朱鵬 朱麒

摘 要：大型壓力機偏心套是一種典型的復(fù)雜截面問題的求解，文章通過柱體扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力函數(shù)以及多連域轉(zhuǎn)化為單連域的方法為基礎(chǔ)，應(yīng)用有限元/邊界元法，提出 “孔洞擬填充”的方法，并利用有限元分析軟件ANSYS Workbench以偏心輪為例模擬求解扭轉(zhuǎn)問題。結(jié)果證明該方法可以適用于任何截面的桿件，從而為今后復(fù)雜截面桿件的扭轉(zhuǎn)問題的研究計算提供了依據(jù)。

關(guān)鍵詞：復(fù)雜截面;應(yīng)力函數(shù);多連域;孔洞擬填充;有限元;扭轉(zhuǎn)

1引言

在車輛以及機械設(shè)備中，普遍使用承受扭矩載荷的部件 （如偏心輪，偏心齒輪） 及采用非圓截面（如矩形、三角形，橢圓形等）的軸，這些承扭件的橫截面往往為復(fù)雜的多連通域，對其扭轉(zhuǎn)問題通常難以求得解析解，從而使其強度和剛度計算成為設(shè)計中的難點。如何借助計算機和現(xiàn)代分析手段，來分析承扭桿的結(jié)構(gòu)的問題，并精確求解這些扭桿件的應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)及抗扭剛度，具有一定的研究價值。因為扭桿件的應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)及抗扭剛度是分析設(shè)計的基礎(chǔ)。

2 復(fù)雜截面扭轉(zhuǎn)問題的理論分析

對于復(fù)雜截面扭轉(zhuǎn)問題的求解，我們可以將其看作是對多連域截面問題的求解。目前處理此類問題所采用的方法有虛邊界元法[1]，變分解法[3]，邊界條件的分離變量法[5]，復(fù)變函數(shù)法[6]，多連域轉(zhuǎn)化為單連域[7]，有限元法[8]等。本文以有限元/邊界元法及多連域化為單連域的方法為基礎(chǔ)，應(yīng)用孔洞擬填充思想來處理復(fù)雜截面的扭轉(zhuǎn)問題。

2.1有限元 / 邊界元法

根據(jù)彈性力學(xué)中在柱體周圍的側(cè)面上的應(yīng)力關(guān)系及柱體扭轉(zhuǎn)問題的性質(zhì)，可以得出應(yīng)力在邊界上的關(guān)系式：

由（1）式可得知應(yīng)力函數(shù)在邊界上一定是一個常數(shù)。

對于一般情況下的多連域截面扭轉(zhuǎn)問題，其圖形如圖1所示：

則多連域截面的扭矩可以寫成下式：

對（2）是進行積分計算，并運用格林公式將面積的積分轉(zhuǎn)化為沿曲線的積分，所以（2）可以簡化為：

2.2孔洞擬填充法

隨著等值面數(shù)的增加以及區(qū)域Ω0（截面域）形狀的復(fù)雜，結(jié)果的求解也將變得復(fù)雜起來，原因是由于多連域及其內(nèi)部的邊界條件存在，使得結(jié)果的求解處理難以進行。那么究竟采用什么方法可以有效的避免多連域和邊界條件的影響呢？因此，考慮到有限單元法，因為有限單元法可以把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點作為求解函數(shù)的插值點，從而可以把復(fù)雜問題簡單化，因此利用它可以方便的進行復(fù)雜力學(xué)問題的求解。所以要將所要解決的多連域問題轉(zhuǎn)化為有限個小單元進行計算求解。

根據(jù)應(yīng)力函數(shù)理論，可知多連域截面扭轉(zhuǎn)問題的控制方程（歐拉方程）和邊界條件的一般形式為：

式中n表示每個小單元節(jié)點的個數(shù);Φe表示單元的應(yīng)力函數(shù)并且滿足強制性邊界條件;Νi為試函數(shù)（形函數(shù)）。

由式也可以得出如下關(guān)系式：

3 實例分析

4 2有限元分析

將偏心輪的模型圖（其模型圖如圖3、圖4所示）導(dǎo)入到ANSYS Workbench中，進行加載、約束、定義分析類型、分析選項、載荷數(shù)據(jù)和載荷選項等步驟， 然后開始有限元求解，其中對圖3 采用有限元法求解，圖4采用孔洞擬填充法求解。在進行分析求解時，選偏心輪的材料為碳素鋼，兩種情況下偏心輪所具有的基本參數(shù)如表1、表2所示：

對圖3、圖4的兩種情況下的偏心輪進行劃分網(wǎng)格，網(wǎng)格劃分后的圖形（如圖5，圖6所示）

對以上偏心輪的模型加載求解（如圖7、圖8），經(jīng)求解處理后偏心輪在兩種

5 結(jié)論

（1）對于不對稱的復(fù)雜截面以及多連域截面扭轉(zhuǎn)問題的求解，經(jīng)典的材料力學(xué)求解方法已經(jīng)不適用。 由于多連域法計算量比較大，邊界處理起來比較煩鎖，因此本文在有限元的基礎(chǔ)上，基于虛邊界元[1]、輪廓的孔洞填充算法[2]和虛單元[9]提出了“孔洞擬填充”的思想，將多連域問題轉(zhuǎn)變?yōu)閱芜B域問題來模擬求解。

（2）“孔洞擬填充”的思想處理多連域問題的求解比較方便，與一般方法相比減少了工作量，從而使得對求任意截面的多連域問題具有一定的優(yōu)越性。

（3）“孔洞擬填充”方法不受截面形狀的限制，因此可以廣泛應(yīng)用于各種復(fù)雜截面扭桿問題的設(shè)計及分析。

參考文獻：

[1] 錢偉長，林鴻蓀，胡海昌等.彈性柱體的扭轉(zhuǎn)理論[M].科學(xué)出版社，1956.

[2] 王祖成，汪家才.彈性和塑性理論及有限單元法[M]. 冶金工業(yè)出版社，1983.

[3] 朱加銘.有限元和邊界法[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2002.

[4] 楊冬升，凌靜.虛邊界元多連通區(qū)域邊界離散及邊界條件分析[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報，2011，29（2）：161-163.

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