劉娟 石嵩

[摘 要] “理論力學(xué)”高等課程曾經(jīng)是一門(mén)傳統(tǒng)的研究生課程，后因內(nèi)容陳舊逐漸淡出歷史舞臺(tái)，現(xiàn)在國(guó)內(nèi)鮮有高校開(kāi)設(shè)。本文對(duì)該門(mén)課程的價(jià)值與意義進(jìn)行了論述，指出本科階段的“理論力學(xué)”課程并不能滿足物理系研究生的需求，并對(duì)授課內(nèi)容進(jìn)行了探索，嘗試對(duì)該課程的教學(xué)進(jìn)行改革與實(shí)踐。

[關(guān)鍵詞] 理論力學(xué);分析力學(xué);量子力學(xué);經(jīng)典場(chǎng)論

一、引言

以“理論力學(xué)”為首的四大力學(xué)是目前高等院校物理系本科生的必修課程，研究生階段還會(huì)開(kāi)設(shè)相應(yīng)的高等課程：“高等量子力學(xué)”“高等電動(dòng)力學(xué)”“高等統(tǒng)計(jì)物理”，而唯獨(dú)“理論力學(xué)”沒(méi)有相應(yīng)的高等課程。在歷史上，“理論力學(xué)”高等課程的確是一門(mén)傳統(tǒng)的研究生課程[1]，后來(lái)隨著物理學(xué)急速發(fā)展，對(duì)研究生的知識(shí)儲(chǔ)備提出了越來(lái)越高的要求，為了讓年輕人迅速進(jìn)入到科研第一線，高等院校研究生培養(yǎng)計(jì)劃經(jīng)過(guò)幾番調(diào)整，高等“理論力學(xué)”這門(mén)看似已足夠完善從而稍顯過(guò)時(shí)、又不能給科研工作提供直接技術(shù)支持的課程，逐漸淡出了歷史舞臺(tái)。所以，現(xiàn)在國(guó)內(nèi)鮮有聽(tīng)聞高校開(kāi)設(shè)這門(mén)研究生課程。

而筆者所在的國(guó)防科技大學(xué)是為數(shù)不多保留這一傳統(tǒng)的高校。我校物理系袁建民教授為研究生開(kāi)設(shè)“經(jīng)典力學(xué)與經(jīng)典場(chǎng)”課程，多年來(lái)深耕不輟。在過(guò)去的三年里，筆者有幸接替袁教授承擔(dān)了這門(mén)課程的教學(xué)任務(wù)。教學(xué)相長(zhǎng)的過(guò)程中，筆者愈發(fā)深刻意識(shí)到，對(duì)于物理系研究生來(lái)說(shuō)，這門(mén)課程的意義與價(jià)值被嚴(yán)重低估了，在目前新工科的背景下，也有著豐富的挖掘空間。因此，筆者寫(xiě)下這篇粗陋的文章，希望拋磚引玉，引起各位同行前輩的關(guān)注與討論。

二、關(guān)于開(kāi)設(shè)“理論力學(xué)”高等課程的意義

普通物理的“力學(xué)”課程引入微積分，大大提升了求解具體力學(xué)問(wèn)題的能力，但并沒(méi)有完成觀念性的改變，學(xué)生對(duì)物理學(xué)的認(rèn)知還停留在古典的牛頓力學(xué)框架內(nèi)。以“理論力學(xué)”為首的四大力學(xué)，才承載了從古典物理到近代物理的轉(zhuǎn)變，經(jīng)過(guò)這些課程的學(xué)習(xí)，才算真正進(jìn)入了物理專(zhuān)業(yè)的大門(mén)。而“理論力學(xué)”作為第一站，學(xué)生接受起來(lái)并不輕松。觀念轉(zhuǎn)變往往比技能學(xué)習(xí)更加困難，領(lǐng)悟力總是需要大量知識(shí)積累為基礎(chǔ)。所以在本科階段開(kāi)始學(xué)習(xí)“理論力學(xué)”時(shí)，絕大部分學(xué)生其實(shí)都是囫圇吞棗，只把分析力學(xué)當(dāng)作求解具體力學(xué)問(wèn)題的一種新方法。

到了研究生階段學(xué)生才能深入理解，近代物理是完全建立在分析力學(xué)基礎(chǔ)上的，因?yàn)橄啾扔谂ｎD力學(xué)，分析力學(xué)的形式更利于擴(kuò)展。首先，牛頓力學(xué)里熟知的“力”其實(shí)是稍顯粗糙的一個(gè)概念，比如量子力學(xué)有測(cè)不準(zhǔn)原理，難以確定作用點(diǎn)，所以難以定義力，又比如狹義相對(duì)論里涉及到變換時(shí)，力的變換是非常復(fù)雜的，而能量作為四矢量的第零分量，可以按張量分析來(lái)處理，等等。進(jìn)一步，求解牛頓方程需要事先知道力的形式，而這在大部分時(shí)候并不容易甚至無(wú)法得到，分析力學(xué)則不同，只要給出了拉氏量，就能推導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)方程，不論是引力、電磁力，還是其他力，甚至力學(xué)以外。所以分析力學(xué)比牛頓力學(xué)更利于推廣。

三、關(guān)于理論力學(xué)高等課程的授課內(nèi)容

筆者在實(shí)際教學(xué)中，選取了以下幾個(gè)方面作為切入點(diǎn)。

（一）經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)的傳承與對(duì)比

量子力學(xué)是近代物理學(xué)取得的革命性成就，而量子力學(xué)的建立則基于分析力學(xué)的理論框架。所以，在課程中我們會(huì)帶領(lǐng)學(xué)生從分析力學(xué)的角度來(lái)重新認(rèn)識(shí)正則量子化和路徑積分量子化。1925年狄拉克根據(jù)海森堡的論文，構(gòu)建了新的哈密頓體系，取代了原來(lái)的經(jīng)典哈密頓體系，用以描述原子現(xiàn)象。從泊松括號(hào)到對(duì)易子，就是所謂正則量子化，本質(zhì)上就是從泊松代數(shù)到海森堡包絡(luò)代數(shù)的一種代數(shù)形變。

（二）對(duì)稱性思想的深化與系統(tǒng)化講授

相比于牛頓力學(xué)，分析力學(xué)的一大明顯優(yōu)勢(shì)在于，已知拉氏量就能得到運(yùn)動(dòng)方程，而拉氏量的具體形式需要根據(jù)體系的對(duì)稱性來(lái)寫(xiě)出?；仡櫢咧袑W(xué)習(xí)牛頓力學(xué)時(shí)，非常不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亍白C明”了動(dòng)量守恒，而在分析力學(xué)里，將動(dòng)量守恒歸結(jié)于空間的平移對(duì)稱性。更進(jìn)一步看，Noether定理告訴我們，每一種連續(xù)對(duì)稱性都對(duì)應(yīng)一個(gè)守恒量，這些對(duì)稱性可以是外部的，也可以是內(nèi)部的，比如電荷守恒，是源于阿貝爾整體規(guī)范對(duì)稱性。本科階段“理論力學(xué)”沒(méi)有給出Noether定理的系統(tǒng)講授，是因?yàn)榇蠖W(xué)生還沒(méi)有遇到過(guò)時(shí)空平移和旋轉(zhuǎn)以外的對(duì)稱性，而那些豐富的內(nèi)部對(duì)稱性，其實(shí)正是近代物理的思想基石，所以Noether定理并不是平庸的再闡述，而是創(chuàng)造性的預(yù)見(jiàn)，在近代物理中有著非比尋常的意義。將Noether定理放在“理論力學(xué)”高等課程里，講授給對(duì)近代物理已有所了解的研究生，是非常合適且有必要的。

在打磨這門(mén)課程的過(guò)程中，筆者還在某些特定問(wèn)題上得到一些靈感。對(duì)稱性是近代物理中最深刻的思想之一，研究對(duì)稱性的理論是群論，每個(gè)群元代表一個(gè)對(duì)稱操作，而群元由生成元來(lái)生成。另一方面，根據(jù)Noether定理，每一個(gè)連續(xù)對(duì)稱性都對(duì)應(yīng)一個(gè)守恒荷。在量子物理中，我們經(jīng)常會(huì)直接使用的一個(gè)結(jié)論：守恒荷即生成元。關(guān)于這個(gè)結(jié)論可以在群論中找到嚴(yán)格證明[2]，但筆者發(fā)現(xiàn)，在分析力學(xué)框架內(nèi)也可以給出一定說(shuō)明，筆者將在下一篇文章里中詳細(xì)討論這個(gè)問(wèn)題。

（三）經(jīng)典場(chǎng)論初步

這是本科階段“理論力學(xué)”不夠課時(shí)來(lái)講授的部分，卻是應(yīng)用非常廣泛的一套理論框架。牛頓力學(xué)需要知道力的具體表達(dá)形式，體系不同，力也不同，牛頓力學(xué)對(duì)于解決弱引力以外的體系是比較薄弱的，但分析力學(xué)通過(guò)將離散力學(xué)擴(kuò)展到連續(xù)的場(chǎng)論，從而可以處理電磁場(chǎng)和引力場(chǎng)，甚至彈性物理、流體力學(xué)等各種體系。更重要的是，經(jīng)典場(chǎng)論的理論框架可以直接擴(kuò)展到量子場(chǎng)論，這是近代物理最偉大的成就之一，不管是粒子物理還是凝聚態(tài)物理，甚至宇宙學(xué)和量子引力，都多少需要一定的量子場(chǎng)論基礎(chǔ)。量子場(chǎng)論是一門(mén)過(guò)于龐雜且煩瑣的課程，非理論物理專(zhuān)業(yè)的學(xué)生一般沒(méi)有精力來(lái)系統(tǒng)學(xué)習(xí)，但可以通過(guò)“理論力學(xué)”高等課程來(lái)獲取一些經(jīng)典場(chǎng)論的知識(shí)，這其實(shí)也是量子場(chǎng)論的入門(mén)基礎(chǔ)，即使對(duì)于后續(xù)需要學(xué)習(xí)量子場(chǎng)論的學(xué)生，也是大有裨益的。

四、我校關(guān)于理論力學(xué)高等課程的創(chuàng)新嘗試

除了以上內(nèi)容，我們還在課程中嘗試引入了另一塊新內(nèi)容：近代數(shù)學(xué)物理方法。據(jù)筆者了解，目前國(guó)內(nèi)的高校除了一小部分理論物理專(zhuān)業(yè)，大多數(shù)物理系的學(xué)生并未修習(xí)過(guò)近代微分幾何，而在近代物理研究中時(shí)常會(huì)使用到這些數(shù)學(xué)語(yǔ)言，所以適當(dāng)了解也是很有幫助的。由于思維方式的差異，給物理系的學(xué)生講授抽象數(shù)學(xué)并不是一件容易的事情，而分析力學(xué)的幾何表述恰好是一個(gè)很合適的切入點(diǎn)。比如拉格朗日力學(xué)的數(shù)學(xué)形式建立在切叢上，而哈密頓力學(xué)的數(shù)學(xué)形式建立在余切叢上，余切叢具有內(nèi)秉的辛結(jié)構(gòu)，所以哈密頓力學(xué)自然具有辛結(jié)構(gòu)，這也是正則變換的幾何表述[3]，在編程計(jì)算中也有重要價(jià)值。

五、小結(jié)

根據(jù)筆者在中國(guó)科技大學(xué)和國(guó)防科技大學(xué)就讀與教學(xué)經(jīng)歷來(lái)看，物理專(zhuān)業(yè)研究生攻讀博士學(xué)位的比例是很大的，而以博士研究生的標(biāo)準(zhǔn)要求他們，則需要對(duì)物理學(xué)各個(gè)方向都有所了解，這是一名合格的物理學(xué)博士應(yīng)當(dāng)具備的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)。另一方面，如果能盡早掌握一些新的數(shù)學(xué)物理方法，比起遇到問(wèn)題再來(lái)臨時(shí)學(xué)習(xí)，更有利于他們以后的科研工作。而這兩方面，都可以在研究生階段的理論力學(xué)高等課程中學(xué)到。

參考文獻(xiàn)

[1]Goldstein H，Pool CP，Safko J.Classical Mechanics.London：Pearson Education，2011.

[2]丁培柱，王毅.群及其表示[M].北京：高等教育出版社，1990.

[3]余揚(yáng)政，馮承天.物理學(xué)中的幾何方法[M].北京：高等教育出版社，1998.