn)有時建立不同的數(shù)學模型會使運算相對簡單.數(shù)形結合能幫助學生理解換元的意義.

評注由四項連乘的結構聯(lián)系到海倫公式，這是符合函數(shù)的認知結構的，體現(xiàn)了數(shù)學模型的思想，從廣義來說，數(shù)學知識本身也是數(shù)學模型的一種，這也是學生知識的遷移能力的體現(xiàn).

解法5由【思路步驟一】的解法4有f(x-2)=-x4+10x2-9=-(x2-5)2+16，得f(x) 的最大值16.

評注平移變化后，結構簡化，研究對象轉移. 通過動畫展示，引導學生直觀想象，發(fā)現(xiàn)平移后，零點也移動，而最值不變.于是產(chǎn)生下面的解法.

思考二學生通過對以上解法、思路的理解，結合圖象直觀感受，不斷優(yōu)化分析最終發(fā)現(xiàn)將f(x) 的最值等價轉化為g(x) 的最值(零點平移、偶函數(shù)對稱性)，用不等式求最值， 學生的能力得到進一步的提升.

評注引導學生直觀想象，函數(shù)圖象平移前后哪些特征該變，哪些特征不變，再利用均值不等式，化繁為簡，巧妙求最值.

思考三高考函數(shù)壓軸題難度較大，從多角度分析難點問題有利于提升學生的思維水平與思維層次，本節(jié)課以2013年全國卷一道填空題為例題，在課前布置給學生思考，并在各組之間展開學習競賽，看哪一個小組找到的解法最多，以此來調(diào)動學生的學習興趣和探究積極性.課上讓學生們分組展示小組成果，最后總結出解決函數(shù)最值壓軸題的一些解題策略.反思后發(fā)現(xiàn)近年高考數(shù)學命題將“多考點想，少考點算”作為一條基本的命題理念在實施，這道題就得到了充分的體現(xiàn).